- •Глава 1 Определители и системы линейных уравнений
- •1.1 Общая запись системы линейных уравнений. Основные определения
- •1.2 Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определитель второго порядка
- •1.3 Определители третьего и высших порядков
- •1.4 Основные свойства определителей
- •1.5 Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Формулы Крамера
- •1.7 Системы линейных однородных уравнений
- •Глава 2. Матрицы
- •2.1 Линейные операции с матрицами
- •2.2. Умножение матриц
- •2.3. Обратная матрица
- •2.4 Решение системы линейных уравнений при помощи матриц
- •2.5. Произвольные системы линейных уравнений
- •2.6. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Литература
В соответствии с формулой (1.22) определитель матрицы n -го порядка определяется через n определителей (n −1) -го порядка, каждый из кото-
рых определяется через n -1 определитель (n −2) -го порядка и т.д. Доводя
это разложение до определителей 2-го порядка и вычисляя их, получим, что определитель n-го порядка представляет собой алгебраическую сумму n(n −1) 2 1 = n! слагаемых. Каждое слагаемое, взятое с определенным
знаком, является произведением n элементов матрицы по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Именно такую структуру имело выражение (1.19) для определителя третьего порядка. Обычно это представление и принима ется в курсах высшей алгебры за определение определителя n -го порядка.
1.4 Основные свойства определителей
Рассмотрим основные свойства определителей, справедливые для определителей любого порядка. Эти свойства широко используются при вычислении определителей высших порядков с целью упрощения расчетов.
Прежде чем сформулировать свойства определителей, введем новое понятие.
Определение. Транспонированием матрицы называется операция,
состоящая в получении из данной матрицы A другой матрицы AT перестановкой каждой строки на место столбца с тем же номером, то есть операция перехода от матрицы
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
|
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A = |
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
|
|||
|
|
... |
... ... ... |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
к матрице |
|
|
|
|
an1 |
an2 |
... |
|
ann |
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
AT |
= |
|
a12 |
a22 |
... |
a2n |
|
. |
|
|
(1.23) |
|
|
... ... |
... |
... |
|
|
|
||||||
|
|
|
a1n |
a2n |
... |
ann |
|
|
|
|
|
17
Матрица, полученная транспонированием матрицы A, обозначается символом AТ .
Очевидно, что ( AТ )T = A.
Рассмотрим теперь свойства определителей, опуская ряд доказательств, требующих (в общем случае определителей n -го порядка) дополнительных сведений, не предусмотренных программой нашего курса.
Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, то есть
D( AТ ) = D(A).
Это свойство примем без доказательства.
Из свойства 1 следует, что всякое свойство определителя относительнострок матрицысправедливо и в отношении столбцов.
Свойство 2. (Теорема разложения). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Доказательство для общего случая определителя n -го порядка опустим. Для определителя третьего порядка
a11 a12 a13 D = a21 a22 a23
имеют место шесть равенств |
a31 a32 a33 |
|
|
|
|
||
D = a11 A11 +a12 A12 +a13 A13 , |
|
||
D = a21 A21 +a22 A22 +a23 A23 , |
|
||
D = a31 A31 |
+a32 A32 +a33 A33 , |
(1.24) |
|
D = a11 A11 +a21 A21 +a31 A31, |
|||
|
|||
D = a12 A12 |
+a22 A22 +a32 A32 , |
|
|
D = a13 A13 |
+a23 A23 +a33 A33 |
|
Первое равенство соответствует определению определителя третьего порядка (1.18). Любое из пяти остальных может быть легко доказано, если воспользоваться формулой (1.19). Докажем, например, второе равенство. Группируя в формуле (1.19) члены, содержащие a21, a22 и a23, полу-
чим
18
D = a21(a32a13 −a12a33 ) +a22 (a11a33 −a13a31) +a23 (a12a31 −a11a32 ) =
|
|
a |
a |
32 |
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
12 |
|
|
|
|
|
11 |
13 |
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|||||
= a21 |
− |
a |
a |
33 |
|
|
+a22 |
|
a |
31 |
a |
33 |
|
+a23 |
− |
|
a |
31 |
a |
32 |
|
|
= |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a21A21 +a22 A22 +a23 A23.
Следствие (теорема замещения). Сумма произведений алгебраических дополнений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольные числа равна определителю матрицы, получающейся из данной заменой рассматриваемой строки (столбца) на строку (столбец) из этих чисел.
Доказательство. Рассмотрим, например, выражение
q1A21 +q2 A22 + +qn A2n ,
являющееся суммой произведений произвольных чисел q1, q2 ,..., qn на алгебраические дополнения A21, A22 ,..., A2n элементов
второй строки матрицы
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
A = |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
, |
|
|
... |
... ... ... |
|
|
||
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
|
и матрицу |
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
||||
B = |
q1 |
q2 |
... |
qn |
|
, |
|
... ... ... ... |
|
|
|||
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
|
получающуюся из матрицы A заменой второй строки на строку из чисел q1, q2 ,..., qn. Очевидно, алгебраические дополнения соответствующих эле-
ментов вторых строк матриц Aи B совпадают. Поэтому по теореме разложения (свойство 2) имеем
q1 A21 +q2 A22 +... +qn A2n = D(B).
Свойство 3. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на одно и то же число, то определитель такой матрицы будет равен произведению этого числа и определителя исходной матрицы.
19
Доказательство. Умножим, например, все элементы первой строки матрицы третьего порядка на число k , тогда, разложив определитель по элементам первой строки, получим
|
ka11 |
ka12 |
ka13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
= ka11A11 +ka12 A12 +ka13 A13 = |
||||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
= k(a11A11 +a12 A12 +a13 A13 ) = k |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
||||
|
|
|||||||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
Свойство 3 иногда короче формулируют так: постоянный множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Следствие. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель такой матрицы равен нулю.
Свойство 4. Если в матрице переставить любые две строки (два столбца), то определитель такой матрицы будет равен определителю исходной матрицы с противоположным знаком.
Доказательство. Пусть, например, в матрице третьего порядка переставлены первая и третья строки. Покажем, что
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a21 |
a22 |
a23 |
|
=− |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
. |
(1.25) |
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
Разлагая определитель, стоящий в правой части равенства, по элементам первой строки, получим
a11 A11 +a12 A12 +a13 A13 |
(1.26) |
Теперь разложим определитель, стоящий в левой части равенства, по элементам третьей строки:
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|||
a21 |
a22 |
a23 |
=a11(a32a23 −a22a33 ) −a12 (a31a23 −a21a33 ) + |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
+a13 (a31a22 −a21a32 ) = a11(−A11) −a12 A12 +a13 (−A13 ) = |
|
|||
|
|
|
= −(a11A11 +a12 A12 +a13 A13 ). |
(1.27) |
20
Из сравнения (1.26) и (1.27) следует справедливость (1.25).
Следствие. Если матрица имеет две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.
Доказательство. Пусть D - определитель матрицы, имеющей
.две одинаковые строки. Если эти строки переставить, то очевидно, что матрица не изменится и, следовательно, ее определитель будет равен D . В то же время по свойству 4 он должен равняться − D, то есть должно вы-
полняться равенство
D = −D,
откуда
2D = 0,
следовательно,
D = 0.
Свойство 5. Если у матрицы две строки (столбца) имеют пропорциональные элементы, то ее определитель равен нулю.
Доказательство. Пусть, например, в матрице n -го порядка пропорциональны элементы первой и второй строки: a21 = ka11, a22 = ka12 ,..., a2n = ka1n , где k ; - произвольное число. Тогда, используя свойство 3 и следствие из свойства 4, получим
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
||||||||
ka11 |
ka12 |
... |
ka1n |
= k |
a11 |
a12 |
... |
a1n |
=0. |
... |
... ... ... |
|
... |
... ... ... |
|
||||
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
Свойство 6. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.
Доказательство. Рассмотрим, например, сумму произведений элементов второй строки матрицы n -го порядка
a11 |
a12 |
... |
a1n |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
... ... ... ... |
|||
an1 |
an2 |
... |
ann |
на алгебраические дополнения элементов первой строки этой же матрицы
a21A11 +a22 A12 + +a2n A1n.
21
По теореме замещения (следствие из свойства 2) эта сумма равна определителю матрицы, получаемой из данной матрицы заменой первой строки строкой из чисел a21, a22 ,..., a2n , то есть определителю, у которого
первая и вторая строки одинаковы. По следствию из свойства 4
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
|
|||||
a21 |
a22 |
... |
a2n |
=0. |
|
... |
... ... ... |
||||
|
|||||
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
Свойство 7. Определитель матрицы, у которой все элементы ка- кой-либо строки (столбца) представляют собой сумму двух слагаемых, равен сумме двух определителей матриц, получаемых из данной матрицы заменой рассматриваемой строки (столбца) на строки (столбцы), состоящие, соответственно, из первых и вторых слагаемых.
Доказательство. Пусть, например, все элементы первой строки матрицы n-го порядка представляют собой сумму двух слагаемых. Тогда, разлагая определитель этой матрицы по элементам первой строки и используя теорему замещения (следствие из свойства 2), будем иметь
a'11+a"11 |
a'12 +a"12 |
... |
a'1n +a"1n |
|
|
|
|||||
a21 |
a22 |
... |
a23 |
= |
|
... |
... |
... |
... |
||
|
|||||
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
=(a'11+a"11 ) A11 +(a'12 +a"12 ) A12 + +(a'1n +a"1n ) A1n =
=a'11A11 +a'12 A12 + +a'1n A1n +a"11 A11 +a"12 A12 + +a"1n A1n =
|
a'11 |
a'12 |
... a'1n |
|
a"11 |
a"12 |
... a"1n |
|
|||
|
|
|
|||||||||
= |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
+ |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
. |
|
... |
... ... ... |
... |
... ... ... |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же произвольное число.
22
Доказательство. Прибавим, например, к элементам первого столбца матрицы n -го порядка элементы второго столбца, умноженные на произвольное число k. Тогда, используя свойство 7, а затем свойство 5, будем иметь
a11 |
+ka12 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|||
|
|
|
||||||||||||
a21 |
+ka22 |
a22 |
... |
a2n |
= |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
+ |
||||
|
... |
... ... ... |
... |
... ... ... |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
an1 +kan2 |
an2 |
... |
ann |
|
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
||||
|
ka12 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
+ |
ka22 |
a22 |
... |
a2n |
= |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
. |
|
||
|
... |
... ... ... |
|
|
... |
... ... ... |
|
|
|
|||||
|
kan2 |
an2 |
... |
ann |
|
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
|
|
Рассмотренные свойства используются при вычислении определителей высших порядков. В основе метода вычисления лежит теорема разложения (свойство 2), представляющая каждый определитель в виде суммы произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.
В результате вычисление определителя n -го порядка сводится к вычислению n определителей (n −1) -го порядка. Очевидно, объем вычис-
лений сокращается, если некоторые элементы строки или столбца равны нулю. Используя свойство 8, можно добиться того, чтобы все элементы, кроме одного, в выбранной строке или столбце обратились в нули. Тогда вычисление определителя n -го порядка можно свести к вычислению толькоодногоопределителя (n −1) -го порядка.
Пример 1. Вычислить определитель третьего порядка
2 −1 3
D = −4 3 −2 . 6 2 1
Решение. Используем свойства определителей. Заметив, что все элементы первого столбца имеют общий множитель 2, вынесем его за знак определителя, используя свойство 3. Получим
23
1 −1 3 D = 2 −2 3 −2 .
3 2 1
Используя свойство 8, добьемся того, чтобы в первой строке все элементы, кроме первого, обратились в нуль. Для этого выполним следующее преобразование: 1) к элементам второго столбца прибавим соответствующие элементы первого столбца; 2) к элементам третьего столбца прибавим элементы первого, умноженные на (-3), тогда получим
D = |
1 |
0 |
0 |
. |
−2 |
1 |
4 |
||
|
3 |
5 |
−8 |
|
Замечая, что в получившемся определителе все элементы третьего столбца имеют общий множитель 4, вынесем его за знак определителя.
1 0 0 D = 2 4 −2 1 1 .
3 5 −2
Ясно, что этот определитель целесообразно разложить по элементам первой строки, где всего один элемент отличен от нуля. Получим
D =8 1 |
1 |
1 |
=8(−7) = −56. |
|
5 |
−2 |
|
Пример 2. Вычислить определитель четвертого порядка
|
−2 |
−1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||
D = |
−1 |
5 |
−2 |
3 |
|
. |
|
3 |
2 |
5 |
−4 |
|
|
|
1 |
−1 |
3 |
−2 |
|
|
Решение. Используя свойство 8, преобразуем определитель так, чтобы все элементы первого столбца, кроме четвертого, обратились в нули. С этой целью: 1) к элементам первой строки прибавим удвоенные элементы четвертой строки; 2) к элементам второй строки прибавим элементы четвертой строки; 3) к элементам третьей строки прибавим элементы четвертой строки, умноженные на (-3). Получим
24