28. Постановка задачи математического программирования (вектор-решение, целевая функция, ограничения) при оптимизации параметров системы.

Математическое программирование - область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т.е. задач на экстремум функций многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Математическое программирование в настоящее время используется практически во всех областях жизни и производства

Модель задачи математического программирования включает:

• совокупность неизвестных величин х = (х1, х2, …, хn), действуя на которые систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором, решением, стратегией, поведением и т.п.);

• целевую функцию, которая позволяет выбрать наилучший вариант из множества возможных. Целевая функция обозначается F(x). Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности и т.д.;

• условия (система ограничений), налагаемые на неизвестные величины. Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений.

Т.о., модель задачи математического программирования примет вид:

Найти план х = (х1, х2, …, хn), доставляющий экстремальное значение целевой функции F(x) ?max(min), при ограничениях gi(x) ? (=, ?) bi, i=.

29. Методы решения задачи поиска условного экстремума функции нескольких независимых переменных при оптимизации параметров системы.

Определение функции полезности на основе аппроксимации заключается в следующем. При рассмотрении исходов конкретной операции отыскиваются характерные точки, соответствующие, например, экстремумам функции полезности, а неизвестные значения между ними определяются некоторой известной зависимостью. Вид аппроксимации выбирается на основе имеющихся сведений или качественных соображений о показателях полезности исходов. На практике могут применяться многоступенчатая функция полезности. Наиболее простыми аппроксимациями являются одноступенчатое, косинусоидальное и треугольное представление функций полезности.

30. . Структурно-параметрическая модель: параметры системы и окружения, показатель эффективности и уравнения существования (ограничения на область возможных решений) при оптимизации параметров системы.

Задача выбора рациональных параметров проектируемого элемента (основная задача проектной эффективности), сведенная к задаче математического программирования (ЗМП), рассматривается как индикатор методической совместимости моделей ИТЛ и УЦП с основными принципами, методами и моделями СОП. Основные компоненты задачи системного проектирования в форме ЗМП, представленные на рис. 4, включают два пересекающихся методических блока [17,23]:

- задачу математического программирования [E , V];

- схему операции в проектной эффективности [W. G].

Задача математического программирования (поиска условного экстремума целевой функции) включает в себя два непересекающихся компонента: формулировку целевой функции [E ] и набор ограничений [V].

Схема операции в проектной эффективности включает в себя два непересекающихся компонента: формулировку показателя эффективности [W]и показателя затрат [G].

Пересекающимися компонентами задачи оптимизации параметров элемента сложной системы в рамках системного проектирования являются:

- вектор-решение (множество независимых переменных), однозначно и исчерпывающе описывающих варианты решений X={x₁,x_i,x_n };

- процедура сравнения альтернативных вариантов решений.

Исследование взаимосвязи параметров проектируемого элемента направлено на решение основной проблемы системного проектирования - формирование множества независимых переменных (вектор-решения ЗМП) X = { x_i }, i = 1,…n из совокупности параметров, описывающих внутренние свойства или состояния системы, которые выражаются через свойства (параметры) элементов системы {α_i} и окружения {β_j}.

Путем варьирования сочетания основных компонентов задачи системного проектирования в форме ЗМП, представленных на рис.4, сформулированы т.н. «прямая» и «обратная» (двойственная) формы ЗМП.

31.. Структурно-параметрический синтез: формирование множества альтернативных (допустимых) вариантов проектных решений, прямая и обратная (двойственная) задачи оптимизации параметров элементов (компонентов) системы.

Прямая задача оптимизации в форме ЗМП (исходя из максимума эффективности):

X: ⇔ Τ, E: ⇔ W и V: ⇔ G, или:

W = W [Τ(Α, Β, Ψ, Z), Ř ] → max - целевая функция (показатель эффективности);

G = G [Τ(Α, Β, Z), Ř ] = Go - ограничение (дисциплинирующее условие) – показатель затрат.

Обратная (двойственная) задача оптимизации в форме ЗМП (исходя из минимума затрат):

X: ⇔ Π, E: ⇔ G и V: ⇔ W, или:

G = G{[Π(Α) ⇔ Τ(Α, Β, Z)], Ř} → min - целевая функция (показатель затрат);

W = W{[Τ(Α, Β, Ψ, Z⇔ Π(Α)], Ř} = W_o - ограничение (показатель эффективности),

где X = {x₁,…x_i,…x_n }.- независимые переменные (вектор-решение);

W = W [Τ(Α, Β, Ψ, Z), Ř ] - показатель эффективности;

G = G [Τ(Α, Β, Z), Ř ] = G_o - показатель затрат.

Альтернативные варианты составляют некоторое множество A₀, которое можно представить в виде [27]:

A₀ = {a: аÎ A_m; V (a_μ)}, а_μ Î А ₀ ,

где: A₀ - множество альтернативных (допустимых) вариантов проектируемого элемента;

A_m - множество всех возможных вариантов элемента СТС;

a - элемент множества A₀ (вариант решения);

a_μ - конкретный μ-вариант проектируемого элемента, описываемый проектными параметрами {^μπ₁,… ^μπ_v,… ^μπ_z};

V (a_μ) - правило, по которому в множество A₀ отбираются альтернативные варианты, учитывающие специфику проектно-конструкторской проработки и удовлетворяющие особенностям ЗМП (ограничения, дисциплинирующие условия).