8.2. Сравнение двух средних генеральных совокупностей

1) Генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем известны их дисперсии. Из этих генеральных совокупностей извлечены выборки объемов соответственно т и п, для которых найдены выборочные средние и. При заданном уровне значимостиα проверяется нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей: Н_о: М (Х) = М (Y).

Статистическим критерием для проверки этой гипотезы является нормированная нормально распределенная случайная величина

Наблюдаемое значение критерия . Вид критической области зависит от типа конкурирующей гипотезы:

а) Н₁: М (Х) ≠ М (Y) – критическая область двусторонняя, z_кр определяется как аргумент функции Лапласа, при котором и критическая область задается неравенством |Z| >z_кр.

б) Н₁: М (Х) >М (Y) – критическая область правосторонняя, z_кр определяется как аргумент функции Лапласа, при котором и критическая область определяется неравенствомZ>z_кр.

в) Н₁: М (Х) <М (Y) – критическая область левосторонняя, заданная неравенством Z< -z_кр, где z_кр вычисляется так же, как в предыдущем случае.

2) Имеются две независимые выборки большого объема, извлеченные из генеральных совокупностей, законы распределения и дисперсии которых неизвестны. При этом для объема выборки, не меньшего 30, можно считать, что выборочные средние распределены приближенно нормально, а выборочные дисперсии являются достаточно хорошими оценками генеральных дисперсий (следовательно, считаем известными приближенные значения генеральных дисперсий). Тогда задача сводится к предыдущей, и статистический критерий имеет вид:

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле

При этом выбор вида критической области и определение критических точек проводятся так же, как в пункте 1.

3) Генеральные совокупности распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны, а объем выборок т и п мал (следовательно, нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий). Если предположить, что генеральные дисперсии равны, то в качестве критерия для проверки нулевой гипотезыН_о: М (Х) = М (Y) служит случайная величина

,

имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n + m– 2 степенями свободы. Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле

.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

а) Н₁: М (Х) ≠ М (Y) – критическая область двусторонняя, задаваемая неравенством |T| >t_{двуст.кр.}, где t_{двуст.кр.}(α, k) находится из таблицы критических точек распределения Стьюдента.

б) Н₁: М (Х) >М (Y) – критическая область правосторонняя, определяемая условием T>t_{прав.кр.}. Критическая точка вновь находится по таблице критических точек распределения Стьюдента.

в) Н₁: М (Х) <М (Y) – критическая область левосторонняя, T< – t_{прав.кр.}.

8.3 Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений

Пусть известны результаты двух серий независимых испытаний: в первой серии проведено п₁ опытов, и событиеА появилось т₁ раз; во второй серии из п₂ опытов событие А появилось т₂ раз. Обозначим неизвестную вероятность появления события А в одном опыте первой серии через р₁, а во второй серии – через р₂. Требуется проверить при уровне значимости α нулевую гипотезу о равенстве этих вероятностей: Н_о: р₁ = р₂.

В качестве критерия выбирается нормированная нормально распределенная случайная величина

.

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле:

.

Построение критической области:

а) при конкурирующей гипотезе Н₁: р₁ ≠ р₂u_кр определяется из равенства , и двусторонняя критическая область задается неравенством |U| >u_кр.

б) при конкурирующей гипотезе Н₁: р₁>р₂u_кр для правосторонней критической области находится из условия , и вид критической области:U>u_кр.

в) при конкурирующей гипотезеН_о: р₁<р₂ левосторонняя критическая область имеет вид U< – u_кр, где u_кр находится по формуле из пункта б).