3.2. Предел функции

Для функции выясним, к какому числуприближается значение этой функции, когда значение переменнойприближается к числу. Дляслевасоответственно имеем значения:, еслисправа, то значения:.

Видим, что значения функции приближается к . Символически это записывают так, и читается предел функции, когдастремится к трем, равен шести. В общем случае пишут.

В этом примере имеем две последовательности: для одной значения , а для другой значения функции. Используя окрестности точеки, определение предела функции можно сформулировать так.

Число называется пределом функциипри, если для любого сколь угодно малогонайдется такое, чтопри.

Отметим, что в определении предела функции не требуется, чтобы функция была определена в предельной точке, но она должна быть определена в какой-либо окрестности предельной точки, в которую сама предельная точка может не входить.

Предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно , и если прифункция имеет предел, то он единственный.

Если иx<а, то пишутили, еслииx>а, тоили. Соответствующие пределы называются левосторонними и правосторонними пределами функции в точке. Здесь предполагается, что функция определена на некотором промежутке слева от предельной точки или справа.

Число называется пределом функциипри, если для любого сколь угодно малогонайдется такое положительное число(зависящее от), что для всех– таких, что, верно неравенство. Обозначается.

С помощью логических символов определения пределов функции можно записать так:

()() (), ()),

()() (), ()).

3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция называетсябесконечно малой (б. м.) при или при, еслиили, т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Функция называется бесконечно большой (б. б.) приили при, еслиили, т.е. бесконечно большая функция – это функция, предел которой в данной точке равен бесконечности.

Так, функция является б. б. прии б. м. при.