Экз. Геометрия
.pdf
1.Многоугольник – это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев).
2.Выпуклый многоугольник – это многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
3.Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.
4.Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
5.Свойства параллелограмма:
1.В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 158). Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам
(AC – общая сторона, 1= 2 и 3= 4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD, AD и BC соответственно). Поэтому: AB=CD, AD=BC и B= D. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем
A= 1 + 3= 2+ 4= C. 
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD (рис. 159). Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, 1= 2 и 3= 4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно). Поэтому AO=OC и OB=OD, что и требовалось доказать.
6.Признаки параллелограмма:
1.Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник
– параллелограмм.
2.Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3.Если в четырехугольнике диагонали не пересекаются и точкой пересечение делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
7.Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
8. Равнобедренная трапеция – если её боковые стороны равны.
9.Прямоугольная трапеция – трапеция, один из углов которой прямой.
10.Теорема Фалеса.
Теорема.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Доказательство.
Пусть точки A1, A2, A3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла. А точки B1, B2, B3 – соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла.
Докажем, что если A1A2 = A2A3, то B1B2=B2B3.
Проведем через точку В2 прямую С1С2, параллельную прямой A1A2. Получаем параллелограммы A1C1BA2 и A2B2C2A3. По свойствам параллелограмма, A1A2 = C1B2 и A2A3 = B2C2. Так как A1A2 = A2A3, то C1B2 = B2C2.
C1B2B1 = C2B2B3 по второму признаку равенства треугольников (C1B2 = B2C2, C1B2B1 = C2B2B3, как вертикальные, B1C1B2 = = B3C2B2, как внутренние накрест лежащие при прямых B1C1 и C2B3 и секущей С1С2). Из равенства треугольников следует, что B1B2=B2B3. Теорема доказана.
11.Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.
12.Свойства прямоугольника:
1.
2.
13. Признаки прямоугольника:
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Теорема.
Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
Доказательство.
Пусть дан параллелограмм ABCD и A = B = С = D.
Углы A и B являются внутренними односторонними, а значит их сумма равна 180 º. По условию они равны, значит каждый из них равен 90 º. Значит, A = B = С = D = 90 º. А параллелограмм, у которого все углы прямые, есть прямоугольник. Теорема доказана.
14.Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.
15.Свойство ромба:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Рассмотрим ромб ABCD. Требуется доказать, что AC 
BD и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба пополам. Докажем, что BAC= DAC.
По определению ромба AB=AD, поэтому треугольник BAD – равнобедренный. Т.к. ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой O пересечения делятся пополам. Следовательно,
AO – медиана равнобедренного треугольника BAD, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому AC 
BD и BAC= DAC, что и требовалось доказать.
16.Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.
17.Основные свойства квадрата.
1.Все углы квадрата прямые.
2.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся
пополам и делят углы квадрата пополам.
18.Свойства площадей.
19.Площадь квадрата: S=a2
20.Теорема о площади прямоугольника:
21.
22. Следствия теоремы о площади треугольника:
Следствие 1: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Следствие 2: Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
23. Теорема об отношении площадей треугольника имеющих по равному углу.
24. Площадь трапеции.
25. Теорема Пифагора.
26. Обратная теорема Пифагора.