Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Архив3 / OOP_kursach / ООП_курсач.doc
Скачиваний:
56
Добавлен:
07.08.2013
Размер:
393.73 Кб
Скачать

Глава 2

Техническое задание.

2.1.Описание предметной области.

Предлагается разработать калькулятор матриц, следовательно предметной областью будет являться теория матриц. Теория матриц нашла огромное применение в решении систем линейных уравнений и не только, поэтому целесообразно было бы создать такой калькулятор.

2.1.1 Матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами, например, числами, векторами, функциями, производными, интегралами, операторами и т.д. Будем рассматривать матрицы с элементами из поля действительных чисел, хотя все рассуждения сохраняются и для матриц с другими элементами.

Чаще всего элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размеры. Принято обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, часто - полужирными, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в виде

.

Для краткости допускается обозначение матрицы размеров в виде, где индекс i пробегает все значения от 1 до m, а j - от 1 до n. При обозначении матриц используются скобки - круглые и квадратные.

Матрицы, имеющие одно и то же число n строк и столбцов, называют квадратными; это число n называютпорядкомквадратной матрицы. Важную роль играют так называемыедиагональныематрицы. Под этим подразумеваются квадратные матрицы, имеющие все элементы равные нулю, кроме элементов главной диагонали, т.е. элементов в позициях (1,1), (2,2), ..., (n,n). Диагональная матрица D с диагональными элементами d1, d2, ..., dnобозначается diag(d1, d2, ..., dn). Диагональная матрица diag(1, 1, ..., 1) называетсяединичнойи обозначается E (или En) или же I (или In). Матрица, состоящая из одних нулей, называетсянулевой.

Матрица, состоящая из одной строки, часто называется вектором(строкой, вектор-строкой, строчной матрицей), а из одного столбца -вектор-столбцом(столбцом, столбцовой матрицей).

Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрицу A={ai j} можнотранспонировать, т.е. заменить строки столбцами, в результате чего получитсятранспонированнаяматрица AT={aj i}.

Две матрицы A={ai j} и B={bi j} одного и того же размераможноскладывать, ихсуммойбудет матрица того же размера C={ci j},, т.е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответствующие элементы этих матриц, находящихся на одних и тех же позициях. Поскольку мы рассматриваем здесь матрицы с элементами из поля P действительных чисел, то очевиднаассоциативностьоперации сложения матриц, вытекающая из ассоциативности сложения элементов поля P. Аналогично имеет местокоммутативностьсложения. Таким образом, справедливы действия:

  1. (A+B)+C=A+(B+C); [Ассоциативность]

  2. A+B=B+A; [Коммутативность]

  3. Матрица 0, состоящая из нулей, играет роль нуля: A+0=A при любой A.

Определим произведениеэлемента c из поля P на матрицу A={ai j}: cA={cai j}, т.е. чтобы умножить матрицу на число необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.

  1. Для любой матрицы A существует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0.  В качестве матрицы -A, очевидно, следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

Все перечисленные свойства матриц непосредственно следуют из определений и свойств действий в поле чисел.

Рассмотрим матрицу A={ai j} размероми матрицу B={bi j} размером. Число столбцов первой матрицы (стоящей слева в произведении) равно числу строк второй матрицы (стоящей справа в произведении). Для матриц, обладающих таким свойством и только для таких матриц, можно ввести действиеумножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C={ci j} размером, где. Правило умножения легко запомнить в словесной форме:  "чтобы получить элемент произведения ci jдвух матриц нужно элементы i-ой строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы и все произведения сложить". Это правило называют "правилом строка на столбец".

Пример:

Пусть A={ai j} размероми B={bi j} размером, а также введем векторы,и. Рассмотрим линейные подстановки с этими матрицами:

(!: во вторую строчку вкралась ошибка, найдите ее)

и

.

Эти подстановки, используя определение умножения матриц, можно записать в матричном виде: Y=AX, X=BT.

Покажем, что если эти две подстановки сделать одну за другой, т.е. выразить переменные y1, ..., ymчерез t1, ..., tk, то матрица коэффициентов окажется равной AB.

Действительно, пусть

.

Тогда коэффициент ci jесть коэффициент при tjв yi. Выпишем все необходимое для вычисления этого коэффициента:

.

При подстановке x1, x2, ..., xkв yi, получим

.

Таким образом, , так что матрица коэффициентов в выражениях y1, ..., ymчерез t1, ..., tkдействительно равна AB.  Итак, последовательному произведению ("суперпозиции") двух линейных подстановок соответствует произведение их матриц. В матричной форме суперпозицию этих подстановок можно записать в виде Y=A(BT). Вместе с тем матрица суперпозиции равна AB, и этот факт записывается так: Y=(AB)T. Таким образом, верно следующеесоотношение ассоциативности:

A(BT)=(AB)T, где T - столбец.

Рассмотрим теперь свойства действия умножения матриц:

  1. (cA)B=A(cB)=cAB;

  2. (A1+A2)B=A1B+A2B;

  3. A(B1+B2)=AB1+AB2.

Эти свойства непосредственно вытекают из того, что элементы произведения выражаются как через элементы A, так и через элементы B в виде линейных однородных многочленов. Это можно проверить, используя правило умножения и сложения матриц, группируя необходимые слагаемые).

  1. (AB)C=A(BC) [ассоциативность умножения].

Это свойство трактуется таким образом, что если одна из частей равенства имеет смысл, то имеет смысл и другая, и они равны. Это равенство можно доказать, воспользовавшись следующим простым замечанием. Пусть P и Q - две матрицы такие, что PQ имеет смысл. Пусть Q1, Q2, ..., Qk- столбцы матрицы Q. Тогда столбцами матрицы PQ являются PQ1, PQ2, ..., PQk, что непосредственно следует из определения. Это обстоятельство можно записать в виде P(Q1, Q2, ..., Qk) = (PQ1, PQ2, ..., PQk).

Обозначим через C1, C2, ..., Clстолбцы матрицы C. Тогда (AB)C = ((AB)C1, (AB)C2, ..., (AB)Cl). Далее, BC = (BC1, BC2, ..., BCl) и A(BC) = (A(BC1), A(BC2), ..., A(BCl)). Но как было установлено выше, (AB)C1= A(BC1), (AB)C2= A(BC2), ..., ибо C1, C2, ... - столбцы. Таким образом, (AB)C = A(BC).

Особую роль при умножении матриц играют единичные матрицы En(если нужно буквой n указать порядок) или просто E. Из правила умножения матриц непосредственно следует, что AE=A и EA=A, если эти произведения определены.

  1. (AB)T=BTAT. Об этом свойстве произведения матриц говорят так: "при транспонировании произведения матриц порядок сомножителей меняется".

Докажем это. 

Пусть ,.

Положим ,, так что,.

Пусть, далее, ,.

Тогда ,.

Итак, при всех i = 1, 2, ..., m и j = 1, 2, ..., n, а это и означает, что G=FT, т.е., что и требовалось доказать.

Подведем итоги.

Матрицы можно складывать, умножать их на число, а также умножать матрицы друг на друга. Эти действия обладают свойствами:

  1. (A+B)+C=A+(B+C);

  2. A+B=B+A;

  3. Существует 0: A + 0 = 0 + A = A;

  4. Для A существует -A: A + (-A)=0;

  5. .

  6. .

  7. .

  8. .

Если для некоторых объектов (в нашем случае, это матрицы) выполняются эти восемь свойств, то говорят, что эти объекты  образуют векторное пространство, так чтоматрицы фиксированных размеров образуют векторное пространство.

  1. (AB)C=A(BC).

  2. (cA)B=A(cB)=cAB.

  3. (A1+A2)B=A1B+A2B.

  4. A(B1+B2)=AB1+AB2.

  5. Существуют единичные матрицы (единицы), а именно, если A размером , то EmA = AEn = A.

  6. (AT)T = A.

  7. (A + B)T = AT + BT.

  8. (cA)T = cAT.

  9. (AB)T = BTAT.

Для квадратных матрицфиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Об этом обстоятельстве говорят таким образом: квадратные матрицы фиксированного порядка образуюткольцо. Кольцо, наделенное структурой векторного пространства, т.е. система объектов, обладающих свойствами 1-12, называетсяалгеброй над основным полем. Таким образом, квадратные матрицы с элементами из поля K составляют алгебру над этим полем.