4. Непрерывность функции на интервале. Непрерывность элементарных функций, сложной и обратной функций. Свойства непрерывных функций.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция  называется непрерывной справа в точке , если  .

Функция  называется непрерывной слева в точке , если  .

Функция  называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция  называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть  и непрерывной слева в точке , то есть  .

4. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

2. Непрерывная на отрезке  функция является ограниченной на этом отрезке.

3. Теорема Больцано-Коши. Если функция  является непрерывной на отрезке  и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между  и  .

4. Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка  такая, что  .

4. Классификация точек разрыва функции.

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

функция  определена в точке и ее окрестности;

существует конечный предел функции  в точке ;

это предел равен значению функции в точке , т.е. 

называется точкой разрыва функции.

Если в точке  существуют конечные пределы  и , такие, что , то точка  называется точкой разрыва первого рода.

Пример: Функция  в точке  имеет разрыв первого рода, так как

, а 

Если хотя б один из пределов  или  не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Пример: Для функции  точка  - точка разрыва второго рода, так как  .

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции  в точке :  или функция  не определена в точке , то точка  называется точкой устранимого разрыва.

4. Производная функции: понятие, геометрический и физический смысл.

4. Касательная и нормаль к кривой.

4. Дифференцируемость и непрерывность функций в точке и на интервале.

4. Дифференцирование функций. Правила дифференцирования.

4. Таблица производных. Дифференцирование тригонометрических функ­ций.

4. Таблица производных. Дифференцирование логарифмической функции.

4. Таблица производных. Дифференцирование степенной и показательной функций.

4. Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование обратных тригонометрических функций.

4. Дифференцирование показательно-степенной и неявной функций.

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя, получим:

 

lny = vlnu

Неявной функцией  y  аргумента  x  называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего  x, y  и не разрешенного относительно  y, т.е.  .

Производная неявной функции находится по следующей формуле:  .

Неявной функцией  z  аргументов  x  и  y  называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего  z, x, y  и не разрешенного относительно  z, т.е.  .

Производные неявной функции находятся по следующим формулам: