МАТЕМАТИКА ЭКЗАМЕН

№45.Первый замечательный предел.

Ф-ция y=^sinx/_x при x0 не определена в точке х=0. найдём её предел при x0 (см.рис.1). Пусть 0<x<^π/₂. S_∆OMA<Sсект. AMO<S_∆OCA. Scект.=πR²/_2π*x,т.е. ½R*|MB|<½R²*x<½R*|CA|; ½sinx<½x<½tgx|*2; sinx<x<tgx|:sinx; 1<^x/_sinx<¹/_cosx; cosx< ^sinx/_x<1(*), т.к. lim_x0cosx=1; lim_x0=1, то по теореме о пределе промежуточной переменной => lim_x0 ^sinx/_x=1. т.к.ф-ция y=^sinx/_x и ф-ция y=cosx-чётные. sixx(-x)/-x=-sinx/-x=sinx/x,то доказанное нер-во (*) справедливо и при x<0. (см.рис.2). lim_x∞^sinx/_x= lim_x∞(sinx*¹/_x)=0. Примеры: 1) lim_x0^tgx/_x=lim_x0(^sinx/_x*¹/_cosx)=1*1=1; 2)lim_x0 ^sinkx/_x= lim_x0(^sin(kx)/_(kx)*k)=k*1=k; 3)lim_x0^1-cosx/x²=[⁰/₀]=lim_x0 2sin^{2 x}/₂/x²=lim_x0 (sin^x/₂)/^x/₂*(sin^x/₂)/(^x/_2*2)=½.

№47. Второй замечательный предел и его следствия.

Рассмотрим переменную величину: (1+¹/_n)ⁿ;nN. Теорема 1: предел переменной величины (1+¹/_n)ⁿ заключён между числами 2 и 3 при n∞, т.е. 2≤lim_n∞(1+¹/_n)ⁿ ≤3. Док-во: по формуле Бинома-Ньютона имеем, что (1+¹/_n)ⁿ=С⁰_n*1ⁿ*(¹/_n)⁰+C¹_n*1^n-1*(¹/_n)¹+C²_n* 1^n-2*(¹/_n)²+C³_n*1^n-3*(¹/_n)³+…+Cⁿ_n*1⁰*(¹/_n)ⁿ=(≡) где С^m_n=^n!/_m!(n-m)!, где n!=1*2*3*…*n- это произвед-е первых n натуральных чисел. =(≡)=^n!/_0!n!*1+^n!/_1!(n-1)!*¹/_n+^n!/_2!(n-2)!*¹/n²+^n!/_3!(n-3)!*¹/n³+…+^n!/_n!0!*¹/nⁿ=1+1+^n(n-1)/_1*2*¹/n²+^{(n(n-1)(n-2))}/_1*2*3*¹/n³+…+¹/nⁿ= 1+1+¹/_1*2*(1-¹/_n)+¹/_1*2*3*(1-¹/_n)(1-²/_n)+^{(n(n-1)(n-2)*…*(n(n-1)))}/_1*2*3*…*n*¹/nⁿ=1+1+¹/_1*2*(1-¹/_n)+¹/_1*2*3(1-¹/_n)(1-²/_n)+… +¹/_1*2*3*…*n*(1-¹/_n)(1-²/_n)*…*(1-^(n-1)/_n<1+1+¹/_1*2+¹/_1*2*3+…+¹/_1*2*3*…*n<1+1+¹/₂+¹/2²­+…+¹/2^n-1= S_n=(b1(1-qⁿ))/_1-q =1+(1-(¹/₂)ⁿ)/1-¹/₂=1+2(1-¹/2ⁿ)=3-¹/2^n-1<3, т.е. переменная величина {(1+¹/_n)ⁿ} ограничена сверху числом 3 кроме того очевидно, что эта переменная величина больше либо равна 2, из ____ видно, что 2≤(1+¹/_n)ⁿ<3, кроме того из ____=>,что переменная величина возрастает, т.к. все слагаемые положительные, а тогда наша переменная величина имеет предел, этот предел обозначают буквой “е”. ч.т.д. Опр: предел переменной величины {(1+¹/_n)ⁿ} называют число “е”,т.е. “е”=lim_n∞(1+¹/_n)ⁿ. “е”-иррациональное, “е”=2,718281824. Теорема 2: ф-ция (1+¹/_x)^x при x∞ имеет своим пределом число е, т.е. lim_х∞(1+¹/_x)^x=е. Док-во: в теореме 1 мы установили, что lim_n∞(1+¹/_x)^x=е, если х-целое положительное число, докажем, что это верно если х дробное или отрицательное число. 1)пусть х+∞, тогда для х, n≤x<n+1, ¹/_n≥¹/_x>¹/_n+1, прибавим 1: 1+¹/_n≥1+¹/_x>1+¹/_n+1; (1+¹/_n)ⁿ⁺¹≥(1+¹/_x)^x>(1+¹/_n+1)ⁿ; найдём пределы переменных величин, стоящих в левой и правой частях нер-ва. lim_n∞(1+¹/_n)ⁿ⁺¹= lim_n∞(1+¹/_n)ⁿ *(1+¹/_n)=е*1=е. lim_n∞(1+¹/_n+1)ⁿ=lim_n∞^{((1+1/n+1)n+1)}/_(1+1/n+1)=^е/₁=е. след-но по теореме о пределе промежуточной переменной предел lim_n+∞(1+¹/_x)^x=е. 2)х-∞, введём новую переменную t по формуле t=-x-1=-(x+1)=>x=-t-1=-(t+1). Если х-∞,то t+∞, получаем: lim_х-∞(1+¹/_x)^x= lim_х+∞(1-¹/_t+1)^-t-1= lim_t+∞(^t/_t+1)^-t-1= lim_t+∞(^t/_t+1)^t+1= lim_t+∞(1+¹/_t)^t+1= lim_t+∞(1+¹/_t)^t * (1+¹/_t)=е*1=е, таким образом lim_х∞(1+¹/_x)^x=е. – 2-ой замечательный предел(*). Замечание: пусть х∞, то α0=> равенство (*) я могу переписать в виде: lim_α∞(1+α)^1/α =е. Примеры (см.на др.стороне.) Логарифмы с основанием е называются натуральными или неперовыми по имени одного из первых изобретателей логарифмических таблиц математика Непера (1550-1617). Если е^у=х, то у называют натуральным логарифмом числа х или у=lnx.

№48. Сравнение бесконечно малых.

Пусть lim_xaα(x)=0, lim_xaβ(x)=0. Найдём lim_xa^α(x)/_β(x)=[⁰/₀]. 1)опр.1.если предел отношения ^α(x)/_β(x) при xa равен С, где С=const отличное от нуля то α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного и того же порядка, т.е. lim_xa^α(x)/_β(x)=С, С=сonst, С=0; 2)опр.2. Если предел α(х), β(x) при xa=0, то α(х) называется бесконечно малой величиной более высокого порядка или β(x), т.е. lim_xa^α(x)/_β(x)=0; α(х)=0 (β(х)). α(х)–есть 0-мало от β(x). 3)опр.3. Если lim_xa^α(x)/_β(x)=1=>назыв. эквивалентными бесконечно малыми.=> α(х)~β(x). 4)опр.4. Если lim_xa^α(x)/[β(x)]^k=const, где С≠0, то α(х) называется бесконечно малой величиной порядка k относительно β(x). 5)Опр.5. Если lim_xa^α(x)/_β(x)-не сущ., то α(х) и β(x) называются несравнимыми б.м.в. Примеры№1: (см.на др.стороне). Теорема 1: Если α(х) и β(x) –эквивалентные б.м.в. при xa, то α–β – есть б.м.в. более высокого порядка чем α или β. lim_xa^α-β/_α=0; lim_xa^α-β/_β=0. Док-во: пусть α(х) эквивалентно β(x) при xa=> lim_xa^α(x)/_β(x)=1= ^β(x)/_α(x)=1. Рассм. lim_xa^α-β/_α= lim_xa(1-^β/_α)=1-lim_xa ^β/_α=1-1=0=> α–β=0(α). lim_xa ^α-β/_β= lim_xa(^α/_β-1)= lim_xa^α/_β -1=1-1=0=> α–β=0(β). Теорема 2,обратной 1. Если разность 2-х б.м.в. α(х)-β(x) при xa есть б.м.в. и относит. α(х) и β(x), то α и β – есть эквивалентные б.м.в.,т.е. α(х)-β(x)=0 (α(х))=>α(х)~β(x) и α(х)-β(x)=0 (β(х))=>α(х)~β(x). Док-во: т.к. α(х)-β(x)=0(α(х))=> lim_xa(^{α(х)-β(х)}/_α(х))=0=> lim_xa(1-^β/_α)=0=> lim_xa 1- lim_xa^β/_α=0 или lim_xa^β/_α=1=>α(х)~β(x). α(х)-β(x)=0 (β(х))= lim_xa ^α-β/_β=0=> lim_xa (^α/_β-1)=0=> lim_xa ^α/_β=1=> α(х)~β(x). (Примеры№2 см.надр.стороне).

№49.Три определения непрерывности ф-ции в точке. Классификация точек разрыва.

Ф-ция у=f(х) назыв.непрерывной на интервале (а;b) если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Опр. lim_xa+0f(x)=f(a), то ф-ция f(х) называется непрерывной в точке а справа. (см.рис.1). lim_xb-0f(x)=f(b), то ф-ция f(х) называется непрерывной в точке b слева. Опр: ф-ция у=f(х) назыв. непр.на отрезке [a;b] если она непрерывна в каждой точке интервала (а;b), непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b. Если в какой-то точке х_о для ф-ции у=f(х) не выполняется хотя бы одно условие непрерывности, то ф-ция у=f(х) разрывна в точке х_о. В этом случае точка х_о называется точкой разрыва для ф-ции у=f(х). Существуют три вида точек разрыва. 1)если существует предел lim_xхоf(x)=a, но он не равен значению ф-ции в точке х_о, тогда точка х_о – точка устранимого разрыва. (см.рис.2). 2)если существует предел ф-ции f(x) при х стремящемся от х_о справа,т.е. lim_xхо+0f(x)=f(x_o+0). Существует предел ф-ции f(x) при хх_о слева, т.е. lim_xхо-0f(x)=f(x_o-0), но они не равны между собой f(x_o+0)≠f(x_o-0), то х_о-точка разрыва 1-го рода (точка скачка). (см.рис.3). Разность f(x_o+0)-f(x_o-0)-величина скачка в точке х_о, т.е. всегда от правостороннего отнимается левосторонний. 3)если хотя бы один из односторонних пределов в точке х_о не сущ. или равен ∞, то точка х_о называется точкой разрыва второго рода. (см.рис.4.).  lim_xхо-0f(x)=a; lim_xхо+0f(x)=+∞. Примеры (см.на др.стороне.). 3)-_{(продолжение)} у=^х/_|х|, х≠0 lim_х0+ ^х/_|х|= lim_х0 ^х/_х=1 и lim_х0- ^х/_|х|= lim_х0 ^х/_-х=-1 => по определению, что точка х=0 – точка разрыва 1-го рода. (см.рис.5.).

№50.Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных ф-ций. Непрерывность сложной ф-ции.

Пусть ф-ция у=f(x) задана в некоторой точке хо и некоторой окрестности с центром в точке хо. (см.рис.1.). Придадим аргументу хо некоторое приращение ∆х, т.е. хо+∆х=х, тогда значение ф-ции также изменится. Пусть f(хо)=у. Положим f(хо+∆х)=уо+∆у, тогда ∆у=f(хо+∆х)- f(хо)-приращение ф-ции в точке хо. Опр.:ф-ция у=f(x) называется непрерывной в точке хо, если бесконечно малому приращению аргумента точке хо соответствует бесконечно малое приращение ф-ции в этой точки,т.е. lim∆х0∆у=0 или lim∆х0(f(хо+∆х)- f(хо))=0 или lim∆х0 f(хо+∆х)= f(хо) или limххо f(x)=f(хо) (*),где limххо x=хо. из (*)=>limххо f(x)=f(limххох), т.е. для того чтобы найти предел непрерывной ф-ции в точке хо достаточно подставить в выражение ф-ции вместо аргумента х его значение хо. Пример: докажем: ф-ция у=х2 – непрерывна для любого хо. 1)Возьмём хо. хо=хо+∆х, тогда ф-ция получит приращение ∆у=у(хо+∆х)- у(хо)=(хо+∆х)2-хо2= хо2+2хо*∆х+(∆х)2-хо2=2хо*∆х+(∆х)2. lim∆х0 ∆у= lim∆х0(2хо*∆х+(∆х)2)=0, а это по опр.и означает, что ф-ция y=х2 –непрерывна в любой точке хо. 2)у=sinx, хоR. ∆у=sin(хо+∆х)-sinхо=2sin∆х/2*cos(хо+∆х/2); lim∆х0∆у= lim∆х02sin∆х/2*cos(хо+∆х/2)=0. Аналогично рассматривая каждую осн.элементарную ф-цию можно доказать, что каждая осн.элемент.ф-ция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Теорема1. f1(x) и f2(x) непрерывна в х=хо. α(х)=f1(x)+f2(x) непрерывна в ххо. Док-во: f1(x) непр.в хо=> limххоf1(x)=f1(xо); f2(x) непр.в хо=> limххоf2(x)=f2(xо); limххоα(х)= limххо(f1(x)+f2(x))= limххоf1(x)+limххоf2(x)= f1(xо)+f2(xо)=α(хо)=>α(х)-непрерывна. Аналогично можно жоказать: 1)произведение 2-х непрерывных ф-ций – есть ф-ция непрерывна. 2)частное 2-х непрерывных ф-ций есть ф-ция непрерывная, если знаменатель в рассмотренной точке не равен 0. 3)если ф-ция U=α(x) непрерывна в точке х=хо, а ф-ция f(U) непрерывна в точке U=Uo=α(xo),то сложная ф-ция f[α(x)] будет непрерывна в точке хо. Используя эти теоремы можно доказать теорему2. Можно доказать, что всякая элементарная ф-ция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Примеры (см.на др.стороне).

№51.Непрерывность основных элементарных функций.

Пусть ф-ция у=f(x) задана в некоторой точке х_о и некоторой окрестности с центром в точке х_о. (см.рис.1.). Придадим аргументу х_о некоторое приращение ∆х, т.е. х_о+∆х=х, тогда значение ф-ции также изменится. Пусть f(х_о)=у. Положим f(х_о+∆х)=у_о+∆у, тогда ∆у=f(х_о+∆х)- f(х_о)-приращение ф-ции в точке х_о. Опр.:ф-ция у=f(x) называется непрерывной в точке х_о, если бесконечно малому приращению аргумента точке х_о соответствует бесконечно малое приращение ф-ции в этой точки,т.е. lim_∆х0∆у=0 или lim_∆х0(f(х_о+∆х)- f(х_о))=0 или lim_∆х0 f(х_о+∆х)= f(х_о) или lim_ххо f(x)=f(х_о) (*),где lim_ххо x=х_о. из (*)=>lim_ххо f(x)=f(lim_ххох), т.е. для того чтобы найти предел непрерывной ф-ции в точке х_о достаточно подставить в выражение ф-ции вместо аргумента х его значение х_о. Пример: докажем: ф-ция у=х² – непрерывна для любого х_о. 1)Возьмём х_о. х_о=х_о+∆х, тогда ф-ция получит приращение ∆у=у(х_о+∆х)- у(х_о)=(х_о+∆х)²-х_о²= х_о²+2х_о*∆х+(∆х)²-х_о²=2х_о*∆х+(∆х)². lim_∆х0 ∆у= lim_∆х0(2х_о*∆х+(∆х)²)=0, а это по опр.и означает, что ф-ция y=х² –непрерывна в любой точке х_о. 2)у=sinx, х_оR. ∆у=sin(х_о+∆х)-sinх_о=2sin^∆х/₂*cos(х_о+^∆х/₂); lim_∆х0∆у= lim_∆х02sin^∆х/₂*cos(х_о+^∆х/₂)=0. Аналогично рассматривая каждую осн.элементарную ф-цию можно доказать, что каждая осн.элемент.ф-ция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Теорема1. f₁(x) и f₂(x) непрерывна в х=х_о. α(х)=f₁(x)+f₂(x) непрерывна в хх_о. Док-во: f₁(x) непр.в х_о=> lim_ххоf₁(x)=f₁(x_о); f₂(x) непр.в х_о=> lim_ххоf₂(x)=f₂(x_о); lim_ххоα(х)= lim_ххо(f₁(x)+f₂(x))= lim_ххоf₁(x)+lim_ххоf₂(x)= f₁(x_о)+f₂(x_о)=α(х_о)=>α(х)-непрерывна. Аналогично можно жоказать: 1)произведение 2-х непрерывных ф-ций – есть ф-ция непрерывна. 2)частное 2-х непрерывных ф-ций есть ф-ция непрерывная, если знаменатель в рассмотренной точке не равен 0. 3)если ф-ция U=α(x) непрерывна в точке х=х_о, а ф-ция f(U) непрерывна в точке U=U_o=α(x_o),то сложная ф-ция f[α(x)] будет непрерывна в точке х_о. Используя эти теоремы можно доказать теорему2. Можно доказать, что всякая элементарная ф-ция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Примеры (см.на др.стороне).

№52. Определение производной, её механический и геометрический смысл. Уравнение касательной к нормали к графику ф-ции.

Пусть у=f(x) определена в некотором промежутке X. (см.рис.1.). Дадим аргументу х нек-ое приращение ∆х, получим новое значение аргумента х+∆х. Точка х+∆хХ. Тогда значение ф-ции получит приращение ∆у=f(х+∆х)-f(x). lim_∆х0^∆у/_∆х= lim_∆х0^{f(x+∆x)-f(x)}/_∆х. Опр: если, существует предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента0, то этот предел называется производной ф-ции в данной точке и обозначается f'(x), т.е. f'(x)= lim_∆х0^{f(x+∆x)-f(x)}/_∆х.-опр.произв. Обозн.у';у'_х;f'(х);^dy/_dx. у'(а);у'|_х=а-знач.произв. в х=а. Операция нахождения произв.ф-ции в точке назыв. дифференцируемой. Пользуясь опр.найти произв.(см.№2 на др.стороне). Выясним.геом.смысл.произв.(см.рис.2.). Если М₁ не ограничена по кривой, приближается у точке М, то секущая (М;М₁) принимает различные положения. Если при не ограниченном приближении точки М₁ по кривой точки М с любой стороны секущая стремится занять положение определённой прямой МТ, то прямая МТ назыв.касат. прямой к точке М. (см.рис.3.). Рассм. у=f(x). Пусть точка М₀ имеет корд. (х_о;f(x_o)). Если аргументу х_о придать приращение ∆х, то на графики ф-ции получим точку М(х_о+∆х;f(x_o+∆х)). Проведём секущую М₀М и обозн. угол между положит.оси Ох и секущей. tgφ=^∆у/_∆х. Если теперь устремить точку М по кривой к М₀, то секущая М₀М будет вращаться вокруг точки М₀. И угол φ будет изменяться при изменении ∆х. Если при ∆х0 угол φ будет стремится к некоторому пределу α, то прямая проходящая через точку М₀ и образующая с положительным направлением оси Ох угол α будет искомой касательной. Найдём её угловой коэффициент tgα. tgα=lim_∆х0tgα=lim_∆х0^∆у/_∆х=у'(x), у'(х)=tgα., т.е. значение производной у'(х) при данном значении аргумента х равен тангенсу угла, образованного касательной к графику ф-ции в данной точке с положительным напр.оси Ох. (пример№2.см.на.др.стороне.).

№54.Теорема о непрерывности дифференцируемой ф-ции. Пример непрерывной, но недифференцируемой ф-ции.

Если ф-ция у=f(х) имеет производную в точке х= x_o, т.е. если сущ. предел отношения lim_∆х0^∆у/_∆х= lim_∆х0^{f(x+∆x)-f(x)}/_∆х, то ф-ция у=f(х) называется дифференцируемой в точке х_о. Теорема: если ф-ция у=f(х) дифференцируема в точке х= x_o,то она непрерывна в точке х_о. Док-во: по усл. lim_∆х0^∆у/_∆х=f'(x_о)=> ^∆у/_∆х=f'(x_о)+α(∆х), где f'(x_о)0 при ∆х0=>∆у=f'(x_о)*∆х+α(∆х)*∆х=>,что если ∆х0, то ∆у0. А это по опр.означает, что ф-ция у=f(x) непрерывна в точке х_о. Обратное утверждение не верно, т.е. если ф-ция непрерывна в точке х_о, то отсюда не следует, что она дифференцируема в этой точке. Пусть f(x)={x,0≤x≤1; 2x-1, 1≤x≤2. Эта ф-ция при х=1 не имеет производной, хотя и непрерывна в этой точке. Пусть ∆х>0. lim_∆х0^∆у/_∆х=lim_∆х0^{f(1+∆x)-f(1)}/_∆х= lim_∆х0^{2(1+∆x)-1-1)}/_∆х= lim_∆х0^2∆x/_∆х=2.(см.рис.1.). Пусть ∆х<0. lim_∆х0^∆у/_∆х=lim_∆х0^{f(1+∆x)-f(1)}/_∆х= lim_∆х0^1+∆x-1)/_∆х= lim_∆х0^∆x/_∆х=1, т.е. рассматриваемый предел зависит от того каков знак ∆х. А это означает, что в точке х=1 ф-ция f(x) производной не имеет. С другой стороны эта ф-ция непрерывна в точке х=1. Если ∆х>0,то ∆у=2∆х, а если ∆х<0,то ∆у=∆х=>при ∆х0, ∆у0, т.е. у=f(x) непрерывна в х=1. из теоремы следует, что в точках разрыва ф-ция не может иметь производной. Примеры вычисления производной.: 1)степенная ф-ция у=х^α,αR,x>0. Дадим аргументу х приращение ∆х и получим х+∆х. ∆у=у(х+∆х)-у(х)=(х+∆х)^α-х^α=х^α(1+^∆х/_х)^α-х^α= х^α((1+^∆х/_х)^α-1). у'=lim_∆х0^∆у/_∆х=lim_∆х0(х^α(1+^∆х/_х)^α-1)/_∆х= х^αlim_∆х0^α*∆х/х/_∆х= х^αlim_∆х0^α/_х=α*х^α-1. (х^α)'=α*х^α-1.-эта формула верна для любого х из области опр.ф-ции. (х)'=1(α=1); (¹/_х)'=-¹/х²(α=-1); (√х)'=¹/_2√х(α=½). (ост.примеры см.на др.стороне.).

№56. Производные тригонометрических функций.

Производная от y=sinx, это y’=cosx. Дадим аргументу x приращение ∆x; тогда 1) y+∆y=sin(x+∆x); 2) ∆y=sin(x+∆x)-sinx=2sin;

3) ; 4) , но так как , то =cosx. Последнее равенство получается на том основании, что cosx есть непрерывная функция. Так же y=cosx y’=-sinx. Производная от y=tgx, равна . По правилу дифференцирования дроби получаем: . Так же y=ctgx, равен .

№57. Производная степенной и показательной функций.

Производная от (показательная функция) функции a^x, где а > 0, равна a^xlna, т.е. y=a^x, равна y’=a^xlna. Логарифмируя равенство y=a^x, получим: lny=xlna или y’=a^xlna. Если оснавание а=е, то lne=1 и мы получим y=e^x, y’=e^x. Производная от (степенная функция) xⁿ, где n – любое действительное число, равна nx^n-1. Пусть x > 0. Логарифмируя данную функцию, будем иметь: lny=nlnx. Дифференцируем обе части полученного равенства по х, считая у функцией от х: Подставляя сюда значение y=xⁿ, окончательно получаем: y’=nx^n-1. Эта формула верна и для x < 0, если только xⁿ имеет смысл.

№58. Производная логарифмической функции. Логарифмическое дифференцирование, производная степенно-показательной функции.

Производная от log_ax, равна или . Если ∆y есть приращение функции y=log_ax, соответствующее приращению ∆x аргумента x, то y+∆y=log_a(x+∆x); ∆y=log_a(x+∆x)-log_ax=. Помножим и разделим на x выражение, состоящее в правой части последнего равенства . Обозначим величину через α. Очевидно, при и данном x. Следовательно, , но как известно . Если же выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к числе e, то логарифм этого выражения стремится к log_ae (в силу непрерывности логарифмической функции). Поэтому окончательно получаем: . Заметив, что , полученную формулу можно переписать так: .

№59.Производные обратных тригонометрических функций.

1)Рассмотрим ф-цию y=arcsinx;-1≤x≤1.Обратной этой ф-ции явл. x=siny (-π/2≤y≤π/2) Причём производная обратной ф-ции сущ. x’(y)=cosy;≠0;для любого у из(-π/2;π/2) =>по теореме о дифф. Обратной ф-ции имеем y’(x)=1/x’(y)=1/cosy=1/cos(arcsinx)=1/√(1-sin²(arcsinx))=1/√(1-x²) (arcsinx)’=1/√(1-x²) Аналогично (arccosx)’= -1/√(1-x²) xε(-1;1) 2)y=arctgx x xε(-∞;∞)Обратная x=tgy -π/2≤y≤π/2 Производная обратной ф-ции сущ. x’(y)=1/cos²y≠0 для любого у ε(-π/2;π/2) ) =>по теореме о дифф. Обратной ф-ции имеем y’(x)=1/x’(y)=cos²y=cos²(arctgx)=1/1+tg²(arctgx)=1/1+x² (arctgx)’=1/1+x² xε(-∞;∞) Аналогично (arсctgx)’= -1/1+x²) (с графиками).

№60.Гиперболические ф-ции и их производные.

Ф-ция y=e^x-не явл. ни чётной,ни нечётной,но её можно представить в виде суммы двух слагаемых из которых одно:чётная ,второе-нечётная ф-ция e^x=(e^x+e^-x)/2+(e^x-e^-x)/2

(e^x+e^-x)/2=chx-гиперболический cos (чётная)

(e^x-e^-x)/2=shx-гиперболический sin(нечётная)shx/chx=thx

chx/shx=cthx

Св-ва гиперболических ф-ций напоминают св-ва тритгонометрпических ф-ций

ch²x-sh²x=1; ch²x+sh²x=ch2x; 2shx *chx=sh2x

Найдём произв.от тригонометрич.ф-ций: (shx)’=chx; (chx)’=shx ;thx=1/ch²x;

(cthx)’= -1/sh²x

№61.Производные неявных и параметрических ф-ций.

Неявн.Пусть знач.x и y связаны некоторым ур-ем F(x;y)=0(1)Если ф-ция y=f(x)определена на интервале(ab),такова что ур-е(1)при подстановке в него вместо y выраж.f(x)обращается в ождество относительно x,то ф-ция y=f(x)есть неявная ф-ция,определёная ур-ем(1) Но не всякую неявно заданную ф-цию можно представить явно.Например y-x-siny=0

не всякую явно заданную ф-цию можно представить неявно При вычисл.знач. произв.неявной ф-ции при данном знач.ар-та,нужно знать ещё и знач.ф-ции y,при данном знач.аргумента Парам. {x=α(t); y=λ(t)(1)T1≤t≤T2 Каждому значению t соответствуют значения x и y.Если рассматривать x и y как координаты точки на плоскости XOY,то каждому значению t будет соответствовать определённая точка на плоскости.Когда t изменяется от T1 до Т2,то эта точка на пл-ти описывает некоторую кривую.Ур-я(1)называются параметр.ур-ями этой кривой,t параметром.А способ задания кривой ур-ями(1)называется параметрическим. Пусть ф-ция x=α(t)имеет обратную t=Ф(x),тогда y явл.сложной ф-цией от x.y=α[Ф(х)]Таким образом ур-я (1)определяют у как ф-цию от х , и говорят что эта ф-ция у(х)задана параметр. Найдём произв.ф-ции заданой ур-ями (1).Предположим ,что α(t),λ(t)имеют произв.,кроме того ф-ция х=λ(t),имеет обратную t=Ф(х),которая также имеет производную,тогда ф-цию у=f(x)можно рассматр. Как сложную ф-цию у=λ[Ф(х)] ,t=Ф(х)-промежуточный аргумент y'(x)=y’(t) *t’(x)по правилу дифф. Обратной ф-ции.y’(x)=y’(t)/x’(t) или y’(x)=λ’(t)/α’(t).