Основы механики твердого деформируемого тела

точек (0, y, z), принадлежащих начальному сечению x = 0. Модули таких относительных перемещений максимальны в конце стержня, т. е. при x=l:

Если длина стержня в 10 и более раз превышает генеральные размеры поперечного сечения, то можно принять |v|= |Mz|l2/(EIz). При этом перемещения |u| и |w| будут соответственно на один и два порядка меньше перемещения |v|. Теперь становится ясным, почему при чистом изгибе интересуются перемещениями только тех точек бруса, которые находятся на

его оси. При y =z = 0 формулы (2.8) имеют вид

Перемещения v(x) называют прогибами бруса.

Полученные формулы для перемещений свидетельствуют

о том (см., например, равенства (2.8a)), что поперечное сечение остается в процессе деформирования плоским – перемещение u линейно зависит от координаты y, но контур сечения искажается. И в самом деле, ведь перемещения w не равны тождественно нулю, а в формуле для прогиба присутствует слагаемое, содержащее множитель z2. Деформированное сечение имеет вид, представленный на рис. 2.4. Такой характер деформирования объясняется эффектом Пуассона: растянутая зона сечения сужается, а сжатая – расширяется. Но как следует из сказанного при обсуждении формул (2.8b), отмеченное искажение сечения незначительно, так что им можно пренебречь и считать, что поперечные сечения при чистом изгибе стержней поворачиваются как жесткие диски.

Представляет интерес и кривизна κ изогнутой оси бруса. Как известно, кривизна плоской линии определяется равенством

v00

κ = [1 + (v0)2]3/2 .

Если задача решается в геометрически линейной постановке, что возможно при малых перемещениях v(x) и при малых углах поворота v0(x) поперечных сечений бруса, то в знаменателе последней формулы можно пренебречь величиною (v0)2 по сравнению с единицей:

κ = v00.

Из равенства (2.9)2 следует, что v00 = −Mz/(EIz), т. е. кривизна изогнутой оси призматического стержня постоянна. Этот результат можно выразить и другими словами: ось стержня при чистом изгибе искривляется по дуге

окружности радиусом

ρ = EIz/Mz.

Но чаще всего связь между изгибающим моментом и кривизной изогнутой оси бруса записывают следующим образом:

Коэффициент пропорциональности EIz (ед. силы · (ед. длины)2) называют

изгибной жесткостью стержня.

Еще одно соотношение можно получить, опираясь на формулу (2.8)1 и рис. 2.5. Так как

ϕ= ∂u = Mz x − C, ∂y EIz

то

и разность между углами поворота торцевых сечений бруса равна величине

Это равенство называют законом Гука при изгибе. По внешнему виду оно напоминает формулу для удлинения стержня при осевой деформации.

Итак, построить решение задачи чистого изгиба призматических брусьев удалось сравнительно просто. Выводить формулы для напряжений, по существу, не понадобилось вообще, а определение перемещений свелось к интегрированию несложных дифференциальных уравнений. Метод решения краевой задачи, при котором искомыми функциями задаются, а затем проверяют их пригодность подстановкой в полную систему уравнений и в граничные условия, называют обратным. Если же задаются только частью искомых функций, а остальные находят из тех или иных уравнений задачи, то говорят, что решение строится полуобратным методом. Этот метод и был применен выше. Основная трудность при его использовании состоит в назначении вида искомых функций. Сказать что-либо определенное о них (т. е. о напряжениях и перемещениях в теле) можно лишь при ясном понимании процесса деформирования. Только в этом случае могут быть выдвинуты положения типа гипотез Бернулли - Мариотта о характере напряженнодеформированного состояния тела. Основанные на таких положениях теории не требуют при своей разработке обращения к громоздкому математическому аппарату. Их называют техническими теориями механики твердого деформируемого тела.

2.4. Проверка прочности. Наибольших значений σmax модуль напряжений σx достигает в самых удаленных от нейтральной оси точках поперечного сечения (рис. 2.6). Ясно также, что из-за отсутствия касательных напряжений любая площадка, принадлежащая поперечному сечению, в том числе и та, что содержит точку с напряжениями σmax, будет главной. Поэтому если материал бруса одинаково сопротивляется растяжению и сжатию,

его прочность можно оценить по формуле

σmax = |Mz| · max |y| ≤ [σ], Iz

основанной на равенстве (2.7). Отношение

Wz = Iz/ max |y|,

зависящее от типа сечения и характеризующее его, называют моментом сопротивления поперечного сечения бруса при изгибе. Обозначение Wz позволяет записать условие прочности в форме

внешне напоминающей условие прочности при осевой деформации. Изгибаемые элементы могут иметь самые разные поперечные сечения, но целесообразно использовать те из них, которые обеспечивают требуемый момент сопротивления при минимальных затратах материала, т. е. имеют наименьшую площадь F . Таким образом, о рациональности сечения можно судить по отношению

Wуд = Wz/F,

которое называют удельным моментом сопротивления поперечного сечения. Для некоторых типов сечений значения Wуд даны в таблице 2.1. Наиболее рациональным является двутавровое сечение, наименее выгодным

– треугольное. И это вполне естественно. Ведь напряжения σx по мере

удаления от нейтральной оси возрастают, а потому материал стержня следует выносить подальше от его нейтрального слоя.

При оценке прочности стержня, материал которого лучше сопротивляется сжатию, чем растяжению, надо различать два случая. Если наибольшие по модулю напряжения являются растягивающими, то используется та же формула (2.12), в которой теперь вместо величины [σ] берется допускаемое напряжение [σ]+ на растяжение. Если же максимален модуль сжимающих напряжений, то проверяется прочность крайних волокон, расположенных по обе стороны от нейтрального слоя бруса. Например, для сечения, изображенного на рис. 2.6, оценка прочности сводится к проверке соблюдения условий

Верхний индекс у напряжения σx соответствует номеру расчетной точки поперечного сечения.

Оценивать прочность стержня по двум формулам (2.12a) менее удобно, чем при помощи одного соотношения типа (2.12). Кроме того, в отличие от осевой деформации, при которой предельное состояние наступает одновременно во всех точках тела, при изгибе предельно нагружаются только крайние волокна, что не так опасно. Это наводит на мысль ввести для материала допускаемое напряжение [σ] и при изгибе, взяв его больше величины

Например, согласно нормам проектирования строительных деревянных конструкций, принимается [σ] и = [σ]−. В инженерных расчетах используются как формулы (2.12)–(2.12a), так и формула (2.12b).

2.5. Изгиб в двух плоскостях. Пусть торцы стержня, поперечное сечение которого имеет две оси симметрии, загружены парами My и Mz, приводящими к чистому изгибу в двух плоскостях. Моменты My и Mz считаются положительными, если они растягивают волокна, находящиеся в положительном октанте декартовой системы координат (см. волокно C–C на рис. 2.7). Поскольку σx(Mz) = Mzy/Iz, σx(My) = Myz/Iy, то (принцип наложения)

На линии σx =0, т. е. на прямой

нормальные напряжения отсутствуют. Уравнение (2.13a) есть уравнение нейтральной оси поперечного сечения. Нейтральная линия пересекает ось стержня. Наклон этой линии к оси 0z определяется угловым коэффициентом прямой (2.13a):

Перемещения v и w точек оси стержня можно найти, опираясь на равенство (2.9)2:

Полное перемещение V (v, w) характеризуется модулем |V | этого вектора и углом ϕ его наклона к оси 0z, т. е. числами

p

|V | = v2 + w2 , tgϕ = v/w. (2.15a)

Пусть, например, стержень закреплен так, что его торцы могут свободно поворачиваться вокруг осей 0y и 0z, но линейные перемещения v и w отсутствуют (шарнирное опирание), т. е.

v(0) = w(0) = v(l) = w(l) = 0.

Поскольку угол ϕ от координаты x не зависит, то изогнутая ось бруса является плоской кривой. Плоскость, в которой она расположена, ортогональна плоскости, содержащей нейтральные оси всех поперечных сечений бруса. Это следует из того, что в соответствии с

равенствами (2.14) и (2.15b)2

tgϕ · tgβ = −1.

Сказанное иллюстрирует рис. 2.9a.

При других способах опирания стержня его изогнутая ось может и не принадлежать какой-либо плоскости. Пусть, например, левая опора бруса выполнена в виде цилиндрического шарнира, а правая – представляет собой обычный опорный стержень (рис. 2.8). В этом случае равенства (2.15) и граничные условия

v(0) = w(0) = v(l) = w0(0) = 0

дают

так что (см. формулы (2.15a))

Зависимость tgϕ от абсциссы x свидетельствует о том, что изогнутая ось бруса – пространственная кривая.

Изгибающие моменты My и Mz эквивалентны моменту M такому, что

q

M = My2 + Mz2 , tgα = −My/Mz, (2.16)

где α – угол наклона вектора момента M к оси 0z. Отрицательный знак в формуле для тангенса угла α объясняется тем, что к растяжению волокна C–C бруса, находящегося в положительном октанте репера xyz, приводят моменты My и Mz с векторами, один из которых направлен в иную сторону, нежели координатная ось (рис. 2.9b).

Из сравнения формул (2.14) и (2.16)2 становится ясным, что нейтральная линия и вектор момента M в общем случае неколлинеарны. Иначе говоря, даже в том случае, когда изогнутая ось стержня – плоская кривая, она не принадлежит плоскости загружения бруса. След P –P последней (ортогональный, кстати, вектору момента M) изображен штриховой линией на рис. 2.9c. При Iz > Iy угол π/2−α больше угла ϕ, т. е. в процессе деформирования брус отклоняется от плоскости нагружения в том направлении,

в котором ему это проще сделать. Именно то обстоятельство, что плоскость нагружения не содержит изогнутой оси бруса, и дало основание назвать рассматриваемую деформацию косым изгибом.

Наибольшие по модулю напряжения σx возникают в самых удаленных от нейтральной оси точках поперечного сечения. Из-за симметрии сечения относительно осей 0y и 0z в точках, находящихся по разные стороны от нейтральной линии на наибольшем от нее удалении, напряжения равны по величине и противоположны по знаку. Значит, прочность бруса может быть оценена по одной из двух формул, вытекающих из равенства (2.13):

где A – наиболее удаленная от нейтральной оси точка поперечного сечения. Для прямоугольного и некоторых других сечений опасные точки наиболее удалены как от оси 0y, так и от оси 0z, что позволяет находить величину

σmax проще:

σmax = |Mz| + |My| . Wz Wy

Для прямоугольника, изображенного на рис. 2.9a, Wz =bh2/6, Wy =hb2/6.

2.6. Случай несимметричного поперечного сечения. До сих пор рассматривались только такие брусья, которые имели хотя бы одну плоскость симметрии. В этом случае не было оснований сомневаться в том, что при нагружении бруса в плоскости симметрии и его изогнутая ось находится в плоскости симметрии, к каковой нейтральный слой ортогонален. Именно такое представление о деформировании бруса и привело к формуле (2.7) для нормальных напряжений плоского чистого изгиба. Однако при отсутствии симметрии правомерность использования формулы (2.7) оказывается под вопросом. Ясность здесь может появиться только после анализа напряженного состояния несимметричного бруса, проведенного, как и раньше, на основе гипотезы плоских сечений, но при отказе от предположения об ортогональности нейтрального слоя к плоскости нагружения.

Пусть по торцам стержня несимметричного поперечного сечения (см. рис. 2.10) прикладываются пары, приводящие к изгибающим моментам Mz = = const, My = 0. Оси 0y и 0z суть центральные оси сечения. Пусть, далее, нейтральная линия наклонена к оси 0z под углом β. Расстояние ρ от некоторой точки C(x, y) до нейтральной оси равно, как это видно из рис. 2.10, величине (y−ztgβ) · cos β, т. е.

ρ = y · cos β − z · sin β

Коэффициент пропорциональности k и угол β можно найти, учитывая, что изгибающий момент My отсут-

ствует, а усилие Mz равно заданной величине:

ZZ

Интегралы в этих равенствах суть осевые Iz, Iy и центробежный Iyz моменты инерции сечения:

Центробежный момент инерции Iyz плоской фигуры равен нулю, если оси 0y и 0z – главные центральные оси инерции этой фигуры. Собственно говоря, условие Iyz = 0 и служит для определения таких

осей. Если линии 0y и 0z совместить с направлениями главных осей инерции сечения, то нейтральная линия при Mz = const, My = 0 совпадет с осью 0z, ибо, согласно формулам (2.18), при Iyz =0

tgβ = 0, k = Mz/Iz .

Здесь равенство (2.19) перейдет в равенство (2.7). Сказанное иллюстрирует рис. 2.11.

Таким образом, плоский изгиб возможен лишь при условии, что плоскость нагружения содержит одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения. Ось симметрии сечения как раз и является такой осью, а потому задача изгиба брусьев симметричного сечения решается наиболее просто: не надо пользоваться формулами типа (2.18) и (2.19).

Если плоскость нагружения ни одной из главных центральных осей инерции сечения не содержит, то задача по существу сводится к задаче косого изгиба. Ее можно решать так, как об этом говорилось в п. 2.5, либо при помощи формулы (2.19). В случае, когда сечение несимметрично, особой разницы между этими подходами нет, но при наличии симметрии предпочтительнее первый способ.

2.7. Сочетание чистого изгиба с осевой деформацией. Если к постоянным вдоль оси призматического стержня усилиям Mz и My добавить продольную силу N, также не зависящую от координаты сечения, то однородность напряженного состояния по оси 0x не нарушится. Все три названных усилия порождают в поперечном сечении бруса напряжения σx, а потому (принцип наложения)

Эта формула получится из равенства (2.13), если к его правой части добавить слагаемое N/F . Положение нейтральной оси поперечного сечения определяется соотношением

в котором использовано обозначение yно, zно для координат точек, принадлежащих нейтральной линии.

Остается по известным усилиям и геометрическим характеристикам поперечного сечения построить прямую (2.21), найти наиболее удаленные от нее точки сечения, вычислить в них напряжения (2.20) и либо сравнить полученные значения напряжений с числами [σ]+ и [σ]−, либо сопоставить величину наибольших по модулю напряжений с допускаемыми напряжени-

ями [σ] и. Сказанное иллюстрирует рис. 2.12, на котором изображены одно из возможных положений нейтральной линии и соответствующая этому положению эпюра напряжений σx.

Интерес представляет следующая задача, сводящаяся к только что описанной: призматический брус растягивается или сжимается силами P , линия действия которых параллельна оси стержня, но не совпадает с ней (рис. 2.13). Такой вид деформирования в зависимости от направления сил P

называют внецентренным растяжением либо внецентренным сжатием.

При переносе сил P на ось бруса появятся пары P ey и P ez, где ey, ez – координаты точки приложения нагрузки, так что отличными от нуля будут усилия

N = P, Mz = P ey, My = P ez .

имеющие размерность длины, называют осевыми радиусами инерции поперечного сечения. Чем больше радиус инерции, тем выше изгибная жесткость сечения относительно соответствующей оси. С учетом обозначений (2.22) равенства (2.20a) записываются более компактно:

Формула (2.23) позволяет установить один интересный результат, который можно назвать теоремой взаимности напряжений при внецентренном растяжении (сжатии). Дело в том, что координаты ey, ez и y, z входят в равенство (2.23) симметрично, а потому безразлично, какую из точек (ey, ez) или (y, z) считать точкой приложения силы, а какую – точкой, в которой вычисляются напряжения. Пусть точки 1 и 2 принадлежат поперечному сечению стержня. Тогда нормальные напряжения в точке 1, порожденные силой, линия действия которой проходит через сечение в точке 2, равны нормальному напряжению в точке 2, возникающему от силы, пересекающей сечение в точке 1.

Если сила P прикладывается в положительном квадранте, т. е. ey > 0, ez > 0, то из равенства (2.24) следует, что отрезки, отсекаемые нейтральной