2. Задачи для самостоятельного решения

Решить следующие дифференциальные уравнения.

.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.

Для каждого из следующих дифференциальных уравнений определить, является ли оно уравнением одного из типов:

1) уравнением с разделяющимися переменными,

2) однородным уравнением,

3) линейным уравнением,

4) уравнением Бернулли (но не линейным уравнением),

5) уравнением в полных дифференциалах,

6) не является уравнением типов 1) – 5).

.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.

9. Дифференциальные уравнения высших порядков

1. Сведения из теории

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется функциональное уравнение вида , связывающее независимую переменную, искомую функцию–решение уравнения и ее производные .

Будем рассматривать только уравнения, которые можно разрешить относительно старшей производной:

.

Задача Коши для уравнения состоит в том, что ищется решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

,

где – заданный набор из-го числа.

Теорема существования и единственности. Если функция в окрестности точкивнепрерывна и имеет непрерывные частные производные, то на некотором промежуткесуществует (и притом единственное) решениеуравнения , удовлетворяющее условиям .

Общим решением уравнения n-го порядка в области называется семействоего решений, зависящее отn параметров и содержащее решение любой задачи Коши , если.

Краевая задача для уравнения n-го порядка состоит в том, что ищется решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям: задаются значенияили ее производных более чем в одной точке. Число условий обычно совпадает с порядком уравнения.

2. Примеры решения задач

1. Дано уравнение второго порядка

.

Убедиться, что – общее решение уравнения . Найти а) решение, удовлетворяющее начальным условиям,; б) решение, удовлетворяющее граничным условиям,.

◄ Находим производные функции :,. Подставляяив уравнение , убеждаемся, что оно обращается в тождествои. Пусть– произвольные числа. Покажем, что можно подобратьитак, чтобыудовлетворяло начальным условиям

Это система линейных уравнений относительно и. Ее решение

, .

Таким образом, – общее решение.

а) При , получаем,– решение, удовлетворяющее начальным условиям,.

б) Подберем итак, чтобы решение удовлетворяло заданным граничным условиям.

, .

Таким образом, – решение краевой задачи,,.