
- •Содержание Введение
- •§1. Уравнения Коши п. 1.1. Функциональное уравнение линейной однородной функции
- •П. 1.1.1 Класс непрерывных функций
- •П. 1.1.2 Класс монотонных функций.
- •П.1.1.4. Класс дифференцируемых функций.
- •П.1.2. Функциональное уравнение показательной функции
- •П.1.3. Функциональное уравнение логарифмической функции
- •П.1.4. Функциональное уравнение степенной функции
- •П.1.5. Одно обобщение уравнения Коши.
- •§ 2. Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции
- •§ 3. Метод подстановок
- •§ 4. Решение функциональных уравнений с применением теории групп
- •§ 5. Применение теории матриц к решению функциональных уравнений
- •§ 6. Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений п. 6.1. Предельный переход
- •П. 6.2. Дифференцирование
- •Заключение
- •Список литературы
§ 5. Применение теории матриц к решению функциональных уравнений
Под
знаком неизвестной функции могут стоять
дробно-линейные выражения вида
.
Такие дроби полностью определяются
заданием матрицы
,
составленной из коэффициентовa,
b,
c,
d.
Пример 15. Найти функцию f, определенную при
и удовлетворяющую уравнению
(5.1)
Решение. Отыщем подстановку, переводящую выражения, стоящие под знаком неизвестной функции f в уравнении (5.1), друг в друга.
Для
этого положим
.
Отсюда
.
Кроме
того,
.
Следовательно,
подстановка
– искомая. Уравнение (5.1) примет вид
.
(5.2)
В
уравнении (5.1)
Подстановка
переводит точки
соответственно в точки
.
Кроме того, из характера подстановки
вытекает
.
Поэтому в уравнении (5.2)
.
Область допустимых значений х в системе,
составленной из уравнений (5.1) и (5.2),
является пересечением соответствующих
областей каждого из уравнений (5.1) и
(5.2), т. е.
.
Исключая из этой системы
,
получим
Обозначив
,
получим
.
Из условия
получаем
,
а также
,
что определяется видом подстановки.
Подстановка
дает
.
Итак, функция
с областью определения
является решением примера 15, что и
подтверждается проверкой. Сужение
области определения искомой функции
удалением точек
вызвано методом решения уравнения.
Несложные вычисления показывают, что
функция
,
,
удовлетворяет исходному уравнению.
В самом
деле, полагая в (5.1)
,
получим
.
Значения
функции
,
,
в точках
и 1 соответственно равны
и удовлетворяют приведенному соотношению.
Более
того, решение уравнения (5.1) в классе
функций таких, что
имеет вид
Уравнение
(5.1) решено, так как найдена подстановка
переводящая дробно-линейные функции
и
,
получим друг в друга. На языке матриц
это означает, что найдена матрица
такая, чтоАХ
= kB; BX =lA,
где
.
Возникает вопрос, для любых ли дробно-линейных функций существует аналогичная подстановка; другими словами, для любых ли матриц А и В существует матрица X, удовлетворяющая уравнениям
АХ = kВ, (5.3)
ВХ = lА (5.4)
при некоторых k, l, отличных от нуля.
Предполагая, что такая матрица существует, из уравнений (5.3) и (5.4) получим: (lА)X = (lk)В, (ВХ)X = (lk)В,
BX2 = (lk)B (5.5)
Предположим, что функции, соответствующие матрицам А и В, отличны от констант. Тогда, как показано выше, для А и В существуют обратные матрицы. Умножим обе части равенства (5.5) слева на В-1. Получим
B-1BX2= B-1lkB; EX2 = (lk)E; X2 = mE, где m=lk
Найдем
общий вид матрицы
такой, что
,
т.е.
,
при некотором m ≠ 0. Заметим, что х1x4 – х2х3 ≠ 0. Из правила умножения и условия равенства матриц имеем:
Вычитая
из первого уравнения четвертое, получим
т. е.
,
либо
.
Если
,
то
= 0 и
=0,
что приводит к матрицам вида
или
.
Если же
то придем к матрице
Проверкой убеждаемся, что матрицы Х2 и Х3 удовлетворяют уравнению X2=mЕ при некотором m. Матрица Х3 при х1 = 0 дает X1.
Итак,
матрицы вида
и
и только они удовлетворяют уравнениюX2
= mE,
m
≠ 0. Из
(5.4) имеем X
= lВ-1А.
Поэтому, если матрица В-1А
имеет вид Х2
или Х3,
то она удовлетворяет каждому из уравнений
(5.3), (5.4).
Теперь изложим один из способов решения функционального уравнения вида
(5.6)
где s(x), t(x), р (х) — некоторые данные функции,
Решая
матричное уравнение вида А
= ВХ,
где
,
,
получимX
= В-1А,
Если
матрица X
имеет вид
,
то подстановка
в (5.6) даст второе уравнение относительно
неизвестных
,
Если
полученная система имеет решение, то
из нее найдем выражение для .Последнее
дает возможность найти f(x).
Как обычно, обязательной частью решения
является проверка. Случай
тривиален,А
= х1В,
т. е. выражения, стоящие в (5.6) под знаком
f,
совпадают.
Пример
16.
Найти функцию f,
определенную при
,
удовлетворяющую уравнению
(5.7)
Решение.
Решаем
матричное уравнение AХ
= В,
где
;
.
Для матрицы
A
обратной является матрица
.
Тогда
.
МатрицаX
имеет вид
,
поэтому применим к уравнению (5.7)
подстановку
.
Последнюю удобно выполнять с помощью
матриц. Правой части уравнения (5.7)
соответствует матрица
.
Применение к ней подстановки
равносильно умножению
справа на
.
В результате получим
.
Таким образом, из уравнения (5.7) находим
(5.8)
Исключив
из системы, составленной из уравнений
(5.7) и (5.8)
имеем
(5.9)
Из
(5.7) видим, что
.
Подстановка сохранила эти ограничения.
Кроме того,
.
Положим
.
Так как
,
то
.
Отсюда
.
Заменяя
,
из (5.9) получим
.
Проверка показывает, что эта функция удовлетворяет условию задачи: