Для линеаризации модели в рамках первого подхода могут использоваться как модели, нелинейные по переменным, так и нелинейные по параметрам.

Если модель нелинейна по переменным, то введением новых переменных ее можно свести к линейной модели, для оценки параметров которой использовать обычный метод наименьших квадратов.

Так, например, если нам необходимо оценить параметры регрессионной модели

, i=1, …, n,

то, вводя новые переменные Z1=x1², Z2 = , получим линейную модель

, i=1, …, n,

параметры которой находятся обычным методом наименьших квадратов.

Следует, однако, отметить и недостаток такой замены переменных, связанный с тем, что вектор оценок b получается не из условия минимизации суммы квадратов отклонений для исходных переменных, а из условия минимизации суммы квадратов отклонений для преобразованных переменных, что не одно и то же. В связи с этим необходимо определенное уточнение полученных оценок.

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций. В известном учебнике по эконометрике [26] все нелинейные регрессии делятся на два класса:

1) регрессии, нелинейные по объясняющим переменным, но линейные по оцениваемым параметрам:

полиномы разных степеней

;

равносторонняя гипербола

;

2) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

степенная ;

показательная ;

экспоненциальная .

Более сложной проблемой является нелинейность модели по параметрам, так как непосредственное применение метода наименьших квадратов для их оценивания невозможно. К числу таких моделей можно отнести, например, мультипликативную (степенную) модель.

Оценка параметров нелинейной регрессии по объясняющим переменным (первого класса) проводится также методом наименьших квадратов, так как эти функции линейны по параметрам.

Для любого полинома (многочлена) к-го порядка

,

с помощью замены переменных x₁ = x, x₁ = x², …, x_k = x^k получим линейную модель множественной регрессии

.

Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с её методами оценивания и проверки гипотез.

4.2. Многочлены (полиномы) относительно независимой переменной X

Рассмотрим применение МНК для случая, когда теоретическая линия описывается многочленом второго порядка.

Применение МНК для оценки параметров второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

Решение её возможно методом исключения Гаусса, методом Зейделя, методом простой итерации, методом нахождения обратной матрицы и многими другими. Остановимся на методе Крамера и рассмотрим, как получается решение (коэффициенты регрессии):

a = a/; b = b/; c = c/;

где  — определитель системы;

a, b, c — определители, полученные заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов.

Ввиду симметричности кривой многочлен второй степени не всегда пригоден в конкретных исследованиях. Чаще всего исследователь имеет дело с отдельными сегментами, а не с полной параболической формой. В качестве примера рассмотрим данные таблицы 1.

Пример 1. Пусть нас интересует построение регрессионной зависимости между переменной x – количество внесённых минеральных удобрений (центнеров на 1 га) переменной y – урожайностью некоторых злаковых с одного гектара.

Таблица 1

	Внесено минеральных удобрений, ц/га, х	Урожайность, ц с 1 га,у	х2	x3	х4	yx	yx2	yteor(x)
	1	6	1	1	1	6	6	6,171
	2	9	6	8	16	18	36	8,516
	3	10	9	27	81	30	90	10,63
	6	12	16	66	256	68	192	11,91
	5	13	25	125	625	65	325	12,97
Итого	15	50	55	225	979	167	669

По данным таблицы 3 система нормальных уравнений будет иметь вид:

50 = 5a + 15b + 55c;

167 = 15a + 55b + 225 c;

669 = 55a + 225b + 979c.

Решая её методом Крамера, получим =700, a=2380, b = 2090, c=-150. Отсюда a=3,6; b=2,986; c=-0,216, а уравнение многочлена второй степени примет вид

y_teor (x) = 3,6 + 2,986x - 0,216x² .

Среди класса нелинейных функций следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу

.

Она может быть использована не только для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объёмом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, т.е. на микроуровне, но и на макроуровне. Классическим её примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста заработной платы у.

Английский экономист А.В. Филлипс, анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 50-х гг. ХХ в. установил обратную зависимость процента прироста зарплаты от уровня безработицы: y = a + b/x +.

С помощью замены z = 1/x, для равносторонней гиперболы получим линейное уравнение регрессии y = a+b*z + , для оценки параметров которого применим МНК и получим следующую систему нормальных уравнений:

При b>0 имеем обратную зависимость, которая при x характеризуется нижней асимптотой. Так, для кривой Филлипса y(x) = 0,00679 + 0,1862/x величина параметра a = 0,0679, означает, что с ростом уровня безработицы темп прироста зарплаты в пределе стремится к 0.

При b<0 имеем медленно повышающуюся функцию с верхней асимптотой а при x. Примером может служить взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов). В 1857 г. немецкий статистик Э. Эн- гель на основе исследования семейных расходов сформулировал закономерность – с ростом дохода (х) доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается. Соответственно, доля расходов, расходуемых на непродовольственные товары (у), увеличивается до а: y = a – b/x.

В 1963 г. Уоркинг и в 1966 г. С. Лизер для описания кривой Энгеля использовали полулогарифмическую кривую y = a + bln(x) +. С помощью замены z = ln(x), получим линейное уравнение регрессии y = a+bz + , для оценки параметров которого применим МНК и получим следующую систему нормальных уравнений:

Возможны и иные модели, нелинейные по объясняющим переменным, например, y = a + b*x + . Соответственно, система нормальных уравнений будет иметь вид:

Такие регрессионные уравнения с квадратными корнями использовались в исследованиях урожайности, трудоёмкости с/х производства [10].

Рассмотрим теперь модели нелинейные по оцениваемым параметрам. Эти модели подразделяются на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду. Если нелинейная модель внутренне линейна, то она не может быть сведена к линейной функции. Например, в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цены широко используется степенная функция:

D(p) = aP^b,

где D — спрашиваемое количество; P — цена;  — случайная ошибка.

Эту модель можно считать внутренне линейной, так как логарифмирование данного уравнения по основанию е (е = 2,718281…) приводит его к линейному виду:

ln(y) = ln(a) + bln(x) + ln().

А к последнему выражению можно применить МНК. Следующая модель y = ax^b+ — внутренне нелинейна., так как её невозможно превратить в линейный вид. Модель y = a + bx^c+ — тоже внутренне нелинейна. Для оценки параметров внутренне нелинейных моделей используют итеративные процедуры.