«Изучение собственных колебаний в электромагнитном контуре»

1. Введение

1.1. Собственные колебания в изолированной системе происходят после окончания внешнего воздействия, которое вывело её из положения равновесия. Частота колебаний в этом случае определяется только свойствами самой системы.

1.2. В реальных колебательных системах, будь то механические или электромагнитные, процесс колебаний всегда сопровождается диссипацией (рассеянием энергии), в силу чего колебания будут затухать. В одних случаях затухание в системе стремятся сделать как можно меньше, в других - искусственно увеличивают (вводят демпфирование).

1.3. Пользуясь универсальностью законов колебаний, можно изучать поведение механической системы на аналогичной ей электромагнитной. В этом случае изменять затухание в системе очень просто – изменяя величину активного сопротивления.

1.4. Целью настоящей лабораторной работы является экспериментальное ознакомление с собственными колебаниями в электромагнитном контуре и влиянием некоторых его параметров на этот процесс.

2. Основные понятия

2.1. Исходя из второго закона Кирхгофа, можно записать следующее уравнение для падений напряжения в замкнутом контуре, состоящем из индуктивности L, ёмкости С и активного сопротивления R (рис. 1):

Рис. 1

, (1)

где q - величина заряда на емкости; dq/dt = i - сила тока; -Ldi/dt - ЭДС самоиндукции. Введя, как обычно: β = R/2L - коэффициент затухания; ω₀ =- круговую частоту собственных незатухающих колебаний , получим из (1) дифференциальное уравнение в виде

. (2)

Решения этого уравнения опишут возможные процессы, происходящие в контуре при различных условиях.

При малом затухании (β < ω₀) получаем решение в виде затухающих колебаний

. (3)

При критическом затухании (ω₀ = β) решение имеет вид

. (4)

При затухании больше критического (β > ω₀) зависимость апериодическая

. (5)

В формулах (3),(4),(5) A₀, φ, a₁, a₂, b₁, b₂ - константы, зависящие от начальных условий q(0) и i(0).

Хотя функции, описывающие q(t), различны, их графики непрерывно переходят один в другой при плавном изменении коэффициента затухания.

2.2. Для характеристики степени затухания в контуре, кроме величины β, используют логарифмический декремент затухания λ - он равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд (отличающихся по времени на период T) (рис. 2):

. (6)

Из формул (3) и (6) следует:

. (7)

Рис. 2

2.3. В процессе колебаний энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки индуктивности и наоборот. Эти переходы сопровождаются потерями - выделяется тепло.

Удобно пользоваться понятием добротности контура Q, которая в радиотехнике вводится, как

. (8)

Можно показать, что при достаточно малом затухании (β <<ω₀)

. (9)

2.4. В данной лабораторной работе нужно определить период затухающих колебаний, логарифмический декремент затухания, рассчитать добротность, индуктивность и активное сопротивление контура.

2.5. Зарисовать осциллограммы колебаний.

3. Описание лабораторной установки

3.1. Обычно в курсах общей физики рассматривается следующая схема возбуждения собственных колебаний в электромагнитном контуре CRL (рис. 3).

Рис. 3

Сначала ёмкость C заряжается через замкнутый ключ K1 от источника напряжения E, затем K1 размыкается, а K2 замыкается на катушку индуктивности RL, после чего возникают собственные колебания.

Однако можно обойтись одним ключом, который на некоторый промежуток времени τ будет подключать емкость C к источнику E, как показано на рис. 4.

Рис. 4

Поведение контура в этом случае можно узнать, решив дифференциальное уравнение (2) (см. основные понятия)

с начальными условиями

,

. (10)

Последние находятся независимо друг от друга, при условии достаточно малого сопротивления ключа в замкнутом состоянии, для ветвей EC и ERL, соответственно (см. приложение 1).

Решение дифференциального уравнения (2) для колебательного режима имеет вид (3)

.

Начальная амплитуда напряжения на ёмкости U₀ = А₀/C в случае малого затухания находится из начальных условий

. (11)

Видно, что она существенно зависит от тока i₀, текущего в катушке к моменту размыкания ключа.

Так, при:

;

. (12)

Учитывая, что , где Q - добротность контура, получим следующие интересные результаты: при малом времени τ ёмкость успевает зарядиться до напряжения E, но ток в катушке пренебрежимо мал; наоборот, при τ >> 1/β ток успевает установиться и затем его последующее прерывание при размыкании ключа приводит к ударному возбуждению колебаний с начальной амплитудой, значительно большей напряжения источника

. (13)

3.2. Для лабораторной работы были разработаны схемы электронного ключа, реализующие эти два варианта. Для первого варианта зададим в формуле (11)

. (14)

Тогда U₀ превысит E не более чем на 5%.

Преобразуя формулу (14), получим

, (15)

где T - период колебаний контура.

Время наблюдения свободных колебаний на экране осциллографа обычно выбирают ~ 10 T. Исходя из этого, следует положить в основу схемы ключа генератор прямоугольных импульсов с большой ~200 скважностью (скважность - это отношение периода повторения импульсов к их длительности).

Для тех, кто не очень разбирается в радиотехнике, подробности электронных схем можно опустить.

Блок-схема электронного ключа представлена на рис. 5.

Рис. 5

Напряжение прямоугольной формы со скважностью 2 (меандр) и периодом 100 мкс с генератора Г последовательно делится двумя декадными счётчиками СТ, что увеличивает его скважность до 200.

Генератор собран на ИМС К155ЛА8 и транзисторе КТ315Б. В качестве счётчиков применены ИМС К155ИЕ1, особенностью которых является то, что на их выходе появляются входные импульсы, задержанные по фазе. В качестве ключа K применен кремниевый транзистор средней мощности КТ814В, работающий в режиме насыщения во время действия импульса отрицательной полярности и запертый остальное время (рис.6).

Рис. 6

3.3. Для второго варианта расчёт показывает, что ток в катушке достигает ≈ 90% своего максимального значения, равного E/R, за время τ = T / λ = TQ / . Это требование на практике заменяется на τ ≈(1…3) T. Блок-схема электронного ключа для этого случая показана на рис.7.

Рис. 7

Со вторичной обмотки трансформатора выпрямленное диодами напряжение (с периодом 10 мс) поступает на триггер Шмитта ТШ (ИМС К155ТЛ3) , формирующий из него прямоугольное напряжение. Своим спадом оно запускает ждущий мультивибратор Г (ИМС К155АГ1), вырабатывающий импульс нужной длительности для управления работой ключа К на транзисторе КТ814В и диоде. Принципиальная схема приведена на рис.8.

Осциллограммы напряжений в точках A, Б и В для первого варианта и A, Б, В и Г для второго варианта схем показаны на рис. 9 и рис. 10.

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10