3. Задачи для самостоятельного решения

1. Убедиться, что заданное семейство функций является общим решением дифференциального уравнения. Сделать рисунок интегральных кривых. Выделить интегральную кривую, проходящую через точку (1;1).

а) ;

б) .

2. Проверить, что уравнение имеет два решенияи, удовлетворяющих начальному условию. Как это согласуется с теоремой существования и единственности?

3. Проверить, что уравнение имеет два решенияи, удовлетворяющих начальному условию. Как это согласуется с теоремой существования и единственности?

2. Уравнения с разделяющимися переменными

1. Сведения из теории

уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка, имеющее в нормальной форме вид

,

то есть уравнение, разрешенное относительно производной, правая часть которого – произведение функции от на функцию от.

Метод нахождения общего решения следующий: 1) представляем производную в виде отношения дифференциалов ; 2) делим обе части уравнения наи умножаем на; 3) интегрируем обе части полученного равенства

В итоге получим общий интеграл уравнения .

Для нахождения решения , удовлетворяющему начальному условию, начиная с пункта 3) интегралы пишем определенные

.

В результате получаем уравнение , задающее искомое решение в неявном виде. Если, то очевиднорешение уравнения , удовлетворяющее начальному условию.

2. Примеры решения задач

1. Найти общее решение уравнения .

◄ Перепишем уравнение в виде . Уравнение разрешено относительно производной, его правая часть – произведение функции отна функцию отy, следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем в виде, умножаем обе части уравнения на, делим на:. Интегрируем это равенство– общий интеграл. Разрешая его относительно, получаем общее решение

или .

Так как 2С также произвольная постоянная, то в окончательном ответе мы ее снова обозначили буквой С.►

2. Найти общее решение уравнения и решение, удовлетворяющее начальному условию.

◄ Приведем уравнение к нормальной форме: .

Это уравнение с разделяющимися переменными.

.

Функция принимает все действительные значения, поэтому постоянную интегрирования можно представить в виде

Мы предполагали, что , но функциядает решение и прии при, в чем легко убедиться, подставляя ее в уравнение. Таким образом,– общее решение уравнения. Подставляя в него начальные значения, получаем. Поэтому– решение, удовлетворяющее начальному условию.►

3. Найти решение задачи Коши ,.

◄ Разделяем переменные: ,. Призадача Коши равносильна уравнению. Интегрируя, получаем

,

,

–искомое решение.

При решением задачи Коши является функция.►

3. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения.

.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.

Решить задачи.

17. Тело охладилось за 20 минут от 100°C до 60°C в комнате, где температура 20°C. Найти закон охлаждения тела. Через сколько минут оно остынет до 30°C?

18. В сосуд, содержащий 10 л воды, непрерывно поступает раствор со скоростью 2л/мин, в каждом литре которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 5 минут?

19. Цилиндрический резервуар высотой 6 м и диаметром основания 4 м поставлен вертикально и наполнен водой. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через отверстие радиуса 1/12 м, сделанного в дне резервуара?