МАТЕМАТИКА ЭКЗАМЕН

№20)Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Пусть даны две непараллельные плоскости: :Ax+By+Cz+D=0, : A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0,  не|| , N₁, N₂. Линейный угол  двугранного угла, образованного этими плоскостями имеет стороны перпендикулярные к нормальным векторам N₁, N₂ этих плоскостейУгол  между плоскостями равен углу между векторами =(N₁^ N₂), или дополняет его до 180; =180-(N₁^ N₂)cos=( N₁N₂)/( |N₁||N₂|)=|AA₁+BB₁+CC₁|/(A²+B²+C²A₁²+B₁²+C₁²). 1)Если ||N1||N2A/A₁=B/B₁=C/C₁; 2)Если  N₁N₂N₁N₂=0 т.е. AA₁+BB₁+CC₁=0.

№21)Расстояние от точки до плоскости.

Найдём расстояние от точки М₀ до плоскости :Ax+By+Cz+D=0(рис.1). d=|М₁М₀|, т.к. N||М₁М₀NМ₁М₀=|N||М₁М₀|=|N|d; A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=|N|d; Ax₀+By₀+Cz₀+D–( Ax₁+By₁+Cz₁+D)=|N|d; Ax₀+By₀+Cz₀+D=|N|dd=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/(A²+B²+C²).

№22.Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом, проходящей через две две заданные точки.

Система двух линейных уравнений {Ax+By+Cz+D=0(), A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0()}, в которых коэффициенты при x,y,z не пропорциональны, определяют некоторую прямую l в пространстве, как линию пересечение плоскостей  и . Уравнения {Ax+By+Cz+D=0(), A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0()} наз. общими уравнениями прямой в пространстве. Пусть прямая l проходит через две точки M₁(x₁;y₁;z₁) и M₂(x₂;y₂;z₂), тогда в качестве направляющего вектора прямой l примем вектор М₁М₂={x₂–x₁;y₂–y₁;z₂–z₁} l: (x–x₁)/(x₂–x₁)=(y–y₁)/(y₂–y₁)=(z–z₁)/(z₂–z₁).

№23.Общее уравнение прямой на плоскости, !уравнение прямой в отрезках!.

Система двух линейных уравнений {Ax+By+Cz+D=0(), A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0()}, в которых коэффициенты при x,y,z не пропорциональны, определяют некоторую прямую l в пространстве, как линию пересечение плоскостей  и . Уравнения {Ax+By+Cz+D=0(), A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0()} наз. общими уравнениями прямой в пространстве.

№24. Угол между 2-мя прямыми на плоскости, условия коллинеарности и ортогональности прямых на плоскости.

L: y=k₁x+b₁ m: y=k₂x+b₂ (рис.) Найдем угол φ φ=(l^m) 0<=φ<¶ ¶-φ=(m^l) φ=α_1-α₂ tgφ=tg(α_1-α₂)= ;→tgφ=││. 1)Если прямая l‌‌║m, то α₁₌α₂→tgα₁=tgα₂→k₁=k₂ ; l║m↔ k₁=k_2. 2) l┴m, то φ= α_1-α₂+tgα₂=tg(α₁+)=-ctgα₁=k₂=-. l┴mk₁k₂=-1. Если векторы и перпендикулярны плоскости Р, то они коллениарны. Если угол между ненулевыми векторами и равен 90⁰, то векторы и называют ортогональными и пишут . По определению, векторы и также считают ортогональными, если один из них нулевой.

№25. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Точка пересечения 2-х прямых.

l: xcosβ+ysinβ-p=0 M₁(x₁,y₁) d=‌‌│MK│=│P₀N│‌(рис.) Найдем проекцию точки М₁ на ось ON пр_ONM₁=x₁cosβ+y₁sinβ. OP₀=p+│NP₀│. x₁cosβ+y₁sinβ= p+│NP₀│→d+ x₁cosβ+y₁sinβ-p→для того чтобы найти расстояние от точки до прямой надо в левую часть нормального уравнения прямой подставить координаты данной точки. d= │x₁cosβ+y₁sinβ-p│. Если l: xcosβ+ysinβ+с=0 , то приведя это уравнение к нормальному виду получим. d=││.

№26. Общие уравнения прямой в пространстве.

Система 2-х линейных уравнений (Ax+By+Cz+D=0 (α) и A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (β) (*)). Система 2-х линейных уравнений в которых коэффициенты не пропорциональны определить некоторую прямую l в пространстве как линия пересечения плоскости α и β. Уравнение (*) называется общим уравнением прямой в пространстве.

№27. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.

==(x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A). Поскольку векторное равенство эквивалентно трем координатным, получаем, что М € l тогда и только тогда, когда x=x_A+ta_x, y=y_A+ta_y, z=z_A+ta_z (a_x= x_B-x_A, a_y=y_B-y_A, a_z=z_B-z_A (**)). (*), если знаменатель одной из дробей равен нулю, то равен нулю и числитель этой дроби. Например, если a_y=0, а a_z≠0, то систему уравнений надо понимать так: y=y_A, a_x=(z-z_A)=a_z(x-x_A). Если a_y=y_B-y_A=0 и a_z=z_B-z_A=0, то система уравнений (*) принимает вид y=y_A, z=z_A, т.е. определяет прямую l= (АВ), параллельную оси абсцисс и проходящую через точку A (x_A; y_A; z_A). Параметрические уравнения (**) этой прямой имеют вид x=x_A+ta_x, y=y_A, z=z_A где (a_x≠0). Так как a_x=x_B-x_A, a_y=y_B-y_A, a_z=z_B-z_A, то система уравнений, определяющих прямую l=(АВ), которая проходит через 2 заданные точки A (x_A; y_A; z_A) и B (x_B; y_B; z_B), может быть записана также в виде . Это уравнение называется каноническим уравнением прямой l в пространстве.

№28. Переход от общих уравнений прямой в пространстве к каноническим.

Пусть z=0 M(-1;-1;0) .

№29. Уравнение прямой в проекциях. Уравнение прямой проходящей через 2 точки.

M₁(x₁; y₁) M₂(x₂; y₂), x₁≠x₂, т.е. прямая М₁М₂ не параллельна OY . Согласно предыдущему уравнение любой не вертикальной прямой проходящих через M₁(x₁; y₁) имеет вид y-y₁=k(x-x₁) (*). Т.к. точка М₂ принадлежит данной прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой. Т.е. y₂-y₁=k(x₂-x₁).(*)y y₁=

№30. Угол между 2-мя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности 2-х прямых в пространстве.

(Углом между прямыми в пространстве называется любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным). L: y=k₁x+b₁ m: y=k₂x+b₂ (рис.) Найдем угол φ φ=(l^m) 0<=φ<¶ ¶-φ=(m^l) φ=α_1-α₂ tgφ=tg(α_1-α₂)= ;→tgφ=││. 1)Если прямая l‌‌║m, то α₁₌α₂→tgα₁=tgα₂→k₁=k₂ ; l║m↔ k₁=k_2. 2) l┴m, то φ= α_1-α₂+ tgα₂=tg(α₁+)=-ctgα₁=k₂=-.l┴mk₁k₂=-1. Параллельность и перпендикулярность. В случае перпендикулярности прямых L₁ и L₂ их нормальные векторы также перпендикулярны, т.е. справедливо равенство (n₁, n₂)=0 или A₁A₂+B₁B₂=0. В случае параллельности L₁ и L₂ их нормальные векторы коллинеарны, т.е. справедливо равенство n₁=λn₂. Переходя к координатам этих векторов, получаем, что A₁=λa₂, B₁=λB₂, или .

№31. Расстояние между 2-мя параллельными прямыми в пространстве. Расстояние между 2-мя скрещивающимися прямыми.

l: xcosβ+ysinβ-p=0 d│MK│=│P₀N│(рис). Найдем проекцию точки М₁ на ось ON пр_ONM₁=x₁cosβ+y₁sinβ, OP₀=p+│NP₀│, x₁cosβ+y₁sinβ=p+│NP₀│ d= x₁cosβ+y₁sinβ-p для того чтобы найти расстояние от точки до прямой надо в левую часть нормального уравнения прямой подставить координаты данной точки т.е. d= x₁cosβ+y₁sinβ-p. Если l: xcosβ+ysinβ-p=0, то приведя это уравнение к нормальному виду получим: d=.

№32. Условия коллинеарности и ортогональности прямой и плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.

называют коллинеарными, если коллениарны изображающие их направленные отрезки Если угол между ненулевыми векторами и равен 90⁰, то векторы и называют ортогональными и пишут . По определению, векторы и также считают ортогональными, если один из них нулевой.

l: ; α: Ax+By+c+D=0; Найдем точки их пересечения, прейдем каноническое уравнение прямой к параметрической. (V), и выражаем для (x; y; z) подставим в уравнение плоскости получим уравнение относительно неизвестного параметра t, затем подставим найденное значение t в (V) получим координаты в точках пересечения прямой и плоскости.

№35. Переменные и постоянные величины. Определение функции. Способы задания функций.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной. В математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все численные значения одинаковы. Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y есть функция от x или, в символической записи, y=f(x), y=φ(x), и т.п. Способы задания функции. 1) Аналитический. 2) Графический. 3) Табличный. 4) Словесно.

№36. Основные элементарные функции их графики.

Если к каждому значению переменной «х» из некоторой области соответствует одно определенное значение «у», то это называется функция от переменной «х» у=f(х). х- независимая переменная или аргумент. Зависимость между «х и у» называется функциональной буквой «f» в символической записи функция означает, что над «х» надо произвести некоторые операции, чтобы получить «у». Совокупность значений «ч» для которых определяется значение функции «у» в силу правила f(x) называется областью определения функции. Они бывают: 1) степенная y=x^α α€R x>0. 2)показательная y=a^x a>0 x€R a≠1. 3) Тригонометрические y=sinx y=cosx y=secx и т.д. 4) Логарифмические y=log_ax a>0, a≠1, x>0. 5) Обратные тригонометрические y=arcsinx, y=arccosx, и т.д.

№37. Четные и нечетные функции. Периодические функции. Свойства четной функции y=│x│.

Если исследуемая функция при изменении знака аргумента значение функции не изменяется то эта функция четная, f(-x)=f(x), а если при изменении знака аргумента знак меняется то она нечетная, f(-x)=-f(x). Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое постоянное число C, от прибавления (или вычитания) которого к аргументу x значение функции не изменяется: f(x+C)=f(x). y=│x│ (рис) f ’(0) не существует. Определенной касательной провести нельзя. x=0 –min, y(0)=0, y(x)>y(0) при x>0, при x<0.

№38.Определение предела функции в точке, геометрическая интерпретация.

Опр:пусть ф-ция y=f(x) определена в нек-ой окрестности точки а. число b называют пределом ф-ции f(x) при х∞ если для любого числа >0 сущ.чмсло δ зависящее от >0,такое,что для всех х отличных от “а”и удовлетворяющих нер-ву |х-а|<δ будет выполняться нер-во |f(x)-b|<. y=f(x) b=lim_xa f(x),если для >0 сущ.δ()>0, х≠а,|х-а|<δ,=>|f(x)-b|<; 0<|x-a|<δ. Пусть f(x)b при ха. Т.к. из нер-ва |х-а|<δ=>|f(x)-b|<,то это значит, что для всех х отстоящих от точки а не далее чем на δ точка М графика ф-ции f(x) лежит в полосе шириной 2 ограниченной двумя горизонтальными прямыми(см.рис.1). Опр:если ф-ция yb₁ при xa, x<a,то limf(x)=b₁ при ха-0(см.рис.2.). В этом случае число b₁ назыв.пределом ф-ции f(x) в точке х=а слева. Если х>0, то lim_xa+0 f(x)= b₂, а число b₂ назыв.пределом ф-ции f(x) x=a справа. Пределы слева и справа назыв.односторонними пределами(см.рис.3). Можно доказать, что для того чтобы предел ф-ции f(x) при ха был=b необходимо и достаточно, чтобы сущ.предел f(x). lim_xa f(x)= bсущ. lim_xa-0 f(x)= b и lim_xa+0 f(x)= b. При определении предела ф-ции в точке не требуется, чтобы ф-ции y=f(x) была определена в точке х=а. При нахождении предела ф-ции рассмотр.знач.ф-ции в окрестности точки а. Число b назыв.lim ф-ции f(x)при x∞ если для любого сколь угодно малого “+”числа  сущ.число N=0,такое что для всех |х|>N выполняется нер-во f(x)-b< (см.рис.4.).

№39.Бесконечно малые (б.м.) и их свойства.

Опр:ф-ция y=(x) назыв.б.м. при ха, если lim_ха(x)=0. Основные св-ва. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых ф-ций есть бесконечно малая ф-ция. 1)пусть U(x)= (x)+(x), где lim_ха(x)=0 и lim_ха(x)=0,т.е.нам надо доказать, что для любого >0 сущ.число δ>0, такое что для всех х удовл.нер-ву 0<|х-а|<δ будет выполнится нер-во |U(x)-0|< или |U(x)|<. Докажем: т.к. lim_ха(x)=0=>то по определению это значит,что для любого >0 сущ.δ₁-окрестность точки а, в кот-ой выполняется нер-во |(х)|</2. Т.к. lim_ха(x)=0,то для выбранного  сущ.δ₂-окрестность точки а, в кот-ой выполняется нер-во |(х)|</2. Обозн.через δ наименьшее из чисел δ₁ и δ₂. δ=min|δ₁,δ₂|, тогда в δ окрестности точки “а” будет выполнятся нер-во: |U(x)|=|(x)+(x)|≤|(x)|+|(x)|</2+/2=, т.е.|U(x)|<=>lim_xaU(x)=0,т.е.U(x)-бесконечно малая ф-ция. Аналогичное док-во для случая когда lim_ха(x)=0 и lim_ха(x)=0. 2)Произведение б.м.ф-ции при ха (или х∞). На ограниченную ф-цию есть б.м.ф-ция. Пусть lim_ха(x)=0=>,что для любого >0 сущ.δ₁-окрестность точки а, в кот-ой выполняется нер-во |(х)|</М,где M>0. y=f(x)-ограниченная, то по определению это означает, что сущ.такое δ₂-окрестность точки а, в кот-ой выполняется нер-во |f(x)|<M,M>0. Обозн.через δ наименьшие из чисел δ₁,δ₂,тогда в δ-окрестности точки “а” будет выполняться нер-во: |(x)*f(x)|=|(x)|*|f(x)|<M/M=>(x)*f(x)-бесконечно малая величина. 3)(x)/f(x)-бесконечно малая ф-ция (х) и ф-ция lim_хаf(x)=b≠0-есть бесконечно малая ф-ция. Дейст-но пусть lim_ха(x)=0,а lim_хаf(x)=b≠0=>1/f(x)-ограниченная ф-ция, а отсюда следует, что (x)/f(x)=(х)*1/f(x)=беск.алая ф-ция. 4)произведение любого конечного числа бесконечно малое есть б.м. 5)произвед.б.м.ф.на const.есть б.м.ф. 6)если (х)-б.м.в. при ха (или х∞), то 1/(x)-б.б.в.при ха (или х∞). 7)если при lim_хаf(x)=b, то f(x)=b+(x),где lim_ха(x)=0.

№40.Теорема о разности между переменной величиной и её пределом.

Опр:число а назыв.пределом переменной величины х если для любого сколь угодно малого положительного числа  можно указать такое значение переменной х, начиная с которого все последующие знач.переменной будут удовлетворять след.нер-ву: |х-а|<;-<x-a<;a-<x<a+ (см.рис.1.). а=limх при ха. Пример:х₁=1+1;х₂=1+¹/₂;х₃=1+¹/₃;……;х_n=1+¹/_n… Докажем пользуясь опр.,что lim_x→∞x_n=1: Рассм. |x_n-1|<;|1+¹/_n-1|<;¹/_n<;n>¹/_.=>,что все члены последовательности с номерами большими чем ¹/_ будут удовлетворять след.нер-ву: |x_n-1|<.ч.т.д. Замечания:1)очевидно, что предел постоянной величины=самой постоянной,т.е. limc=c,где c=const. Действит.возьмём >0 и рассм. |х-с|=|с-с|=0<,для >0. 2)переменная величина не может иметь двух различных пределов. Действит-но limx=a и limx=b,a≠b.пусть для определённости a<b,тогда согласно определению если limx=a и limx=b,то сущ.знач.х, начиная с кот-ого все послед.знач.удовлетворяют нер-ву. limx=a и limx=b; |x-а|< и |x-b|<, а это невозможно если взять <(b-a)/2(см.рис.2). …,если y переменой величины сущ.,то этот предел единственный. Говорят,что переменная х∞ если для каждого наперёд заданного положит-но числа М сущ.такое знач.х, начиная с кот-ого все послед.знач.х удовлетворяют нер-ву |х|>M.если переменная х∞, то её назыв.бесконечно большой переменной величиной (б.м.в.).Пример:х₁=-1,х₂=2,х₃=-3…х_n=(-1)ⁿ*n-эта переменная величина будет бесконечно малойсм.(рис.3).Говорят,что переменная величина х+∞,если для М>0 все послед.знач.х удовлетворяют нер-ву. Пример: х₁=1,х₂=2…х_n=n…(см.рис.4.).Говорят,что переменная х-∞,если для любого M>0 все послед.знач.х начиная с нек-ого удовл.нер-ву.x<-M(см.рис.5). Пример. х₁=-1,х₂=-2,х₃=-3…х_n=-n…

№42.Бесконечно большие ф-ции,их связь с бесконечно малыми.

Опр.ф-ция f(x)назыв.бесконечно большой(б.б.) при ха (т.е.∞ при ха), если для любого числа М>0, сущ.число δ>0 для всех х удовл.нер-ву 0<|x-a|<δ будет выполняться |f(x)|>M,т.е. lim_xaf(x)=∞,если M>0 сущ.δ>0, такое что х; 0|х-а|<δ;|f(x)|>М.(см.рис.1.). В этом случае пишут lim_xaf(x)=∞ или f(x)∞ при ха. если ф-ция f(x) явл.б.б. и при этом сохраняется только “+” или только “—”,знач.,то в этом случае пишут lim_xaf(x)=+∞ или lim_xaf(x)=-∞. Докажем: lim_x1 1/(1-x)²=+∞. Берём любое число M>0 и рассм.|f(x)|=+∞, |f(x)|>M; 1/(1-x)²>M; (1-x)²<1/M; |1-х|<√1/М=δ=>что в качестве δ можно взять √1/М. Для любого х, отличного от 1 наша ф-ции будет>0,т.е.ф-ция f(x)-б.б. и f(x)>0=>предел нашей ф-ции=+∞,т.е. х≠1 1/(1-х²)>0=>f(x)-б.б.в. и f(x)>0 =>lim_x1f(x)=+∞. Если ф-ция f(x)∞ при х∞, то пришут:lim_x∞f(x)=∞. Пример. lim_x∞х²=+∞; lim_x-∞х³=-∞; Замечания:ф-ция y=f(x) при ха ил при х∞ может не стремится ни к конечному, ни к бесконечному пределу. 1)y=sinx,xR при х∞ y=sinx не имеет предела. 2)ф-ция y=sin1/x, x≠0 при х0 не имеет предела. Опр.ф-ции y=f(x) назыв.ограниченной в нек-ой области изменения х если сущ.число M>0, такое что для всех х из этой области |f(x)|≤M. y=sinx-ограничена, т.к. |sinx|≤1=M. Опр:ф-ция y=f(x) назыв.ограниченной при ха если существуют окрестность с центром в точке А, в кот-ой ф-ция f(x) явл.ограниченной. Опр.ф-ция y=f(x) назыв.ограниченной при х∞, если сущ.число N>0, такое что для всех |х|>N ф-ция ограничена. Теорема: если lim_хaf(x)=b, где b-конечное число, то f(x) ограничена при ха. Док-во.из равенства lim_хaf(x)=b=>для любого >0 сущ.δ>0, такое что для всех х, удовлетворяющих нер-ву 0<|х-а|<δ будет выполняться нер-во |f(x)-b|<,т.е. в заданной δ окрестности точки а. |f(x)|-|b|≤|f(x)-b|<; |f(x)|-|b|≤; |f(x)|<+|b|=>ф-ция f(х) ограничена в δ окрестности точки а. Замечание:из определения ограниченной ф-ции следует, что если ф-ция f(x) явл.б.б. (т.е.если lim_xaf(x)=∞ или lim_x∞f(x)=∞), то она не является ограниченной. Обратное не верно: неограниченная ф-ция может и не быть б.б. Пример.y=xsinx,xR-неограниченная,т.к. для любого М>0 найдётся х |хsinx|>M,но эта ф-ция не явл.б.б.,т.к.y=0 при х=0,,2…

№43.Свойства функций, имеющих конечный предел.

Пусть xa или x∞. Теорема 1:предел алгебраической суммы конечного числа переменных=сумме пределов этих переменных,т.е. lim(U₁+U₂+…+U_n)=limU₁+limU₂+…+limU_n.Док-во: пусть предел U=а и пусть limV=b, тогда по св-ву 7(теорема о связи) имеем U=a+ и V=b+-бесконечно малые величины. Рассм.переменную величину: U+V=(a+)+(b+)=(a+b)+(+)=>а это по теореме по связи означает: lim(U+V)=(a+b)=limU+limV. Пример:lim_x∞(x²+2x)/x²=[∞/∞] =lim_x∞(1+²/_x)= lim_x∞1+lim_x∞²/_x =1+0=1. Теорема 2: предел произведения конечного числа переменных=произвед.пределов этих переменных,т.е. lim(U₁*U₂*…*U_n)=limU₁*limU₂*…*limU_n. Док-во:пусть limU=а=>по св-ву(7) U=a+,где -б.м.в.; limV=b=>по св-ву(7) V=b+,где -б.м.в. Рассм. U*V=(a+)*(b+)=ab+a+b+= число+б.м.в.+б.м.в.+б.м.в.,т.е. переменную величину U,V мы смогли представить в виде суммы нек-го числа аb и б.м.в., а это по теореме о связи означает, что lim(U*V)=a*b=limU*limV, теорема доказана. Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак предела. Пусть limU=a, a c=const=>limC=C. Рассм. lim(C*U)=limC*limU=C*limU=C*a. Пример: lim_xx^lim_xx^=*8=40. Теорема 3: предел частного 2-х ф-ций =частному пределов этих переменных если предел знаменателя отличен от 0,т.е. lim(U/V)=limU/limV,где limV≠0. Док-во: пусть limU=а=> U=a+,где -б.м.в.; limV=b=> V=b+,где -б.м.в. Рассм. U/V=(a+)/(b+)=a/b+((a+)/(b+)-a/b)=a/b+((ab+b-ab-a)/b(b+)) =a/b+((b-a)/ b(b+))-(б.м.в.)=>lim(U/V)=a/b=limU/limV-ч.т.д. Пример: 1),2),3)-(см.№1на др.стороне). Теорема 4: если между соответствующими значениями 3-х ф-ций: U(x), Z(x),V(x) выполняется нер-во U≤Z≤V и при этом ф-ции U и Vк одному и тому же limb при хa или x∞, то и ф-ция Z при хa или x∞ будет стремится к тому же самому limb. Док-во: пусть хa. По усл: U≤Z≤V, тогда из этого нер-ва =>U-b≤Z-b≤V-b. По усл: lim_хaU=b=>(по опр.) это означает, что для любого ε>0 cущ.окрестность точки а в кот-ой будет выполняться нер-во |U-b|<ε. Или –ε<U-b<ε (1). По усл: lim_хaV=b=> для выбранного ε сущ.окрестность точки а в кот-ой выполняется нер-во: |V-b|<ε. –ε<V-b<ε (2), тогда в меньшей из этих 2-х окрестностей будут выполняться оба нер-ва (1) и (2). (см.№2 на др. стороне). Теорема 5: если при хa или x∞ ф-ция y принимает неотрицат.знач-ия а имеет своим пределом число b, то b≥0,т.е. y≥0, lim_{хaилиx∞}y=b=>b≥0. Док-во: предположим противное: пусть b<0, тогда |y-b| будет ≥|b|,т.е. модуль разности |y-b| больше положительного числа модуль |b|,т.е. модуль разности не стремится к 0 при хa или x∞=> число b не может быть пределом ф-ции y, что подтверждает условие=>наше предположение не верно и b≥0. Аналогично доказывается: y≤0, lim_{хaилиx∞}y=b=>b≤0. Теорема 6: если между соответствующими знач-ми 2-х ф-ций U и V выполняется нер-во U(x)≤V(x), то limU≤limV при хa или x∞. Док-во: по усл: V-U≥0. Рассм. lim(U-V)≥0, но limV-limU≥0=>limV≥limU.ч.т.д.