- •Глава 5 определенные интегралы
- •5.1. Классификация методов
- •5.2. Методы прямоугольников
- •5.3. Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену
- •5.4. Метод трапеций
- •5.5. Метод Симпсона
- •5.6. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •5.7. Применение сплайнов для численного интегрирования
- •5.8. Методы наивысшей алгебраической точности
- •5.8A. Методы наивысшей алгебраической точности
- •5.9. Несобственные интегралы
- •5.10. Методы Монте-Карло
5.2. Методы прямоугольников
Рассмотрим сначала простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, когда подынтегральную функцию f(x) на интервале интегрирования заменяем полиномом нулевой степени, т.е. константой. Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке в интервале интегрирования. Приближенное значение интеграла определится как площадь прямоугольника, одна из сторон которого есть длина отрезка интегрирования, а другая -аппроксимирующая константа. Отсюда происходит и название методов. Как будет показано ниже, из методов прямоугольников наименьшую погрешность имеет метод средних прямоугольников, когда константу берем равной значению f(x) в средней точке интервала интегрирования [xj-1, хj] (рис. 52).
Рис. 5.2. Метод средних прямоугольников
Рис. 5.3. Метод левых прямоугольников Рис. 5.4. Метод правых прямоугольников
Формула интегрирования для i-го участка для метода левых прямоугольников:
Формула интегрирования для метода левых прямоугольников:
(5.2а)
Формула интегрирования для i-го участка для метода правых прямоугольников:
Формула интегрирования для метода правых прямоугольников:
(5.2б)
Формула интегрирования для i-го участка для метода средних прямоугольников:
Формула интегрирования для метода средних прямоугольников:
(5.2с)
Методы левых (рис. 5.3) и правых прямоугольников (рис. 5.4), заменяющих интеграл нижней и верхней суммами Дарбу, имеют сравнительно высокую погрешность.
Запишем выражение для интеграла на интервале [хj хj+h], полученное методом средних прямоугольников.
(5.3)
где Ri=Jточн – Jприбл, и оценим погрешность Ri. Для этого разложим подынтегральную функцию f (х) в ряд Тейлора около средней точки
(5.4)
в малой окрестности точки х этот ряд с высокой точностью представляет функцию f(x) при небольшом количестве членов разложения. Поэтому, подставляя под интеграл вместо функции f(x) ее тейлоровское разложение (5.4) и, интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью
(5.5)
При интегрировании и подстановке пределов получаем, что все интегралы от членов ряда (5.4), содержащих нечетные степени , обращаются в нуль.
Сравнивая соотношения (5.3) и (5.5), можно записать выражение для погрешности Ri. При малой величине шага интегрирования h основной вклад в погрешность Ri будет вносить первое слагаемое, которое называется главным членом погрешности R0j вычисления интеграла на интервале [xj, xj+h]
(5.6)
Главный член полной погрешности для интеграла на всем интервале [x0, хn] определится путем суммирования погрешностей на каждом частичном интервале [xj, xj+h]
(5.7)
К последнему интегралу мы перешли, используя метод левых прямоугольников для функции f"(х).
Формула (5.7) представляет собой теоретическую оценку погрешности вычисления интеграла методом средних прямоугольников, эта оценка является априорной, так как не требует знания значения вычисляемого интеграла. Оценка (5.7) не удобна для практического вычисления погрешности, но полезна для установления структуры главного члена погрешности. Степень шага h, которой пропорциональна величина R0, называется порядком метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок.
Аналогично проведем априорную оценку метода левых прямоугольников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора около точки х=хj
(5.8)
Интегрируя разложение (5.8) почленно на интервале [хj, хj + h], получим
где первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычисленное по методу левых прямоугольников, второе слагаемое является главным членом погрешности
(5.9)
На интервале [х0, хn] главный член погрешности интегрирования получим суммированием частичных погрешностей (5.9)
(5.10)
Таким образом, метод левых прямоугольников имеет первый порядок; кроме того, погрешность будет больше по сравнению с методом средних и за счет интеграла от производной f'(x), и коэффициента в знаменателе (5.10). Обычно для большинства функций выполняется неравенство
Однако, если подынтегральная функция f(x) определяется из эксперимента в дискретном наборе узлов, то метод средних прямоугольников применить нельзя из-за отсутствия значений f(x) в средних точках хj. В этом случае для интегрирования используются другие методы Ньютона-Котеса.