2. Примеры решения задач

1. Решить уравнение

.

◄ Уравнение записано в нормальной форме. Его правая часть является линейной функцией аргумента у. Следовательно, уравнение – линейное. Решаем его методом вариации произвольной постоянной. Сначала находим общее решение однородного уравнения ...

Решение неоднородного уравнения ищем в виде , где– новая неизвестная функция. Подставляя в уравнение , получим

.

Итак, общее решение , где справа буквойС обозначена, как и везде, произвольная постоянная. После преобразований запишем его в виде

. ►

2. Решить задачу Коши .

◄ –линейное уравнение. Решаем методом Бернулли: . Подставляяив исходное уравнение, получаем. Сгруппируем члены, содержащиев качестве множителя

.

Приравняем скобку к нулю и решаем полученное уравнение.

.

Поскольку нам нужно только частное решение уравнения , то примем , тогда. Подставляяв уравнение , получим

.

Перемножая u и v, находим общее решение . Подставляя в общее решение начальные значенияи, получим. Искомое решение.►

3. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения.

.	.
.	.
.	.
.

9. Известно, что сила тока в цепи, имеющей сопротивление, самоиндукциюудовлетворяет уравнению, где– электродвижущая сила. Найти силу тока, если, в случаях

а) , б).

6. УравнениЯ Бернулли

1. Сведения из теории

Уравнение Бернулли – это уравнение первого порядка, имеющее в нормальной форме вид

, .

Методы решения те же, что и для линейного неоднородного уравнения, являющегося частным случаем уравнения Бернулли при .

2. Примеры решения задач

1. Решить уравнение Бернулли .

◄ Решаем методом Бернулли ,. Подберемv, так чтобы . Тогда. Возьмем. Подставляяв уравнение, получаем для функцииu уравнение с разделяющимися переменными

–общее решение.►

3. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения.

.	.
.	.

7. УравнениЯ в полных дифференциалах

1. Сведения из теории

Будем рассматривать дифференциальное уравнение первого порядка, заданное в дифференциальной форме

.

В нормальной форме оно имеет вид

.

Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является дифференциалом некоторой функции

.

Если функции инепрерывны вместе со своими производными в некоторой односвязной области¹ D, то равенство

– необходимое и достаточное условие того, что является в области D уравнением в полных дифференциалах.

Так как уравнение можно переписать в виде , то его общий интеграл. Функцию u можно найти по формуле

,

где – какая-нибудь точка изD.