2. Алгоритмы решения задачи доски n*n.

2.1. Рекуррентный алгоритм:

На доске 1х1 один ферзь ставится на одно-единственное поле, и решение существует. На доске 2х2 один ферзь, где бы ни стоял, нападает на три других поля, и второго ферзя поставить некуда. На доске 3х3 умещаются только два мирных ферзя. Итак, для досок 2х2 и 3х3 задача не имеет решения. Эти два случая представляют собой исключение. Для всех N > 3 на доске NxN можно расставить n не угрожающих друг другу ферзей.

На доске 4x4 существует одна основная расстановка, причем дважды симметрическая: a2, b4, c1, d3, т.е. всего имеется два решения. На доске 5x5 основных расстановок две: 1) a2, b4, c1, d3, e5; 2) a2, b5, c3, d1, e4. Общее число расстановок равно десяти, причем из них можно выбрать пять таких, при наложении которых друг на друга 25 ферзей заполняют все поля доски 5х5.

Заметим, что в общем случае N расстановок (решений задачи) могут заполнить при наложении всю доску NхN только при тех n, которые не кратны двум и трем. Из этого, в частности, следует, что для обычной доски подобрать восемь расстановок, накрывающих все 64 поля доски, невозможно.

Классическим решением задачи N ферзей является прямой перебор с отсечением. Прямой перебор заключается в испытании на конфликтность всех возможных комбинаций. Например, на доске существуют N^2 позиции, таким образом, мы имеем N^2 возможных позиций для первого ферзя, N^2-1 для второго и т.д. Общее число возможных расположений всех ферзей составляет (N^2, N) = (N^2)!/((N^2-N)! * n!). Если перебрать все эти позиции, можно найти все правильные решения. Для n=10 число всех позиций равно ~1.73*10^13.

Поскольку в неконфликтном расположении на одной горизонтали может стоять только один ферзь, то мы можем ограничиться расстановкой одного ферзя на первой горизонтали, второго - на второй и т.д. Это дает нам N возможных положений для каждого ферзя и N^N различных расположений. Для N=10 это будет 10^10. Заметим, что на каждой вертикали также может быть только один ферзь: i-й ферзь имеет только n-i+1 возможных положений, поскольку предыдущие i-1 ферзей уже заняли i-1 вертикалей. Теперь общее количество возможностей сократилось до N! или 3.6*10^6 вариантов для n=10.

И последний способ уменьшить количество возможных вариантов – контролировать положение ферзей на одной диагонали. Хотя это просто запрограммировать, бывает трудно дать оценку количества перебираемых вариантов.

2.2. Алгоритмы Лас-Вегаса или Алгоритм поиска с возвратом:

Если решать более общую задачу об N ферзях, то такой перебор вариантов даже с использованием описанных выше сокращений будет весьма долго работать уже при N = 20, так как 20! = 2.433×10^18.

2.3. Эвристический алгоритм:

Эвристический алгоритм (эвристика) — алгоритм решения задачи, не имеющий строгого обоснования, но, тем не менее, дающий приемлемое решение задачи в большинстве практически значимых случаев. Эвристический алгоритм — это алгоритм решения задачи, правильность которого для всех возможных случаев не доказана, но про который известно, что он даёт достаточно хорошее решение в большинстве случаев. В действительности может быть даже известно (то есть доказано) то, что эвристический алгоритм формально неверен. Его всё равно можно применять, если при этом он даёт неверный результат только в отдельных, достаточно

редких и хорошо выделяемых случаях, или же даёт неточный, но всё же приемлемый результат.

Для решения поставленной задачи эвристический алгоритм будет выглядеть так:

1)Разделить N на 12 и запомнить остаток (N будет равно 8 для задачи о восьми ферзях).

2)Занести в список все четные числа от 2 до N по порядку.

3)Если остаток равен 3 или 9, перенести 2 в конец списка.

4)Добавить в список все нечетные числа от 1 до N по порядку, но, если остаток равен 8, перевернуть пары соседних чисел (например: 3, 1, 7, 5, 11, 9, …).

5)Если остаток равен 2 и N ≥ 3, поменять местами 1 и 3, затем, если N ≥ 5, перенести 5 в конец списка.

6)Если остаток равен 3 или 9, переместить 1 и 3 (именно в этом порядке, а не в котором они сейчас) в конец списка.

7)Разместить ферзя в первом столбце и в строке с номером, равным первому элементу списка, затем поместить следующего ферзя во втором столбце и в строке с номером, равным второму элементу списка, и т.д..

Примеры:

8 ферзей (остаток 8): 2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7.

14 ферзей (остаток 2): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 3, 1, 7, 9, 11, 13, 5.

15 ферзей (остаток 3): 4, 6, 8, 10, 12, 14, 2, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 1, 3.

20 ферзей (остаток 8): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 3, 1, 7, 5, 11, 9, 15, 13, 19, 17.

Заключение

Анализируя данные алгоритмы нужно отметить, что их эффективность напрямую зависит от размера «доски». При небольшом размере по эффективности преобладает Алгоритм Лас-Вегаса. А при увеличении размера преобладают рекуррентный и эвристический. Но, т.к. эвристический правилен не при всех значениях N, то самым эффективным из предложенных является рекуррентный.

Список литературы

1. М. Гарднер Математические досуги. - 2-е изд., испр. и доп. М: Мир, 2000. – 444 с.

2. Дж. Макконел Основы современных алгоритмов. - 2-е изд., М: Техномир, 2004. – 368c.

3. Е. Корнилов Программирование шахмат и других логических игр. – 1-ое изд., C-Пб: БХВ-Петербург, 2005. – 272c.

4. А. Левитин Введение в анализ и разработку алгоритмов – М: Вильямс, 2006. – 576c.

5. Вирт Н. Алгоритмы и структура данных – C-Пб.; Невский Диалект, 2005. – 352с.

6. А. Ахо, Дж. Хопфорт, Дж. Ульман Построение и анализ вычислительных алгоритмов – М: Мир, 1979. – 135c.

7. Д. Кнут Искусство программирования т.2 – М:1968. – 788c.

Приложение 1.

Текст программы

programQueens;

var q : array [1..8] of integer ;

I , q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 , q7 , q8 , n : integer ;

function boy ( c : integer ) : boolean ;

var j : integer ;

res: boolean ;

begin

res :=false ;

for j :=1 to c-1 do

res :=res or ( ( c=j ) or ( q [ c ]=q [ j ] ) or

( ( c+q [ c ] )=( j+q [ j ] ) ) or ( ( c-q [ c ] )=( j-q [ j ] ) ) ) ;

boy:=res ;

end;

begin

n:=1;

for i :=1 to 8 do q [ i ] :=1 ;

for q1 :=1 to 8 do

begin

q [ 1 ] := q1 ;

for q2 :=1 to 8 do

begin

q [ 2 ] := q2 ;

if ( not ( boy ( 2 ) ) ) then

for q3 :=1 to 8 do

begin

q [ 3 ] := q3 ;

if ( not ( boy ( 3 ) ) ) then

for q4 :=1 to 8 do

begin

q [ 4 ] := q4 ;

if ( not ( boy ( 4 ) ) ) then

for q5 :=1 to 8 do

begin

q [ 5 ] := q5 ;

if ( not ( boy ( 5 ) ) ) then

for q6 :=1 to 8 do

begin

q [ 6 ] := q6 ;

if ( not ( boy ( 6 ) ) ) then

for q7 :=1 to 8 do

begin

q [ 7 ] := q7 ;

if ( not ( boy ( 7 ) ) ) then

for q8 :=1 to 8 do

begin

q [ 8 ] := q8 ;

if ( not ( boy ( 8 ) ) ) then

begin

writeln ( 'Solution ' ,n ) ;

for i :=1 to 8 do writeln ( '(' , i , ',' , q [ i ] , ') ' , boy ( i ) ) ;

inc (n ) ;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

readln;

end.

22