2.2. Вывод уравнения политропного процесса в переменных (p,V)

Выражения первого начала термодинамики можно записать в двух эквивалентных формах (через внутреннюю энергию и через энтальпию):

22\* MERGEFORMAT ()

Здесь

33\* MERGEFORMAT ()

(два последних равенства представляют собой закон Джоуля: внутренняя энергия и энтальпия идеального газа зависят только от температуры).

Подставив в уравнения 2 и исключая из них, после простых преобразований получим

44\* MERGEFORMAT ()

Постоянная величина

55\* MERGEFORMAT ()

Называется показателем политропы.

Выражение 4 записывается в виде дифференциального уравнения первого порядка с разделёнными переменными

66\* MERGEFORMAT ()

решение которого имеет вид:

77\* MERGEFORMAT ()

или

(8)

Графическое изображение политропного процесса.

Зависимость 7 для различных значений показателя политропы представлена на рис.1.

Рис.1. Изображение политропного процесса в диаграмме для различных значений показателя политропы.

2.3. Способы определения показателя политропы

Выражение (4) для показателя политропы n представляет собой отношение внешней работы и работы расширения, которые на диаграмме p – v графически изображаются площадями слева от кривой процесса и под ней соответственно (рис. 2).

Рис. 2. Графическое определение показателя политропы

(9)

Таким образом, для определения показателя политропы необходимо знать, что процесс является политропным, и иметь его изображение на диаграмме p – v. Такой способ называется графическим.

Показатель политропы можно определить также по значениям двух параметров в начале и в конце процесса. Записывая уравнение политропного процесса, например, для известных давлений и объемов в начале и в конце процесса (точки 1 и 2)

(10)

получим

(11)

Такой способ определения показателя политропы называется аналитическим.

2.4. Вычисление параметров состояния в начале и в конце процесса

Соотношение для давлений и объемов в начальном и конечном состояниях следует из (10); соотношения для температур и давлений или температур и объемов можно получить, выражая объемы и давления через температуры из уравнения состояния (1):

(12)

2.5. Вычисление теплоемкости и количества теплоты процесса

При заданном значении показателя политропы из определения 5 находим теплоёмкость политропного процесса:

(13)

Тогда количество теплоты процесса при постоянной теплоемкости

(14)

2.6. Вычисление работы изменения объема и внешней работы

Работа изменения объема по определению

Поскольку теперь известно уравнение процесса в переменных p,v,

этот интеграл может быть вычислен:

(15)

Используя соотношение между давлением и объемом в политропном процессе и уравнение состояния, выражение для работы можно также записать в виде:

(16)

Внешняя работа процесса.

Внешнюю работу процесса также можно вычислить, используя определение внешней работы и взяв соответствующий интеграл

Однако проще получить это выражение, воспользовавшись определением показателя политропы (9), из которого видно, что внешняя работы в n раз больше работы изменения объема:

(17)