primeri_zao

Wx ≥ MRmax .

Для круглого поперечного сечения момент сопротивления равен

Wх = πd 3 . 32

Следовательно, необходимый диаметр поперечного сечения равен

Схема б (рис. 8).

Определяем опорные реакции заданной балки.

Проверка:

∑у = 0 ; q (1,4 +3,5)− RA − RB = 7 (1,4 +3,5)−26,3 −8,0 = 34,3 −34,3 = 0 ,

следовательно, опорные реакции вычислены верно.

Разбиваем балку на грузовые участки. В пределах каждого участка проводим сечение и отбрасываем правую часть балки. В поперечном сечении показываем внутренние силовые факторы в положительном направлении. Поперечную силу Qу и изгибающий момент Мх определяем из уравнений равновесия, составленных для левой части балки.

Первый участок: 0 ≤ z1 ≤1,40 м.

∑y = 0 ; Qy + q z1 = 0 ; Qy = −q z1 ;

∑m = 0 ; M x + q z12 / 2 = 0 ; M x = −q z12 / 2 ;

При z1 = 0; Qy = 0 ; M x = 0 .

При z1 =1,40 м; Qy = −9,8 кН; M x = −6,86 кНм.

21

Второй участок: 1,40 ≤ z2 ≤ 4,9 м.

∑y = 0 ; Qy + q z2 − RA = 0 ; Qy = RA −q z1 ;

∑m = 0 ; M x + q z22 / 2 − RA (z2 −1,4)= 0 ; M x = RA (z2 −1,4)−q z22 / 2 ;

Эп. Qy

(кН)

16,5/7=2,36 м

8,80

6,86

Эп. Мх

8,015

11,20

12,964

Рисунок 8

При z2 =1,40 ; Qy =16,50 кН; M x = −6,86 кНм. При z2 = 4,9 м; Qy = −8,0 кН; M x =8,015 кНм.

При z2 = 3,76 м; Qy = 0 кН; M x =12,964 кНм.

22

Для упрощения расчетов будем в дальнейшем отбрасывать левую часть балки. Третий участок: 1,40 ≤ z3 ≤ 3,5м.

∑y = 0 ; Qy + RB −q (z3 −1,4)= 0 ; Qy = q (z3 −1,4)− RB ;

∑m = 0 ; M x + q (z3 −1,4)2 / 2 − RB z3 = 0; M x = RB z3 −q (z3 −1,4)2 / 2 .

При z3 =1,40м; Qy = −8,0 кН; M x = −8,80 кНм. При z3 = 3,50м; Qy = −8,0 кН; M x =8,015 кНм.

Четвертый участок: 0 ≤ z4 ≤1,40 м.

∑y = 0 ; Qy + RB = 0 ; Qy = −RB = −8,0кН;

∑m = 0 ; M x − RB z4 = 0 ; M x = RB z4 .

При; z4 = 0 м; Qy = −8,0 кН; M x = 0 кНм.

При z4 =1,40 м; Qy = −8,0 кН; M x =11,20 кНм.

По полученным значениям строим эпюры поперечных сил Qу и изгибающих моментов Мх.

Запишем условие прочности при изгибе

σ = Мтах ≤ R =160 МПа,

Wx

где Мтах – максимальный изгибающий момент, возникающий в балке; Wx – момент сопротивления поперечного сечения балки.

Из записанного условия следует, что требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки определяется следующим образом

По сортаменту прокатной стали (ГОСТ 8239-72) выбираем двутавровое сечение, у которого момент сопротивления больше требуемого значения. Окончательно принимаем двутавр №14 с Wх =81,9 см3.

ЗАДАЧА № 7 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ БАЛКИ

1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ

Для заданной статически неопределимой балки (рис. 9) требуется:

1)найти изгибающий момент на левой опоре (в долях ql2);

2)построить эпюры поперечных сил Qу и изгибающих моментов Mх;

23

3)построить эпюру прогибов заданной балки, вычислив три ординаты в пролете и две – на консоли.

Исходные данные задачи: параметры α = 0,2 и β = 0,5 .

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Заданная балка является статически неопределимой, так как в ее опорных устройствах возникают четыре неизвестные опорные реакции, а для плоскости можно составить только три независимых уравнения статики. Для раскрытия статической неопределимости отбрасываем правую опору балки (шарнирно подвижную опору в точке В) и определяем опорные реакции в защемлении А от действия внешних сил

∑у = 0 ; qβl − P + RA = 0 ;

RA = Р−qβl =αql −qβl = ql(α − β)= ql(0,2 −0,5)= −0,3ql ;

∑mA = 0 ; − qβl (l + βl / 2)+ P l / 2 + M A = 0 ;

M A = −P l / 2 + qβl (l + βl / 2)= −αql l / 2 + qβl (l + βl / 2)= = −0,2ql l / 2 +0,5ql (l +0,5l / 2)= 0,525ql2 .

Воспользовавшись уравнением метода начальных параметров, вычисляем прогиб балки в точке В от действия внешних сил.

Начальные параметры задачи известны, так как в начале координат располагается жесткая заделка, препятствующая вертикальным перемещениям и углам поворота сечения, следовательно, EJ x v(0 ) = 0 и EJ xθ(0 ) = 0 . Тогда

при z(В) = l получаем

Отбрасываем все внешние нагрузки и загружаем полученную консольную балку сосредоточенной силой RB , приложенной в точке В. Определяем

опорные реакции в заделке от этого загружения балки.

∑у = 0 ; RA − RB = 0 ; RA = RB ;

∑mA = 0 ; M A − RBl = 0; M A = RBl .

Воспользовавшись уравнением метода начальных параметров, вычисляем прогиб балки в точке В от силы RB .

24

25

Начальные параметры задачи EJ x v(0 ) = 0 и EJ xθ(0 ) = 0 , тогда при z(В) = l получаем

EJ x v(*В* ) = RB6 l3 − RBl2 l2 = − RB3 l3 .

Согласно условию задачи прогиб балки в точке В должен быть равен нулю, так как там установлена шарнирно подвижная опора, препятствующая вертикальным перемещениям. Отсюда получаем следующее уравнение

Таким образом, величина опорной реакции RB определена. Остальные

опорные реакции заданной балки от действия внешних нагрузок вычисляем, используя уравнения статики.

∑у = 0 ; qβl − P + RA − RB = 0 ;

RA = RB +(P − qβl)= 0,625ql +(αql − qβl)= 0,625ql + ql(α − β)=

=0,625ql + ql(0,2 −0,5)= 0,325ql ;

∑mA = 0 ; qβl (l + βl / 2)− P l / 2 + M A − RB l = 0 ;

M A = RB l −qβl (l + βl / 2)+ P l / 2 = 0,625ql l −qβl (l + βl / 2)+αql l / 2 = = 0,625ql2 −q 0,2l (l +0,5l / 2)+0,2ql l / 2 = 0,10ql2 .

Исходя из полученных величин опорных реакций, строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M в заданной балке.

Запишем уравнение метода начальных параметров для определения прогибов балки в любой ее точке.

Исходя из записанного уравнения, вычисляем прогибы балки в ее расчетных сечениях:

z(1) = 0,25l;

26

По полученным значениям строим эпюру прогибов заданной балки (рис. 9). При построении эпюры прогибов ее очертания необходимо согласовать с эпюрой изгибающих моментов Мх. На каждом грузовом участке выпуклость эпюры v должна быть направлена в сторону растянутых волокон на эпюре Мх.

ЗАДАЧА № 8 КОСОЙ ИЗГИБ ПРЯМОГО БРУСА

1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ

Деревянная балка прямоугольного поперечного сечения загружена системой внешних сил, приложенных в вертикальной и горизонтальной плоскости (рис. 10). В опорных устройствах балки возникают реактивные усилия, действующие как направлении оси х, так и оси у. Требуется:

1)показать расчетные схемы балки в вертикальной и горизонтальной плоскостях и построить эпюры изгибающих моментов Мх и Му;

2)установить положение опасного сечения балки;

27

3)из условия прочности при косом изгибе подобрать необходимые размеры поперечного сечения балки при заданном соотношении h/b при расчетном сопротивлении материала R = 10 МПа;

4)определить положение нейтральной линии в опасном сечении балки и построить для указанного сечения эпюру распределения нормальных напряжений в аксонометрии.

Исходные данные для решения задачи: внешние нагрузки F1 = 2,0 кН;

F2 = 2,0 кН; q1 =1,0 кН/м; q2 =1,5 кН/м; размеры балки a = 2 м; b =1м; c =1м; соотношение размеров сечения h / b = 2 /1.

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Вначале рассматриваем загружение балки в вертикальной плоскости. Используя уравнения статики, определяем вертикальные опорные реакции:

∑mB = 0 ; VA = 2 1 +1 42 2 = 2,5 кН; 4

∑mA = 0 ; VB = 2 3 +1 42 2 = 3,5 кН. 4

Проверка:

∑y = 0 ; VA +VB − q1 4 − F2 = 0 ; 2,5 +3,5 −1 4 − 2 = 6 −6 = 0 ,

следовательно, опорные реакции, действующие в вертикальной плоскости найдены верно. По полученным значениям строим эпюру моментов Мх , из-

гибающих балку в вертикальной плоскости.

Аналогичным образом рассматриваем работу балки в горизонтальной плоскости. Используя уравнения статики, определяем горизонтальные опорные реакции:

Проверка:

∑х = 0 ; НA + НB − q2 1,5 − F1 = 0 ; 1,188 + 2,312 −1,5 1 − 2 = 3,5 −3,5 = 0 ,

следовательно, опорные реакции, действующие в горизонтальной плоскости найдены верно. По полученным значениям строим эпюру моментов Му , из-

гибающих балку в горизонтальной плоскости.

Анализируя построенные эпюры (рис. 10), приходим к выводу, что опасное сечение балки расположено в точке С, где моменты Мх и Му , изги-

28

бающие балку в вертикальной и горизонтальной плоскостях, достигают значительных величин.

1,564

2,376

Рисунок 10

Запишем выражения для геометрических характеристик заданного прямоугольного сечения. Учитывая заданное соотношение сторон h / b = 2 /1, получаем

29

Определяем положение нейтральной линии в опасном сечении по следующей формуле

Полученный угол откладываем от оси х (рис. 11).

Направление действия результирующего момента Mtot в рассматриваемом сечении бруса составляет угол α с вертикальной осью Оу, тогда,

Подбор размеров поперечного сечения выполняем по условию прочности по максимальным нормальным напряжениям при косом изгибе

σmax = M x + M y ≤ R .

Wx Wy

Подставляя в это условие ранее полученные выражения для моментов сопротивления поперечного сечения, получаем

откуда

b = 3 11,633 103 = 0,105 м.

10 106

Округляем полученные размеры поперечного сечения деревянной балки до целых сантиметров и окончательно принимаем b =11см. Следовательно, высота сечения равна h = 22 см.

Для построения эпюры нормальных напряжений, вычисляем их величины в угловых точках 1, 2, 3 и 4 (рис. 11). Следует иметь в виду, что в опасном сечении изгибающий момент M x растягивает грань 3−4 и сжимает грань

30