Основы механики твердого деформируемого тела

1.4. Пример анализа устойчивости системы с бесконечным числом степеней свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ . . . 665 2.1. Пример решения задачи статическим способом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 2.2. Статический критерий в случае произвольного конечного числа сте-

пеней свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .667 2.3. Пример решения задачи энергетическим способом . . . . . . . . . . . . . . . . . . .668 2.4. Энергетический критерий в случае произвольного конечного числа

степеней свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669

ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670 3.1. Отклоненное состояние равновесия стержня, испытывающего осе-

вую и изгибную деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .670 3.2. Критическое состояние гибкого стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .672 3.3. К оценке надежности конструкции, которая может потерять

устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 3.4. Устойчивость ступенчатого стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

ГЛАВА 4. ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТОГО ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680 4.1. Касательно-модульная и приведенно-модульная концепции крити-

ческого состояния стержня из пластического материала . . . . . . . . . . . . . 680 4.2. Сопоставление теоретических результатов с экспериментальными

данными. Оценка устойчивости сжатых стержней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 4.3. Концепция продолжающегося нагружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 4.4. О начальных несовершенствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .689

ГЛАВА 5. МНОГОСТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 5.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 5.2. Использование метода перемещений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 5.3. Использование метода сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .699 5.4. Особые случаи при решении задач устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 5.5. Учет осевой пролетной нагрузки. Конструкции из непризматичес-

ких стержней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706

ГЛАВА 6. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710 6.1. Пространственная форма потери устойчивости гибких стержней . . . . . 710 6.2. Критическая нагрузка для тонких плит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 6.3. Случай неконсервативной нагрузки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718 ЧАСТЬ VII. ПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТЕЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 1.1. Предельное состояние силовой конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .721 1.2. Приспособляемость. Простое нагружение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 1.3. Дополнительные сведения о напряженном состоянии в точке тела . . 730

1.4. Деформированное состояние в точке тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .734 1.5. Закон Гука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ . . . . . . . . 739 2.1. Модели упругопластического материала при одноосном напряжен-

ном состоянии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739 2.2. Условия начала пластичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 2.3. Активное и пассивное нагружения. Постулат Друкера . . . . . . . . . . . . . . .747 2.4. Ассоциированный закон текучести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750 2.5. Теория течения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752 2.6. Теория малых упругопластических деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754 2.7. Иллюстративный пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .758

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 3.1. Теория пластичности и предельное состояние тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . .763 3.2. Статическая и кинематическая теоремы о предельной нагрузке . . . . . .764 3.3. Предельное состояние при изгибе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766 3.4. Предельное состояние балок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .770 3.5. Предельное состояние тонких плит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786 4.1. Исходные положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .786 4.2. Экспериментальная проверка условий начала текучести . . . . . . . . . . . . . 790 4.3. Экспериментальная проверка законов упрочнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793 4.4. Экспериментальная проверка деформационной теории . . . . . . . . . . . . . . . 795 4.5. Экспериментальная проверка теории течения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798 4.6. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .802

ПРИЛОЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 Приложение 1. Геометрические характеристики поперечных сечений

брусьев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 Приложение 2. Сортамент прокатной стали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 Приложение 3. Размерности некоторых механических величин . . . . . . . . . . 834 Приложение 4. Перечень формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .835 Приложение 5. Механические характеристики конструкционных мате-

риалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836 Приложение 6. Коэффициенты продольного изгиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .840 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846

ПРЕДИСЛОВИЕ

Одна из главных задач в инженерном деле – обеспечение надежности создаваемых объектов. Слово "надежность" многогранно, но инженер, проектирующий мосты, опоры линий электропередач, каркасы зданий, корпуса судов и летательных аппаратов, другие силовые конструкции, связывает с термином надежность прежде всего прочность и жесткость задуманных им объектов. Говоря иначе, конструкция не должна разрушаться при эксплуатации или изменять форму и размеры так, что дальнейшее ее использование стало бы невозможным. Чтобы выполнить указанные требования, необходимо должным образом выбрать материал для изготовления конструкции, назначить размеры всех ее элементов, предложить способы присоединения элементов друг к другу. А для этого нужно уметь определять силы взаимодействия между конструкцией и окружающей ее средой, между различными элементами конструкции и даже между отдельными частями каждого элемента. Надо научиться учитывать изменение размеров и формы реальных тел при приложении внешних сил, смене температурного режима, монтаже конструкции, да и многое другое. Сказанное в самых общих чертах характеризует тот круг проблем, с которыми сталкиваются специалисты, обеспечивающие прочность инженерных конструкций. Изучение этих проблем, разработка и обоснование методов их решения – прерогатива отрасли знаний, именуемой механикой твердого деформируемого тела.

Механика твердого деформируемого тела преподается на всех технических факультетах в виде набора таких дисциплин, как техническая механика, сопротивление материалов, теория упругости и пластичности, строительная механика, возможно, и некоторых других. Представителям ряда специальностей достаточно знать только одну из дисциплин названного перечня, например, техническую механику или сопротивление материалов. Будущие строители зданий и сооружений, мостов и тоннелей, самолетов и кораблей изучают предмет в полном объеме. В этом случае разбиение механики деформируемого твердого тела на отдельные дисциплины теряет смысл и рубрикация курса может быть подчинена только внутренней логике.

При том варианте построения курса, который предлагается в настоящем пособии, в частях I (главы 1, 2, 5–7) и III сосредоточен материал, относящийся к компетенции теории упругости. В главах 3, 4, 8 части I и в части II изучаются вопросы, находящиеся в ведении´ сопротивления материалов.

Проблемы, с которыми имеет дело строительная механика, рассматриваются в частях IV, V и VI. Наконец, часть VII посвящена теории пластичности. Излагаемый материал основан на цикле лекций, читаемых автором в течение многих лет студентам строительного факультета ПетрГУ. Однако дается он более детально, нежели это можно сделать в аудитории за отводимое учебным планом время. Сказанное относится как к набору рассматриваемых в пособии тем, так и к глубине их проработки. Такой образ действий продиктован желанием дать будущим инженерам представление о том минимуме знаний механики, которыми должен обладать специалист в области прочности и надежности строительных и машиностроительных конструкций. И не так уж и важно, что при первом знакомстве с механикой твердого деформируемого тела это представление частично будет получено только по наименованиям тех глав или разделов, которые в читаемый курс лекций не попадают.

На материал, содержащийся в начальных частях курса, приходится опираться при изложении его последующих частей. По этой причине неизбежны ссылки как на различные главы и параграфы (пункты) предыдущих разделов, так и на имеющиеся в них формулы и рисунки. Такие ссылки в качестве первого символа содержат римскую цифру, соответствующую номеру той части курса, к которой идет обращение. Так, словосочетание "см. главу II.3" означает, что речь идет о главе 3 из части II данной книги, а ссылка на формулу (2.7) из части V оформляется в виде записи (V.2.7).

ЧАСТЬ I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

На материале этого раздела, как на фундаменте, покоится все здание механики твердого деформируемого тела. Прежде всего, здесь выводится и анализируется так называемая полная система уравнений задачи о напряженнодеформированном состоянии в точке тела. Без такой системы нельзя решить вопрос о прочности какой бы то ни было конструкции, будь то корпус океанского лайнера или крышка сосуда, находящегося под давлением. Хотя бы по этой причине данный раздел механики деформируемого твердого тела можно рассматривать как ключевой. Правда, для многих частных задач и полная система уравнений, и получаемые на ее основе разрешающие уравнения записываются намного проще, чем в общем случае. И тут нет ничего неожиданного: ведь и в других областях знаний дело обстоит подобным образом. Например, система уравнений, описывающих движение абсолютно твердого тела, сложнее уравнений равновесия этого тела, в свою очередь, условия равновесия для плоской системы сил составляются и решаются проще, чем в случае пространственной нагрузки. Безусловно, частные задачи заслуживают самостоятельного анализа и некоторые примеры такого анализа в данную часть пособия включены. Однако большая´ часть специальных задач изучается в других разделах курса.

При оценке прочности сооружений важна также информация о том, как сопротивляются разрушению конструкционные материалы. Чтобы получить такую информацию, проводят всевозможные испытания материалов при различных воздействиях. Поэтому изучение механики твердого деформируемого тела требует обращения к ее экспериментальной базе. Не обойтись и без обсуждения так называемых критериев прочности, т. е. признаков, по которым судят о возможном разрушении материала. Вот в самых общих чертах тот круг проблем, который предполагается рассмотреть в предлагаемой части курса.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1. Тела и прикладываемые к ним нагрузки. Под телом понимается как конструкция в целом, так и любой ее элемент. Собственно говоря, таким же образом вводилось понятие тела и в механике абсолютно жестких сред,

но разница заключается в том, что теперь допускается возможность его (тела) деформирования. Другими словами, в изучаемом здесь разделе механики исследуются не только силы взаимодействия между различными телами и относительное движение таких тел, но и внутренние силы взаимодействия между частицами тела и относительное движение самих частиц.

Силы взаимодействия, возникающие при контакте тел, могут быть активными и реактивными. Последние представляют собой реакции связей, ограничивающих движение рассматриваемого тела по отношению к другим телам. Здесь связи считаются идеальными и стационарными.

Нагрузки, обусловленные контактом тел, т. е. прикосновением к данному телу других тел, называются поверхностными. Поверхностная нагрузка характеризуется главным вектором и главным моментом всех сил, возникающих при контакте. Эти интегральные характеристики нагрузки, имеющие размерность силы и момента силы, говорят о воздействии в целом, но не

оего мере в той или иной точке зоны контакта. Локальную информацию

овоздействии содержит так называемая интенсивность нагрузки, т. е. ее

величина, отнесенная к единице площади загружаемой части поверхности

тела:

q = lim ∆P

∆ω→0 ∆ω

В этой формуле q – интенсивность нагрузки, ∆P – величина силы, приходящейся на бесконечно малый участок ∆ω площади ω, включающий в себя рассматриваемую точку. При нагрузке, распределенной по площади ω равномерно,

q = Pω = const.

Если ширина площадки, к которой приложено воздействие, намного меньше ее длины, то величину нагрузки характеризует отношение

которое называют интенсивностью погонной нагрузки. Через ∆P обозначена величина нагрузки, приходящейся на участок бесконечно малой длины ∆s. Точка, в которой вычисляется интенсивность q, находится внутри этого участка.

Если все размеры площадки, к которой приложена нагрузка, малы по сравнению с размерами тела, то нагрузку условно считают приложенной в точке, принадлежащей указанной площадке (например, в ее центре). Такую нагрузку называют сосредоточенной.

Помимо поверхностных нагрузок существуют и такие, которые прикладываются к каждой частичке тела: это так называемые объемные силы.

менее упорядоченных волокон, бетон – из частиц заполнителей и цементного камня. Каждые кристалл, волокно, частица обладают индивидуальными свойствами, но поскольку в любом, даже малом, объеме, выделенном из тела, число элементов огромно, то наблюдается лишь среднестатистическое проявление индивидуальных свойств частиц. Именно этими усредненными свойствами и наделяют каждую точку объема тела, даже если рассматриваемая точка приходится, например, на межкристаллическое пространство. Такая модель материала получила название сплошной бесструктурной среды, или просто сплошной среды.

Если свойства материала не зависят от размеров выделяемого в теле объема, то сплошную среду именуют однородной. Стало быть, однородное тело – это тело, свойства которого во всех его точках одинаковы. Сплошная среда называется изотропной, если свойства любого выделяемого из нее элемента не зависят от ориентации последнего. Изотропным материалом является металл. Древесина – яркий пример анизотропного материала.

1.4. Внутренние силы взаимодействия. Силы взаимодействия между отдельными элементами конструкции или отдельными частями самого элемента называют внутренними силами взаимодействия, или просто внутренними силами. Для того, чтобы эти силы обнаружить, используется метод сечений. Пусть тело, которое находится в состоянии равновесия под действием сил P1, . . . , Pn (рис. 1.1a), мысленно рассекается на две части в некотором месте A. Говорят, что тело разделено на части сечением A, или разрезом A. Так как связи в месте рассечения тела устранены, необходимо для сохранения равновесия двух получившихся тел заменить влияние левой части на правую и правой части на левую системами сил PA, которые прикладываются к образовавшимся в результате разреза поверхностям тела (рис. 1.1b). Именно равные по величине и противоположные по направлению силы PA определяют взаимодействие между частями тела, расположенными по разные стороны от разреза.

Условия равновесия левой и правой отсеченных частей тела можно записать следующим образом:

Здесь через Лев(Pi) и Пр(Pi) обозначены суммы внешних сил или суммы моментов этих сил для частей тела, расположенных слева и справа от разреза. Аналогично запись (PA) означает сумму внутренних сил или их моментов. Но и тело в целом находится в состоянии покоя, так что

Лев(Pi) + Пр(Pi) = 0,

а потому равенства (1.1) зависимы. Таким образом, главный вектор и главный момент внутренних сил в сечении A могут быть выражены через силы Pi как из условий равновесия левой части тела, так и из условий равновесия его правой части.

О детальном распределении сил PA по сечению пока говорить преждевременно. Ясно лишь, что эти силы должны так деформировать поверхности A обеих частей тела, чтобы при последующем совмещении разделенных частей никаких зазоров в зоне контакта не было. Такое требование, предъявляемое к характеру деформирования тела, получило название условия совместности деформаций.

1.5. Тензор напряжений и его компоненты. Пусть точка K, принадлежащая сечению A тела (см. рис. 1.1b) окружена малой окрестностью с площадью ∆F . Пусть далее ∆PA – сила, приходящаяся на названную малую площадку в сечении A. Предел

называют вектором напряжений в точке K сечения A. Вектор s можно разложить на три составляющие. Его проекция на нормаль к сечению именуется нормальным напряжением и обозначается σ. Две другие составляющие, относящиеся к плоскости самого сечения, называют касательными напряжениями и обозначают τ . Символы σ и τ снабжаются индексами, о которых будет рассказано ниже.

Если через точку K провести другое сечение, то и вектор напряжений в этой точке будет другим. Совокупность напряжений для всего множества сечений, проходящих через данную точку тела, называют напряженным состоянием в этой точке. Ориентацию любого сечения можно определить вектором ν нормали к нему. Следовательно, напряженное состояние в точке тела характеризуется двумя векторами: ν и σ или 3 · 3 = 9 скалярными величинами. Такие объекты называются двухвалентными тензорами. Тензор, описывающий напряженное состояние в точке тела, именуют тензором напряжений и обозначают Tн. Остается выяснить, что представляют собой его компоненты.

На рис. 1.2 изображен параллелепипед бесконечно малых размеров – так называемый элементарный параллелепипед, содержащий точку, в которой исследуется напряженное состояние. Если при помощи шести разрезов указанный объем отделить от тела, то к каждой грани надо будет приложить силы, заменяющие отброшенные части этого тела. Так как параллелепипед мал, то силы взаимодействия можно считать равномерно распределенными по его граням. Такие силы сводятся к равнодействующим, приложенным к центрам граней. Каждая из равнодействующих может быть разложена на составляющие так, как это показано на рис. 1.2. На этом же рисунке указана используемая далее ортогональная система декартовых координат. Нормальные составляющие Sx, Sy , Sz сил взаимодействия снабжены лишь одним индексом, указывающим как на направление самой силы, так и на направление нормали к площадке, на которую данная сила действует. Положительными считаются нормальные силы, которые стремятся растянуть выделенный элемент. Силы, действующие в плоскостях граней параллелепипеда, называют касательными. Обозначающие их символы снабжены двумя индексами, первый из которых указывает на направление нормали к

соответствующей площадке, а второй – на направление самой силы. Касательная сила положительна, если на площадке с положительной внешней нормалью она направлена в ту же сторону, что и параллельная ей координатная ось. На рис. 1.2 составляющие всех внутренних сил взаимодействия изображены положительными. Коллинеарные силы, прикладываемые к взаимно параллельным граням, обозначаются одинаково, что и учтено при выполнении рис. 1.2: чтобы не загромождать чертеж, наименования сил на видимых гранях параллелепипеда не выписывались.

По указанной схеме расставляются индексы и назначаются знаки не только для внутренних сил взаимодействия, но и для напряжений. Из сделанного выше предположения о равномерности распределения сил Sx, Sxy ,

. . ., Sz по граням параллелепипеда следует: