Глава 2

Техническое задание.

2.1.Описание предметной области.

Предлагается разработать калькулятор матриц, следовательно предметной областью будет являться теория матриц. Теория матриц нашла огромное применение в решении систем линейных уравнений и не только, поэтому целесообразно было бы создать такой калькулятор.

2.1.1 Матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами, например, числами, векторами, функциями, производными, интегралами, операторами и т.д. Будем рассматривать матрицы с элементами из поля действительных чисел, хотя все рассуждения сохраняются и для матриц с другими элементами.

Чаще всего элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размеры. Принято обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, часто - полужирными, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в виде

.

Для краткости допускается обозначение матрицы размеров в виде, где индекс i пробегает все значения от 1 до m, а j - от 1 до n. При обозначении матриц используются скобки - круглые и квадратные.

Матрицы, имеющие одно и то же число n строк и столбцов, называют квадратными; это число n называютпорядкомквадратной матрицы. Важную роль играют так называемыедиагональныематрицы. Под этим подразумеваются квадратные матрицы, имеющие все элементы равные нулю, кроме элементов главной диагонали, т.е. элементов в позициях (1,1), (2,2), ..., (n,n). Диагональная матрица D с диагональными элементами d₁, d₂, ..., d_nобозначается diag(d₁, d₂, ..., d_n). Диагональная матрица diag(1, 1, ..., 1) называетсяединичнойи обозначается E (или E_n) или же I (или I_n). Матрица, состоящая из одних нулей, называетсянулевой.

Матрица, состоящая из одной строки, часто называется вектором(строкой, вектор-строкой, строчной матрицей), а из одного столбца -вектор-столбцом(столбцом, столбцовой матрицей).

Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрицу A={a_{i j}} можнотранспонировать, т.е. заменить строки столбцами, в результате чего получитсятранспонированнаяматрица A^T={a_{j i}}.

Две матрицы A={a_{i j}} и B={b_{i j}} одного и того же размераможноскладывать, ихсуммойбудет матрица того же размера C={c_{i j}},, т.е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответствующие элементы этих матриц, находящихся на одних и тех же позициях. Поскольку мы рассматриваем здесь матрицы с элементами из поля P действительных чисел, то очевиднаассоциативностьоперации сложения матриц, вытекающая из ассоциативности сложения элементов поля P. Аналогично имеет местокоммутативностьсложения. Таким образом, справедливы действия:

1. (A+B)+C=A+(B+C); [Ассоциативность]

2. A+B=B+A; [Коммутативность]

3. Матрица 0, состоящая из нулей, играет роль нуля: A+0=A при любой A.

Определим произведениеэлемента c из поля P на матрицу A={a_{i j}}: cA={ca_{i j}}, т.е. чтобы умножить матрицу на число необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.

4. Для любой матрицы A существует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0.  В качестве матрицы -A, очевидно, следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

5. .

6. .

7. .

8. .

Все перечисленные свойства матриц непосредственно следуют из определений и свойств действий в поле чисел.

Рассмотрим матрицу A={a_{i j}} размероми матрицу B={b_{i j}} размером. Число столбцов первой матрицы (стоящей слева в произведении) равно числу строк второй матрицы (стоящей справа в произведении). Для матриц, обладающих таким свойством и только для таких матриц, можно ввести действиеумножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C={c_{i j}} размером, где. Правило умножения легко запомнить в словесной форме:  "чтобы получить элемент произведения c_{i j}двух матриц нужно элементы i-ой строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы и все произведения сложить". Это правило называют "правилом строка на столбец".

Пример:

Пусть A={a_{i j}} размероми B={b_{i j}} размером, а также введем векторы,и. Рассмотрим линейные подстановки с этими матрицами:

(!: во вторую строчку вкралась ошибка, найдите ее)

и

.

Эти подстановки, используя определение умножения матриц, можно записать в матричном виде: Y=AX, X=BT.

Покажем, что если эти две подстановки сделать одну за другой, т.е. выразить переменные y₁, ..., y_mчерез t₁, ..., t_k, то матрица коэффициентов окажется равной AB.

Действительно, пусть

.

Тогда коэффициент c_{i j}есть коэффициент при t_jв y_i. Выпишем все необходимое для вычисления этого коэффициента:

.

При подстановке x₁, x₂, ..., x_kв y_i, получим

.

Таким образом, , так что матрица коэффициентов в выражениях y₁, ..., y_mчерез t₁, ..., t_kдействительно равна AB.  Итак, последовательному произведению ("суперпозиции") двух линейных подстановок соответствует произведение их матриц. В матричной форме суперпозицию этих подстановок можно записать в виде Y=A(BT). Вместе с тем матрица суперпозиции равна AB, и этот факт записывается так: Y=(AB)T. Таким образом, верно следующеесоотношение ассоциативности:

A(BT)=(AB)T, где T - столбец.

Рассмотрим теперь свойства действия умножения матриц:

1. (cA)B=A(cB)=cAB;

2. (A₁+A₂)B=A₁B+A₂B;

3. A(B₁+B₂)=AB₁+AB₂.

Эти свойства непосредственно вытекают из того, что элементы произведения выражаются как через элементы A, так и через элементы B в виде линейных однородных многочленов. Это можно проверить, используя правило умножения и сложения матриц, группируя необходимые слагаемые).

4. (AB)C=A(BC) [ассоциативность умножения].

Это свойство трактуется таким образом, что если одна из частей равенства имеет смысл, то имеет смысл и другая, и они равны. Это равенство можно доказать, воспользовавшись следующим простым замечанием. Пусть P и Q - две матрицы такие, что PQ имеет смысл. Пусть Q₁, Q₂, ..., Q_k- столбцы матрицы Q. Тогда столбцами матрицы PQ являются PQ₁, PQ₂, ..., PQ_k, что непосредственно следует из определения. Это обстоятельство можно записать в виде P(Q₁, Q₂, ..., Q_k) = (PQ₁, PQ₂, ..., PQ_k).

Обозначим через C₁, C₂, ..., C_lстолбцы матрицы C. Тогда (AB)C = ((AB)C₁, (AB)C₂, ..., (AB)C_l). Далее, BC = (BC₁, BC₂, ..., BC_l) и A(BC) = (A(BC₁), A(BC₂), ..., A(BC_l)). Но как было установлено выше, (AB)C₁= A(BC₁), (AB)C₂= A(BC₂), ..., ибо C₁, C₂, ... - столбцы. Таким образом, (AB)C = A(BC).

Особую роль при умножении матриц играют единичные матрицы E_n(если нужно буквой n указать порядок) или просто E. Из правила умножения матриц непосредственно следует, что AE=A и EA=A, если эти произведения определены.

5. (AB)^T=B^TA^T. Об этом свойстве произведения матриц говорят так: "при транспонировании произведения матриц порядок сомножителей меняется".

Докажем это. 

Пусть ,.

Положим ,, так что,.

Пусть, далее, ,.

Тогда ,.

Итак, при всех i = 1, 2, ..., m и j = 1, 2, ..., n, а это и означает, что G=F^T, т.е., что и требовалось доказать.

Подведем итоги.

Матрицы можно складывать, умножать их на число, а также умножать матрицы друг на друга. Эти действия обладают свойствами:

1. (A+B)+C=A+(B+C);

2. A+B=B+A;

3. Существует 0: A + 0 = 0 + A = A;

4. Для A существует -A: A + (-A)=0;

5. .

6. .

7. .

8. .

Если для некоторых объектов (в нашем случае, это матрицы) выполняются эти восемь свойств, то говорят, что эти объекты  образуют векторное пространство, так чтоматрицы фиксированных размеров образуют векторное пространство.

9. (AB)C=A(BC).

10. (cA)B=A(cB)=cAB.

11. (A₁+A₂)B=A₁B+A₂B.

12. A(B₁+B₂)=AB₁+AB₂.

13. Существуют единичные матрицы (единицы), а именно, если A размером , то E_mA = AE_n = A.

14. (A^T)^T = A.

15. (A + B)^T = A^T + B^T.

16. (cA)^T = cA^T.

17. (AB)^T = B^TA^T.

Для квадратных матрицфиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Об этом обстоятельстве говорят таким образом: квадратные матрицы фиксированного порядка образуюткольцо. Кольцо, наделенное структурой векторного пространства, т.е. система объектов, обладающих свойствами 1-12, называетсяалгеброй над основным полем. Таким образом, квадратные матрицы с элементами из поля K составляют алгебру над этим полем.