10.Построение фильтров

Существует много способов построения фильтра с заданной передаточной функцией n-го порядка. Один популярный способ заключается в том, чтобы представить передаточную функцию в виде произведения сомножителей H₁, H₂, …, H_m и создать схемы или звенья, или каскады N₁, N₂, …, N_m, соответствующие каждому сомножителю. Наконец, эти звенья соединяются между собой каскадно (выход первого является входом второго и т. д.), как изображено на рисунке 13. Если эти звенья не влияют друг на друга и не изменяют собственные передаточные функции, то общая схема обладает требуемой передаточной функцией n-го порядка. Ранее было установлено, что ОУ обладает бесконечным входным и нулевым выходным сопротивлениями. Таким образом, его можно использовать для реализации невзаимодействующих звеньев.

Рисунок 13 – Каскадное соединение звеньев

Для фильтров первого порядка передаточная функция представляется в виде:

(28)

где С – постоянное число, а P(s) - полином первой или нулевой степени. Для фильтров второго порядка передаточная функция

(29)

где В и С – постоянные числа, а P(s) – полином второй или меньшей степени.

Для четного порядка n>2 обычная каскадная схема содержит n/2 звеньев второго порядка, каждое с первой передаточной функцией. Если же порядок n>2 является нечетным, то схема содержит (n-1)/2 звеньев второго порядка с передаточными функциями второго типа и одно звено первого порядка с первой передаточной функцией.

Для фильтров, описываемых второй передаточной функцией, определим собственную частоту

(30)

и добротность

(31)

Таким образом, можно переписать функцию в виде

(32)

Если значение невелико, например от 0 до 5, то для реализации передаточной функции можно использовать относительно простые схемы. Однако для высоких значений, например более 10, потребуются более сложные схемы.

11.Полосно-заграждающие фильтры

Полосно-заграждающий фильтр (называется также полосно-задерживающим или полосно-исключающим, или V-образным) представляет собой устройство, которое подавляет сигналы в единственной полосе частот и пропускает сигналы со всеми другими частотами. Эта полоса подавления характеризуется шириной BW и расположена приблизительно вокруг центральной частоты ω₀ (рад/с), или

(Гц)

Идеальная и реальная АЧХ полосно-заграждающего фильтра изображены на рисунке 14. Для реальной АЧХ частоты ω_L и ω_V представляют собой нижнюю и верхнюю частоты среза, определяющие полосу подавления

ω_L≤ ω≤ω_V и её ширину BW= ω_V - ω_L.

Рисунок 14 – Идеальная и реальная характеристики полосно-заграждающего фильтра

Что же касается реальной характеристики, показанной на рисунке 14, то в полосе подавления она никогда не превосходит некоторого заранее выбранного значения, например А₂. Существуют также две пропускания 0≤ω≤ω_L и ω≥ ω_V, где значение АЧХ характеристики всегда больше А₁.Определим полосу задерживания как диапазон частот ω₁ ≤ ω≤ ω₂, где значение АЧХ никогда не превышает выбранного числа А₂≤ А₁. Тогда диапазоны частот ω_L ≤ ω≤ ω₁ и ω₂≤ω≤ω_V называются соответственно нижней и верхней переходными областями и в них характеристика монотонна.

Соотношение

(33)

характеризует добротность этого фильтра и определяет его избирательность. Высокому значению Q соответствует относительно узкая, а низкому значению Q относительно широкая полоса частот. Коэффициент усиления К фильтра представляет собой значение его АЧХ, снятую при постоянном токе, т.е.

(34)

Полосно-заграждающие передаточные функции можно получить из нормированных функций нижних частот переменной S с помощью преобразования :

(35)

Следовательно, полосно-заграждающий фильтр имеет четный порядок

n=2, 4, 6 … Результирующий полосно-заграждающий фильтр в зависимости от соответствующей ему функции нижних частот имеет характеристику фильтра Баттерворта, Чебышева, инверсного Чебышева или эллиптического. АЧХ полосно-заграждающего фильтра Баттерворта изменяется монотонно по любую сторону от его частоты подавления или центральной частоты, как показано на рисунке 1. Полосно-заграждающий фильтр Чебышева обладает пульсациями в полосе пропускания, а полосно-заграждающий инверсный фильтр Чебышева – в полосе задерживания. Для полосно-заграждающего эллиптического фильтра пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. В каждом случае центральная частота и частоты среза связаны следующим соотношением :

(36)

Частоты полосы пропускания:

(37)

(38)

Частоты полосы задерживания:

(39)

(40)

где частота представляет собой начало полосы задерживания соответствующего фильтра нижних частот. Другими словами,

(41)

где TW-нормированная ширина переходной области соответствующего фильтра нижних частот[3, с. 51-53 ].