Основы механики твердого деформируемого тела

линией на осях 0y и 0z, отрицательны. Стало быть, точка приложения силы и нейтральная линия находятся по разные стороны от центра тяжести поперечного сечения стержня. Как известно, расстояние ρ от начала координат до прямой ay+bz+c= 0 дается формулой

ρ = c(a2 + b2)−1/2.

Значит, расстояние от центра тяжести сечения до нейтральной оси (2.24) равно величине

ρ= c[(ey/rz2)2 + (ez/ry2)2]−1/2.

Сувеличением эксцентриситетов ey и ez нейтральная ось приближается к центру тяжести сечения, а с их уменьшением – удаляется от него. Случай ey → 0, ez → 0 отвечает осевому растяжению (сжатию) бруса, а потому нейтральная ось уходит в бесконечность. Наоборот, при ey → ∞, ez → ∞ нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения, что соответствует деформации чистого изгиба.

Можно выделить три характерных положения нейтральной оси.

a)Нейтральная ось пересекает поперечное сечение и в сечении возникают напряжения двух знаков (рис. 2.14a).

b)Нейтральная ось касается контура сечения (рис. 2.14b).

c)Нейтральная ось находится за пределами сечения, во всех его точках действуют напряжения одного знака (рис. 2.14c).

Из сказанного следует, что вокруг центра тяжести сечения имеется некоторая зона, обладающая тем свойством, что при расположении точки A внутри этой зоны напряжения в поперечном сечении не меняют знак. Указанную зону называют ядром поперечного сечения бруса. Положение ядра сечения важно знать при проектировании внецентренно сжатых элементов из материалов, плохо работающих на растяжение. К таким элементам силу P следует прикладывать так, чтобы она находилась в пределах ядра сечения.

2.8. Построение ядра сечения. Итак, если сила приложена на границе ядра сечения, нейтральная ось касается контура сечения в некоторой точке

Следовательно, если нейтральная ось проходит через точку k, то точка приложения силы будет находиться на прямой (2.25), которую можно построить по отрезкам

отсекаемым ею на осях 0y и 0z.

Сказанное иллюстрирует рис. 2.15. На нем символом Lk обозначена нейтральная ось, касающаяся контура сечения в точке k, а символом Sk – прямая (2.25), содержащая точку A приложения силы. Если на линии Sk выбрать произвольную точку A0, то ей будет отвечать нейтральная линия L0k, не обязательно касающаяся контура сечения. Такое касание произойдет лишь в том случае, если точка A принадлежит и прямой Sk, и границе ядра сечения. Значит, чтобы получить ядро сечения, надо обкатать контур этого сечения прямой линией и определить область, ограниченную множеством прямых Sk , которые строятся при такой обкатке с помощью формул (2.26). При невыпуклом контуре на вогнутом участке берется только одна обкатывающая прямая, а именно та, что касается контура по концам вогнутости (см. точки k1 и k2 на рис. 2.15).

Круглое поперечное сечение радиусом R симметрично относительно любой центральной оси, а потому и его ядро имеет форму круга. Радиус ρ последнего можно найти, выбрав в качестве точки k любую точку на границе сечения, в частности, точку с координатами yk = 0, zk = R. Тогда (см. формулы (2.22) и (2.26) при Iy = Iz = πR4/4, F = πR2)

e(yk) = ∞, e(zk) = −ry2/zk = −R2/(4R) = −R/4, ρ = R/4.

Несложно получить ядро и прямоугольного поперечного сечения. Любая касательная к контуру такого сечения содержит хотя бы одну угловую точку. Поэтому достаточно построить лишь линию S1, отвечающую обкатывающей прямой L1 (рис. 2.16), а затем воспользоваться симметрией задачи. Так как

Iz = bh3/12 , F = bh, rz2 = h2/12,

e(1)y = h/6 , e(1)z = b/6.

Стало быть, ядро прямоугольного сечения есть ромб, диагонали которого втрое короче параллельных им сторон прямоугольника. Форму ромба имеет и ядро равнополочного двутавра. Если же поперечное сечение является выпуклым многоугольником, то его ядро тоже выпуклый многоугольник с тем же, что у сечения, числом сторон.

ГЛАВА 3. ИЗГИБ С ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ

3.1. Характер деформирования. На рис. 3.1a изображены два одинаковых призматических бруса, свободно лежащих друг на друге. Если к указанной системе брусьев приложить нагрузку, сводящуюся к самоуравновешенным моментам (см. рис. 3.1b), то брусья изогнутся как единое целое. Оно и понятно: система испытывает деформацию чистого изгиба, при которой в слое n–n нет никаких напряжений. При любом другом нагружении, в том числе и приведенном на рис. 3.1c, картина деформирования будет иной. По поверхности контакта брусьев произойдет их относительное смещение. Но будь брусья склеены между собой, они изогнулись бы как сплошное тело при любом внешнем воздействии. Этот эффект объясняется наличием

касательных усилий в слое n–n, с которыми связаны касательные напряжения τyx. Но тогда (закон парности) не равны нулю и касательные напряжения τxy в поперечных сечениях брусьев. Напряженные состояния, о которых только что шла речь, отличаются друг от друга тем, что в первом случае ненулевым является лишь усилие Mz, а во втором – от нуля отличаются и изгибающий момент, и поперечная сила. В итоге в поперечных сечениях склеенного бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Наблюдения показывают, что наибольших значений касательные напряжения достигают в зоне средних слоев стержня. Так, короткий деревянный брус, защемленный с одной стороны и загруженный сосредоточенной силой на другом торце (рис. 3.2), разрушается не потому, что в заделке, где максимален изгибающий момент, разрываются верхние растянутые волокна, а в результате скалывания по срединному слою (см. рис. 3.2b). Поскольку на поверхностях бруса нагрузка отсутствует, то нет там и напряжений τyx. Но тогда равны нулю и напряжения τxy на верхней и нижней границах поперечного сечения. Следовательно, касательные напряжения τxy меняются по высоте сечения нелинейно: примерно так, как это показано на рис. 3.2b. Неравномерно распределены по высоте сечения и сдвиги γxy – ведь по зако-

ну Гука γxy = τxy/G. Отсюда следует, что поперечное сечение стержня при изгибе с поперечной силой искривляется.

Следует ожидать, что искривление сечения должно привести к нарушению линейного закона распределения нормальных напряжений по его (сечения) высоте. Так оно, вообще говоря, и есть, хотя возможны и исключения. Ведь для справедливости равенства

требуется линейная связь между деформацией εx и ординатой y, а эта связь имеет место не только тогда, когда поперечное сечение остается плоским. Зависимость εx = ky соблюдается и при подобном искривлении сечений бруса, т. е. на тех его участках, где поперечная сила не меняется.

На рис. 3.3 сплошные линии aa и bb отвечают бесконечно близко расположенным друг к другу поперечным сечениям, искривившимся при изгибе бруса подобным образом. Штрих-пунктирные прямые aa и bb отвечают поворотам сечений как жестких дисков. Расстояния AB и A0B0 одина-

ковы, так что относительное удлинение отрезка dx, принадлежащего произвольному волокну бруса, при подобно искривляющихся сечениях будет таким же, как и при соблюдении гипотезы плоских сечений. А это означает, что на участках стержня, где Q = const, напряжения σx можно вычислять по формуле (3.1).

Если поперечная сила вдоль оси бруса меняется, то зависимость εx = = ky, а стало быть, и формула (3.1) перестают быть справедливыми. Решение задачи об изгибе бруса при Q 6= const, выполненное

с отказом от гипотезы плоских сечений (см. далее п. 3.6), показывает, что для определения напряжений σx должно использоваться равенство

в котором второе слагаемое справа имеет порядок

квадрата отношения высоты сечения стержня к его длине. При h 0, 1 l это дополнительное слагаемое мало и его можно не учитывать. Вот почему формулой (3.1) пользуются для определения напряжений σx и при меняющейся вдоль стержня поперечной силе.

евую задачу теории упругости в полном объеме, нельзя. Строить же такое решение здесь не хотелось бы не только по причине его громоздкости, но и потому, что детальная картина распределения касательных напряжений по поперечному сечению для практических целей (например, для оценки прочности бруса), не так уж и важна. То, что дело обстоит именно таким образом, будет показано в п. 3.4. Оказывается, достаточно определить лишь средний уровень напряжений τxy на каждой линии y = const поперечного сечения, что сделать не так уж и сложно. Если считать напряжения τxy не зависящими от координаты z, т. е. перейти от этих напряжений к их среднему значению τxyср (см. рис. 3.5a), то для определения величины τxyср, которая в дальнейшем ради краткости будет записываться без верхнего индекса, можно воспользоваться условием P X = 0 равновесия элемента, выделенного из бруса двумя поперечными сечениями x и x+ dx, а также горизонтальным разрезом на уровне y = const (рис. 3.5b). Итак,

X

X = 0 : (N + dN) − dT − N = 0.

Поскольку τxy = const, то dT = τxyb dx и записанное выше условие равновесия дает:

Через Fотс обозначена площадь отделенной на уровне y = const части поперечного сечения стержня, поэтому последний в этой формуле интеграл называют статическим моментом отсеченной части сечения относительно оси 0z:

180 Часть II

Таким образом, напряжения τxy меняются по высоте поперечного сечения по закону квадратной параболы, достигая максимума 3Qy/2F на нейтральной оси, т. е. при y = 0.

Точное решение задачи о касательных напряжениях изгиба в прямоугольном поперечном сечении, здесь в деталях не обсуждаемое, иллюстрируют таблица 3.1 и рис. 3.8. Напряжения τxy не остаются постоянными по ширине сечения, а напряжения τxz не равны тождественно нулю. Первые из них достигают максимума на уровне нейтрального слоя в точках, находящихся на контуре сечения (см. точки 1 на рис. 3.8a), причем

τxy(1) = α · max τxyср = 3Qyα/2F, τxy(0) = β · max τxyср = 3Qyβ/2F . Коэффициенты α и β, зависящие от от-

ношения высоты сечения h к его ширине b, даны в табл. 3.1. Уже при h/b = 2 эти коэффициенты близки к единице, так что отклонением напряжений τxy от напряжений τxyср можно пренебречь.

Напряжения τxz максимальны в тех точках сторон y = ±h/2 прямоугольника, которые расположены рядом с его углами (см. рис. 3.8b). На нейтральной оси эти напря-

жения отсутствуют. Для квадратного сечения max τxz = 0, 075 max τxyср. При b < h величина max τxz составляет еще меньшую долю от значения 3Qy/2F . Наоборот, при b > h роль напряжений τxz возрастает. Так, при b > 16h напряжения max τxz превышают значение 3Qy/2F . Но если сечение предназначено для восприятия изгиба в плоскости 0xy, то его обычно не ориентируют длинной стороной вдоль горизонтальной оси, а при h > b на напряжения τxz можно не обращать внимания.

Приведенные здесь результаты анализа распределения касательных напряжений по прямоугольному поперечному сечению оправдывают принимаемое при построении теории изгиба тонкостенных стержней предположение о постоянстве касательных напряжений по толщине скорлупы сечения и отсутствии составляющих этих напряжений в направлении, ортогональном к оси скорлупы. Так, в сечении, изображенном на рис. 3.9a, касательные