Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

«Ярославский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики

Рекомендовано

научно-методическим советом

инженерно-экономического

факультета

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Методические указания и расчетно-графические задания

для студентов очного отделения

Ярославль

2007

УДК 517(07)

МУ 54-07. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Метод. указания и расчетно-графические задания для студентов очного отделения / Сост.: Б.И. Бутрим, В.А. Короткий, В.Ш. Ройтенберг, Л.А. Сидорова, – 2-е изд., испр. и доп. - Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 2007. – 72 с.

Содержат краткие теоретические сведения по разделу «Дифференциальные уравнения», подробно разобранные типовые задачи, а также 30 вариантов расчетно-графических заданий.

Предназначены для студентов 2-го курса всех специальностей очного отделения. Могут быть полезны при подготовке контрольных работ и выполнении домашних заданий.

Ил. 1. Библиогр. 9.

Рецензенты: кафедра высшей математики Ярославского государственного технического университета;

Д.В. Садовников, канд. физ.-мат. наук, зав. кафедрой естественно-научных и математических дисциплин ЯФМАП.

 Ярославский государственный технический университет, 1993

 Ярославский государственный технический университет, 2007, с изменениями

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия

1. Сведения из теории

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется функциональное уравнение вида

или коротко ,

связывающее независимую переменную , неизвестную функциюи ее производную первого порядка.

Решением (частным решением) уравнения называется функция , которая, будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество. График решения называетсяинтегральной кривой.

Будем рассматривать только такие уравнения, которые можно представить в нормальной форме – разрешить относительно производной

.

Задача Коши для уравнения состоит в том, что ищется решение ,, уравнения, удовлетворяющееначальному условию

,

где – заданная пара чисел. Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через точку.

Справедлива теорема существования и единственности: если функция в некоторой окрестности точкинепрерывна и имеет непрерывную частную производную, то найдется промежуток, на котором задача Коши - имеет и притом единственное решение.

Общим решением уравнения (1.2) в области называется семействофункций аргумента, зависящих от параметра(называемого произвольной постоянной) такое, что

1) при фиксированных значениях параметра С функции – решения уравнения, при этом;

2) можно подобрать значениепараметраС так, чтобы было решением задачи Коши -.

Часто общее решение задается неявно уравнением . Это уравнение называетсяобщим интегралом дифференциального уравнения.

2. Примеры решения задач

1. Убедиться, что ,,, является общим решением уравнения ,. Сделать рисунок интегральных кривых. Найти решение, удовлетворяющее начальному условию.

◄

С = 1

y

C=1

C=0,5

C=0

C= – 0,5

C= –1

1) Проверим, что как функция аргументаявляется решением. Подставляяив уравнение, получим тождество:. 2) Возьмем любую точкуи подберем параметрС так, чтобы функция удовлетворяла начальному условию:

;

Т

Рис. 1

аким образом, мы доказали что,

–общее решение.

Интегральные кривые изображены на рис. 1.

При получаем, поэтому решениеудовлетворяет начальному условию. ►