Сравнение бесконечно малых функций

 Пусть  б.м. функции  при . Предположим, что существует предел их отношения и он равен l.

.

Тогда если:

1)   l=1, то функции  и  называются эквивалентными б.м.;

2)   l - число, l0, то функции  и  называются б.м. одинакового порядка;

3)  l=0, то функция  называется б.м. более высокого порядка, чем ;

4)  l= , то функция  называется б.м. более высокого порядка, чем .

Пример 1. ,  ,

,

 и  - эквивалентные б.м. функции.

Пример 2.  =х³,

=х,

,

,

 - б.м. функция более высокого порядка, чем .

Эквивалентные бесконечно малые

Функции и называют бесконечно малыми при , если и 

Функции и называют эквивалентными бесконечно малыми при , если 

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть - бесконечно малая при .

Эквивалентность всех величин таблицы можно доказать, основываясь на равенстве .

Пример.

Доказать эквивалентность бесконечно малых величин и .

Решение.

Вычислим предел отношения этих величин 

Используя одно из свойств логарифма получим 

Поэтому предел примет вид:

Так как функция логарифма непрерывна на области определения, то можно воспользоваться свойством предела непрерывных функций и поменять местами знак предельного перехода и знак функции логарифма:

Проведем замену переменных . Так как - бесконечно малая функция при , то , следовательно, .

Поэтому предел примет вид:

Полученная единица доказывает эквивалентность исходных бесконечно малых величин. В последнем переходе мы использовали второй замечательный предел.

Таблица эквивалентных бесконечно малых очень сильно ускоряет процесс решения, хотя без нее, конечно, можно обойтись. Вопрос – нужно ли только.

Пример.

Найти предел 

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Эта неопределенность указывает на то, что и в числителе и в знаменателе находятся бесконечно малые функции. Обратимся к таблице эквивалентных бесконечно малых: функция эквивалентна , следовательно, эквивалентна .

Таким образом, после замены бесконечно малой функции ей эквивалентной, предел примет вид:

Без наличия таблицы эквивалентных бесконечно малых мы бы воспользовались, например, правилом Лопиталя:

Как вариант, можно было преобразовать функцию с использованием формул тригонометрии и применить первый замечательный предел:

№45

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x₀) точки x₀ (включая саму точку x₀).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если существует lim_x → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:

lim x → x0  f(x) = f(x0),

(1)

т.е.

 O( f(x0) )      O(x0) :     x  O(x0)  f(x)  O( f(x0) ) .

Замечание. Равенство (1) можно записать в виде:

lim x → x0  f(x) = f ( lim x → x0  x ),

т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пусть Δx = x − x₀ — приращение аргумента, Δy = f(x) − f(x₀ ) — соответствующее приращение функции.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

Функция y = f(x) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда

lim Δx → 0  Δy = 0.

(2)

Замечание. Условие (2) можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны.

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале [x₀, x₀ + δ ).

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x₀, если существует односторонний предел

lim x → x0 + 0  f(x) = f(x0).

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале (x₀ − δ, x₀].

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x₀, если существует односторонний предел

lim x → x0 − 0  f(x) = f(x0).