Основы механики твердого деформируемого тела

ке, точки A и B, принадлежащие оси стержня, займут положения A и B . Следовательно,

MB = PA(a − δA + δB ), MC = PA(l − δA) + PB (b − δB ),

где MB и MC – моменты сил PA и PB относительно точек B и C. Для выполнения вычисления по этим формулам надо знать перемещения δA и δB . Найти их можно, хотя и не без сложностей. Но если вертикальная составляющая ∆ вектора перемещения свободного конца консоли мала, т. е. на порядок и более меньше длины l стержня, то величины δA, δB и (δA − δB ) будут исчезающе малыми по сравнению с размерами l, b и a соответственно. В таком случае можно принять

MB = PAa, MC = PAl + PB b.

Стало быть, при малом деформировании конструкций – а несущие конструкции проектируются так, чтобы перемещения их точек были незначительными, – реакции связей и усилия могут определяться по так называемой недеформированной схеме. Такой подход, т. е. вычисление реакций и усилий в теле по его первоначальным размерам, называют решением задачи в геометрически линейной постановке. Говорят и иначе: определяя усилия и реакции связей в теле, точки которого имеют малые перемещения, можно пользоваться принципом отвердения. Сказанное означает, что в обсуждаемом случае с силами можно оперировать точно так же, как и в механике абсолютно твердого тела. Однако аккуратность нужна и здесь. При определении опорных реакций принцип отвердения может быть распространен на все тело (и то не всегда), а при вычислении усилий – только на его отсеченную часть.

3.3. О принципе независимости действия сил. Если при решении задачи статики твердого деформируемого тела используется принцип отвердения, то с силами и моментами можно оперировать как с векторами линейного пространства, т. е. как с наборами элементов x, y, z, . . . , удовлетворяющими следующим правилам сложения и умножения на числа 1, α, β, . . . :

Если обозначить через x, y и z векторы (см. рис. 3.5) PA × l, PB × b и MC соответственно, то очевидны равенства

MC = PA × l + PB × b = PB × b + PA × l или z = x + y = y + x,

которые выражают первое из свойств (a). Данная запись означает, что последовательность операций при вычислении момента MC сил PA и PB безразлична.

Пусть теперь PA = PA e, где e, PA – орт и модуль вектора силы, приложенной на свободном конце консоли, а x = e × l, z = MC . Тогда второе из правил (b), записанное при α = 1 и β = PA в виде

z = (PA · x) = PA · (x),

означает, что момент MC можно найти, определив сначала момент mC от нагрузки PA = 1, а затем умножив результат на истинное значение приложенной силы: MC = PAmC . Подобную интерпретацию допускают и остальные из правил (a) и (b).

Правила (a) и (b) суть не что иное, как аксиомы, на которых строится теория линейных векторных пространств. Все, что было сказано сразу же после написания этих правил, позволяет, ничего не меняя по существу, перейти от языка аксиом, обычного для математиков, к языку так называемых постулатов (принципов), которым принято пользоваться в механике твердого деформируемого тела. Постулат, имеющий отношение к затронутой здесь теме, носит название принципа независимости действия сил. Согласно этому принципу, эффект от одновременного приложения нагрузок P1, P2, . . . , Pn равен сумме эффектов, производимых каждой нагрузкой в отдельности. Этот принцип известен и под названиями принципа суперпозиции и принципа наложения, которые представляются более удачными хотя бы потому, что в линейных задачах механики можно складывать эффекты, порождаемые не только силовыми воздействиями.

3.4. Типы деформаций. Стержень – наиболее простая модель тела, но это не означает, что задача об его напряженно-деформированном состоянии элементарна. Степень сложности ее решения зависит от вида деформации, испытываемой брусом при действии внешних сил.

На рис. 3.6 изображены четыре типа простейших деформаций. Это деформации растяжения–сжатия (осевая деформация), изгиба, кручения и сдвига. Каждая из них в чистом виде реализуется только при определенных способах загружения и закрепления тела, т. е. не так уж и часто. Однако изучение простейших типов деформирования открывает путь к исследованию сложного напряженно-деформированного состояния стержня. К одной из самых простых относится осевая деформация бруса.

3.5. Поведение призматического стержня при осевой нагрузке. Пусть стержень загружается по торцам силами, сводящимися к равнодействующей P , направленной вдоль его оси. При такой нагрузке в любом поперечном сечении стержня из шести компонент усилий (см. п. 1.6) от нуля будет отличаться только продольная сила N . На рис. 3.7a показан профиль стержня прямоугольного поперечного сечения, на грани которого нанесены сетки из ортогональных линий. С их помощью удобно наблюдать за процессом деформирования бруса в демонстрационных опытах, которые обычно проводятся на резиновых образцах. Если нагрузка распределяется по торцам стержня равномерно (рис. 3.7b), то изображенная на его грани сетка в процессе деформирования бруса нигде не искривляется. Однако при растяжении стержня расстояния между горизонтальными прямыми равномерно увеличиваются, а между вертикальными – равномерно уменьшаются. Наоборот, сжатие стержня приводит к сближению горизонтальных прямых и увеличению расстояний между вертикальными линиями.

На рис. 3.7c показана деформация бруса, растянутого сосредоточенными торцевыми силами. Видимая на этом рисунке сетка искажается тем больше, чем ближе ее горизонтальные линии к загружаемым торцам. Что же касается средней части бруса, протяженность которой примерно равна величине l − 2a, где a – наибольшее измерение поперечного сечения стержня, то в ней искривление линий сетки практически отсутствует. Подобная картина наблюдается и при растяжении бруса, изображенного на рис. 3.7d.

Таким образом, если длина стержня намного больше размеров поперечного сечения, то равномерную деформацию будет испытывать основная часть бруса вне зависимости от того, как распределена осевая сила по торцам. Для этой части стержня можно принять следующее, упрощающее дальнейшие исследования, предположение о характере деформирования: при растяжении или сжатии стержня его поперечные сечения, плоские до приложения нагрузки, остаются плоскими и параллельными между собой и после нагружения. Это предположение получило название гипотезы плоских сечений. Выдвинул ее в конце 17 века известный французский физик Ф. Мариотт, а через несколько лет к той же мысли независимо от Мариотта пришел не менее известный математик и механик Я. Бернулли. Поэтому обсуждаемую гипотезу называют также гипотезой Мариотта – Бернулли.

При исследовании напряженного состояния растянутого или сжатого бруса гипотеза плоских сечений является тем самым дополнительным соображением, которое позволяет раскрыть статическую неопределимость задачи. По сути дела эта гипотеза формулирует условие совместности дефор-

маций при осевой нагрузке на брус. Если нагрузка распределена по торцам стержня равномерно, то гипотеза Мариотта – Бернулли решает проблему для тела в целом, а в других случаях – только для областей бруса, достаточно удаленных от торцов. Зоны же, примыкающие к торцам и уходящие

вбрус на глубину характерного размера поперечного сечения, называют зонами местных деформаций, или зонами местных напряжений. Такие зоны появляются не только вблизи загружаемых торцов стержня, но, например, и

втех его местах, где стержень ослаблен отверстием, надрезом, выточкой либо имеет выступающие части. Более подробно о зонах местных напряжений говорится в п. 3.7.

3.6.Напряжения при осевой деформации. Здесь рассматриваются только такие призматические брусья, для которых справедлива гипотеза плоских сечений. В этом случае все продольные волокна стержня деформируются одинаково и нормальные напряжения по сечению бруса распределяются равномерно. В поперечном же сечении (см. формулы (1.4) и рис. 1.5)

τxy = τxz = 0, N = σxdF = σxF

При торцевой нагрузке осевая сила в брусе не меняется, поэтому нормальные напряжения во всех поперечных сечениях одинаковы. Таким образом, задача о напряженном состоянии в любой точке призматического бруса при осевой деформации имеет решение:

P

σx = F , σy = σz = τxy = τyz = τxz = 0.

Из сказанного также следует, что одна из главных площадок для любой точки бруса обязательно находится в плоскости поперечного сечения, проведенного через эту точку. Если сила P положительна (растяжение), то названная площадка будет первой главной площадкой и

σx = σ1 = P/F, σ2 = σ3 = 0.

При сжатии

σ1 = σ2 = 0, σ3 = σx = −|P |/F.

Напряжения в наклонном сечении бруса могут быть вычислены по формулам (2.9a) и (2.15) п. 2.6:

всех случаях на эпюрах нормальных напряжений имеются резкие всплески, расположенные вблизи так называемых концентраторов напряжений. В приведенных примерах – это отверстие, выточка, проушины, через которые передается нагрузка на стержень. Само же резкое увеличение величины напряжения в том месте, где расположен концентратор, называют концентрацией напряжений. По мере удаления от концентратора эпюра напряжений быстро сглаживается.

Количественной мерой концентрации напряжений служит число

называемое коэффициентом концентрации напряжений. Величина коэффициента αk устанавливается экспериментально. Она зависит от вида концентратора, отношения характерного размера последнего к размерам поперечного сечения, от материала. В справочниках приводятся значения αk для самых различных концентраторов и конструкционных материалов. Эти значения колеблются в пределах от 1,1 до 3, но бывают и больше.

Если коэффициент αk известен, то при помощи формул (3.3) и (3.4) можно найти наибольшее по модулю нормальное напряжение в зоне местных деформаций:

Таким образом, формулы (3.1) и (3.5) решают вопрос о напряжениях в призматическом стержне, испытывающем осевую деформацию, при любом способе приложения нагрузки по торцам и при любых местных ослаблениях или иных искажениях поперечных сечений.

3.8. Принцип Сен-Венана. К середине прошлого века было накоплено достаточно экспериментальных данных для того, чтобы обратить внимание на следующий факт: взаимно уравновешивающиеся силы, приложенные к малой части объема тела, вызывают в последнем лишь местные деформации. Отталкиваясь от этого наблюдения, можно чисто умозрительным образом прийти к одному важному результату.

Итак, пусть на малую часть объема тела действует нагрузка P1 с главным вектором S и главным моментом M. Пусть, далее, к этой же части объема тела прикладываются взаимно уравновешенные нагрузки P2 и -P2, причем воздействие P2 характеризуется такими же главным вектором S и главным моментом M, что и нагрузка P1. Нагружение P2 и -P2 приведет к возникновению лишь местных деформаций. Если же теперь нагрузки P1 и -P2 (тоже самоуравновешенные) устранить, то изменение напряженнодеформированного состояния по-прежнему будет местным. Таким образом, нагрузка P1 заменится на статически ей эквивалентную нагрузку P2, а общее напряженно-деформируемое состояние тела останется тем же.

Полученный результат формулируется в виде утверждения, именуемого принципом Сен-Венана: если нагрузку, приложенную к малой части объема тела, заменить статически ей эквивалентной, то общее напряженнодеформированное состояние тела не изменится. Это утверждение в общем случае строгого теоретического обоснования не имеет (хотя для некоторых форм тел и способов их загружения оно существует), вот почему его называют принципом, а не теоремой. Однако многочисленные наблюдения за поведением тел под нагрузкой, в том числе и те, что были описаны в п. 3.5, свидетельствуют в пользу принципа Сен-Венана.

Роль принципа Сен-Венана в механике твердого деформируемого тела трудно переоценить. Прежде всего, этот принцип позволяет установить границы зон местных напряжений в теле, т. е. тех областей, для которых напряженно-деформированное состояние описывается иначе, чем в основных частях тела. При описании осевой деформации бруса уже говорилось, что глубина зоны местных напряжений равна характерному размеру площадки загружения. Это относится и к телам любой формы. Формы же тел, способы их закрепления и нагружения столь разнообразны, что экспериментальное изучение всех мыслимых процессов деформирования невозможно. Принцип Сен-Венана как раз и освобождает от необходимости при каждом новом способе приложения местной нагрузки заново исследовать напряженно-деформированное состояние в основной части тела.

Уже много раз говорилось и о том, что уравнения механики сплошной среды являются дифференциальными и при их интегрировании необходимо обращение к граничным условиям задачи. Но довольно часто формулировка граничных условий осложняется тем, что точно описать воздействие на поверхности тела не удается. В подобных случаях выход из затруднения как раз и находят при помощи принципа Сен-Венана. На

рис. 3.9 изображен брус, к свободному торцу которого прикреплена винтами поперечная планка. Через нее и передается нагрузка на брус. Формулировка граничных условий для напряжений на незагруженных поверхностях бруса труда не составляет. Можно лишь отметить, что для двух наклонных граней граничные условия записываются при помощи уравнений Коши на поверхности (2.8). В частности, для правой наклонной грани эти условия имеют

вид:

−τxy sin α + τxz cos α = 0,

−σy sin α + τyz cos α = 0,

−τxz sin α + σz cos α = 0.

Для торцевого сечения x = 0 дело обстоит сложнее. Ведь для того, чтобы указать детальное распределение нагрузки по торцу, надо среди прочего знать и степень натяжения винтов, прикрепляющих планку, и то, насколько равномерно эти винты затянуты. Ясно, что надежную информацию по этому поводу получить не удастся, но даже если бы она и имелась, воспользоваться ею было бы далеко не просто. Однако усилия в начальном поперечном сечении бруса известны:

а потому, опираясь на принцип Сен-Венана, можно неизвестное в деталях воздействие на торец свести к нагрузке (3.6), которую уже нетрудно связать с напряжениями в сечении x = 0 при помощи формул (1.4):

Переход от краевых условий для напряжений к краевым условиям для усилий называют смягчением граничных условий. Ясно, что полученным решением задачи можно пользоваться только за пределами зоны местных напряжений.

Таким образом, к принципу Сен-Венана приходится обращаться довольно часто. Однако делать это надо аккуратно. Следующий пример служит тому подтверждением. Так, замена двух сил P , которые прикладываются к левым краям стержней, показанных на рис. 3.10a, b, равнодействующей 2P приводит к разным результатам. Для сплошного, так называемого массивного, стержня (рис. 3.10a) такая замена допустима. Она вызывает искажение напряженного состояния только в малой зоне стержня глубиною a. В тонкостенном же стержне, изображенном на рис. 3.10b, переход от сил P к силе 2P меняет картину распределения напряжений во всем брусе. Дело в том, что в отличие от массивных поперечных сечений размеры тонкостенного сечения имеют разный порядок (δ << a), а потому малой областью нагружения здесь может считаться только такая область, размеры которой имеют тот же порядок, что и толщина скорлупы δ. Правильное применение