![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •15. Общее решение линейного неоднородного дифура n-го порядка. Принцип суперпозиции.
- •16. Линейное неоднородное дифф.Ур. N-го порядка. Метод вариации постоянных.
- •17. Линейное неоднородное дифф.Ур. N-го порядка с пост-ми. Коэфф-ми. Метод неопр. Коэфф.
- •18. Однородные и неоднородн. Кр-я Эйлера.
- •11) Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка.
- •Основное св-во комплексно значных функции.
- •13)Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Общее решение. Понижение порядка.
- •Док-во.
- •Формула Остроградского-Лиувилля.
- •Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка. Функция Грина.
- •Понятие устойчивости. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.
- •Понятие устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.
- •Исследование на устойчивость по первому приближению.
- •Уравнение Пфаффа.
13)Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Общее решение. Понижение порядка.
Теорема:
Общим решением при а≤х≤b
линейного однородного уравнения
с непрерывными на отрезке а≤х≤b
коэффициентами pi(x),p0(x)≠0
(i=1,2,...,n)
является линейная комбинация
отn
линейно независимых на том же отрезке
частных решений уi(х)
(i
= 1, 2,...,n)(7)
с произвольными постоянными коэффициентами
Ci.
Док-во.
Надодок-ть,что
явл. решением (7).То, что (10) явл. частным
решением (7) следует из 3 св-ва частных
решений лин. однор. уравнений.Но нужно
док-ть более сильное утв:что (10) явл.
общим решением ур(7) т.е содержит в себе
все частные решения Ур(7) без исключений.
Т.к. при сформулируемых
условиях (7) удовлетворяет условиям
теоремы существования единственности
решения, то нам достаточно показать,
что постоянные
в
решении (10) всегда можно подобрать так,
чтобы это решение удовлетворяло
произвольно заданному начальному
условию:
.
-любые
числа.
Чтобы убедиться в этом подставим (10) в каждое из начальных условий (11):
(12)
……………………………………..
Относительно
постоянных(12)
явл. линейной, неоднор., алгебраической
системой.Определитель которой равен
.
Т.К. у1,у2…явл.
лин.нез. по условию на [a,b]
коэффициентами, то по 2) св-ву определителя
Варденмонда наш опрнделитель не равен
0. То по теореме Кронсера-Капелли сис(12)
имеет решение
и
любых правых частях. ч.т.д.
След1: Макс. число лин.нез. частных решений лин. однор Ур.= его порядку.
След2:лин.нез.
частных решений лин. однородного ур.n-ого
порядка наз. его фундаментальной
системой решеший.
Альтернативная формулировка теоремы выше6 общее решение лин. однор. ур. с непр. коэф-ми равно лин. комбинации его фундам. сис. решений.
16. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения). Частные решения линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами a0y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y/+any=0(1)
,( где а0,а1…аn-действ.постоянные)
всегда можно искать в виде y=ekx,
где k – некоторая постоянная. Так как y/=kekx, y//=k2ekx, … , y(n)=knekx, то подставляя в исходное дифференциальное уравнение имеем: (a0kn+a1kn-1+…+an-1k+an)ekx=0.
Сокращая на необращающийся в нуль множитель ekx, получим алгебраическое уравнение n-ой степени, называемое характеристическим:
a0kn+a1kn-1+…+an-1k+an=0.(2)
Это уравнение определяет те значения постоянной k, при которых функция y=ekx является частным решением линейного однородного уравнения (1). В зависимости от рода корней характеристического уравнения (2) возможен случай:
Если все корни(2)
k1,
k2,…,kn
характеристического уравнения
действительны и различны
, то тем самым
найдено n
линейно независимых частных решений
(3)
исходного уравнения, то есть найдена
его фундаментальная система решений.
(3)-лин. независимы на любом отрезке.То (3) образуют ф.с.р.(1)
Следовательно,
,
гдеCi
– произвольные постоянные, является
общим решением исходного уравнения(1)
№7
Понижение порядка в линейных дифференциальных уравнениях n-го порядка.
Порядок (7) может
быть понижен, если известно одно частное
решение
этого уравнения. Для понижения порядка необходимо сделать замену:
Покажем , что (13) понизит порядок на 1, при этом новое уравнение u(x) будет линейным и однородным.
y=yz
(14)
z=u
(15)
Применим к (7) замену (14),
получим новое уравнение с z , которое является лин. и однородным.
z и ее производные входят линейно и однородно. Если все производные и саму функцию (14) подставим в (7) и приведем подобные, получим:
Т.к. функции y
и z
связаны равенством (14), то решение
уравнения
(7) соответствует
.
Т.К. все функции
0
, подставим
в
(16), то получим
Делая замену (15):
У
(18) порядок n-1,лин.,
однородное.
Пусть известно к
штук решений- линейно независимых на
[а.в] частное решение:
уравнения (7). Покажем что в этом случае
порядок (7) можем быть понижен на к-едениц,
с сохранением линейн-ти и однородности
урав-я.
- замена.
Получим (18)-лин. и однор.
Из (19) выразим u(x)
и продифферен-цируем.
Если в нее подставлять
,
то получим
;
;………….
(20)
Покажем, что (20) линейно- нез. на [а,в].
Пусть противное,
(20)- линейно-зависимо на [а,в]. То
Вычисляем от обеих частей определенный интеграл:
где
,
.
Т.к. первообразная совпадет с функцией и используя формулу Ньтона- Лейбница, получим:
/*обе
части тождества:
Это тождество
невозможно т. к.
линейно
нез. на [a,b].
Взяв одно из частных
решений
,
мы понизим порядок (7) на 1, получив
(18)-лин. и однор., для этого ур. мы знаем
к-1 частное решение (20)-лин. нез. на [a,b].
Берем одно из частных решений (20), понижаем порядок (18) еще на 1, получаем к-2 лин. нез. частных решений. Продолжая этот процесс к раз придем к уравнению n-k –лин,однор.
№ 9