24 25

,

где .

Пример.Даны комплексные числа,. Найти,,,.

Решение.

,

,

(учли, что).

.

Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число , получим:

.

Контрольные вопросы

1. Какие операции можно выполнить над множествами? Приведите примеры.

2. Из каких чисел состоит множество действительных чисел?

3. В какой форме записывают комплексные числа?

4. Как выполняются действия над комплексными числами?

Тема 2. Последовательности. Предел последовательности

2.1. Числовые последовательности

Под числовой последовательностью ,, …,, … понимают функцию, заданную на множественатуральных чисел. Числовая последовательность обозначается, илигде.

Последовательность задается формулой ее общего члена. Например,

: 1, , , … , , …

В школьном курсе математики изучаются арифметическая прогрессия

,,…,, …,

и геометрическая прогрессия

,,, …,,….

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любоговыполняется неравенство. В противном случае – неограниченной. Так, последовательностьограниченная, а последовательностьнеограниченная.

Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любоговыполняются неравенства, аналогично убывающей (невозрастающей). Такие последовательности называются монотонными. Последовательность

:

не монотонна.

Если все члены последовательности равны одному и тому же числу, то ее называют постоянной.

2.2. Предел числовой последовательности

Числовая последовательность неограниченно приближается к единице. В этом случае говорят, что последовательностьстремится к пределу, равному. При этом абсолютная величина разностистановится все меньше и меньше, т.е. с ростоммодульбудет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа.

Число называется пределом последовательности, если для любого положительного числанайдется такое натуральное числоN, что при всехNвыполняется неравенство. В этом случае пишут

и говорят, что последовательность имеет предел, равный. Также говорят, что последовательностьсходится к. Последовательность не может иметь два различных предела.

Используя логические символы: квантор общности (для любого) и квантор существования(найдется), символ равносильности, определение предела последовательности можно коротко записать так:

(N:n>N).

Геометрический смысл определения предела последовательности состоит в следующем. Неравенство равносильно неравенствамили, которые показывают, что членнаходится в– окрестности точки, начиная с некоторого номера.

Ясно, что чем меньше , тем больше числоN, и в любом случае внутри– окрестности точки– находится бесконечное число членов последовательности, а вне нее может быть лишь конечное их число.

Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Для постоянной последовательности . Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел (теорема Вейерштрасса).

2.3. Нахождение пределов числовых последовательностей. Число

Для вычисления пределов последовательностей используют следующую теорему. Если ,, то

,,,

где

Например, найти пределы следующих последовательностей.

1. (так какпри).

2. .

3. .

4. .

Последовательность с общим членом имеет предел, обозначаемый обычно буквойе, т.е.. Числоиррациональное, его приближенное значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045…).

Это число играет важную роль в математике и ее приложениях. График функции получил название экспоненты. Широкое применение имеет логарифм по основанию, называемый натуральным логарифмом. К числуприводит анализ таких процессов, как рост населения, размножение бактерий, распад радиоактивных элементов.

В экономике число используется, например, в задаче о непрерывном начислении процентов. Пусть вклад в банкденежных единиц и банк выплачивает ежегодногодовых. Найти размер вкладачерезлет. При использовании простых процентов ежегодно вклад увеличивается на величину, т.е.

.

В финансовых расчетах возникает необходимость применять сложные проценты, когда размер вклада увеличивается в одно и то же число раз, т.е.

, , … ,.

Если начислять проценты не один раз в год, а раз, то

.

Пусть они начисляются непрерывно (квартал, месяц, каждый день, час и т.д.). Тогда

.

Эта формула при непрерывном начислении процентов, используется при анализе различных финансовых задач.