18. Однородные и неоднородн. Кр-я Эйлера.

Ур-я вида (1) (где - постоянные) наз-сяоднородн-ми ур-ми Эйлера. Заменой , приx>0 преобраз-ся в линейное однородн. ур-е с пост-ми коэфф-ми: Действительно, вычислим производные всех необходимых порядков: , ... ,. после подстановки в ур-е (1) и взаимного сокращения множителейполучаем линейное однородн. ур-еn-го порядка с пост-ми коэфф-ми , где- новые постоянные. Найдя общее решение этого ур-я и полагая в нем, получим общее решение исходного ур-я Эйлера. Общее решениенеоднородного ур-я Эйлера

(2), равно сумме общего решения соотв-ующего однородного ур-я (1) и какого либо частного решениянеоднородного ур-я.

Если правая часть неоднородного ур-я имеет специальный вид (3) или (4), где p,q- постоянные, P(t), Q(t) –многочлены, то проще всего сначала проинтегрировать однородное ур-е (1), а для подбора частного решения неоднородного ур-я. преобразовать ур-е (2) , заменой переменных (x>0) к ур-ю с пост-ми коэфф-ми, найдя для него частное решение и полагая получим частное реш-е ур-я (2) . Если правая часть ур-я (2) равна сумме нескольких ф-ций вида (3 ) или (4) то частное реш-е нах-ся при помощи принципа суперпозиции. Частное решение ур-я (2) с правой частью вида, равно сумме частных решений уравнений с той же левой частью и правыми частями равными каждой из ф-ций, ...

постоянная называемая контрольным числом правых частей, -многочлены степени, то частное реш-е с.у.(1) ищется в виде,(3) i=1...n, где -многочлены степениm+r с неопр-ми коэфф-ми, m=max(). Числоr=0, если p не явл-ся корнем хар-го ур-я, если же p явл-ся корнем хар-го ур-я, то r равно кратности этого корня. Что-бы найти коэфф-ты многочленов надо решение (3) подставить в исх-ю систему и приравнять коэфф-ты при подобных членах в левых и правых частях ур-й, в итоге получим систему линейных ур-й отн-но искомых коэфф-тов.

10) Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Простейшие случаи понижения порядка. Рассмотрим простейшие случаи, допускающие понижения порядка.

1) Дифференциальное уравнение F(x,y^(k),…,y⁽ⁿ⁾) =0, не содержащее искомой функции y и ее младших производных до порядка k-1 включительно, допускает понижение порядка на k единиц заменой переменной u=y^(k), где u(x) – новая искомая функция. Действительно, после замены переменных исходное уравнение принимает вид: F(x,u,u^/,…,u^(n-k))=0. Интегрируя это уравнение и определяя новую искомую функцию u=u(x,C₁,…,C_n-k), можно найти функцию y k-кратным интегрированием уравнения y^(k)=u(x,C₁,…,C_n-k).

2). Дифференциальное уравнение F(y,y^/,y^//,…,y⁽ⁿ⁾)=0, не содержащее независимой переменной, допускает понижение порядка на единицу путем замены обеих переменных. В качестве новой искомой функции выбирается p=y^/, а в качестве новой независимой переменной принимается y, то есть p=p(y). При этом все производные надо выразить через производные от новой искомой функцииp(y) по y. По правилу дифференцирования сложной функции получаем

, и аналогично для производных более высокого порядка. При этом очевидно, что производныевыражается через производные порядка не вышеk-1 от p по y, что и приводит к понижению порядка на единицу, то есть исходное уравнение после замены переменных принимает вид . 3). Если левая часть уравненияn-го порядка F(x,y,y^/,y^//,…,y⁽ⁿ⁾)=0(1) является некоторой производной некоторой функции Ф(x,y,y^/,y^//,…,y^(n-1)), то есть , то непосредственно интегрированием получаем уравнение Ф(x,y,y^/,y^//,…,y^(n-1))=C(2), которое является уравнением (n-1)-го порядка и называется первым интегралом исходного уравнения(1). Иногда левая часть исходного уравнения(1) становится точной производной от какого-либо выражения лишь после умножения (1)на множитель μ(x,y,y^/,…,y^(n-1)), который называется интегрирующим множителем.

4). Однородное уравнение n-го порядка F(x,y,y^/,y^//,…,y⁽ⁿ⁾)=0, для которого при некотором k и любом t справедливо тождество F(x,ty,ty^/,ty^//,…,ty⁽ⁿ⁾)≡t^k F(x,y,y^/,y^//,…,y⁽ⁿ⁾),(к-степень однородности), допускает понижение порядка на единицу с помощью подстановки , гдеz(x) – новая неизвестная функция. Действительно, дифференцируя, получаем ,,, … ,. Убедиться в справедливости последнего равенства можно методом индукции. Подставляя полученные равенства в исходное уравнение и замечая, что в силу однородности множитель, можно вынести за знак функцииF, получим или, сокращая на, получаем уравнение (n-1)-го порядка .

5) Обобщенное однородное уравнение n-го порядка F(x,y,y^/,y^//,…,y⁽ⁿ⁾)=0, для которого при некоторых k, p и любом t справедливо тождество , допускает понижение порядка на единицу заменой обеих переменныхx=e^t, y=z(t)e^kt (1), где t – новая независимая переменная; z(t) – новая искомая функция. Выразим производные от функции y по переменной x через производные от функции z по переменной t. По правилу дифференцирования сложной функции ,,, … ,, гдеg – некоторая функция n+1 переменной. Подставляя (1) и полученные выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение следующего вида: . В силу обобщенной однородности исходного уравнения множительe^pt можно вынести за знак функции F. В результате после сокращения получим уравнение n-го порядка. . Это уравнение не содержит независимой переменнойt и поэтому допускает понижение порядка на единицу.