8.Статистические гипотезы

Статистической гипотезой называется предположение о виде неизвестного распределения случайной величины или о параметрах известного распределения. Наряду с проверяемой гипотезой (нулевой, или основной) Н_о формулируется и противоречащая ей гипотеза (конкурирующая, или альтернативная) Н₁, которая принимается, если отвергнута нулевая гипотеза.

Гипотезы разделяются на простые (содержащие только одно предположение) и сложные (содержащие более одного предположения).

При проверке гипотезы могут быть допущены ошибки двух видов: ошибкапервого рода, если отклонена верная нулевая гипотеза, и ошибка второгорода, если принята неверная нулевая гипотеза.

Для проверки статистической гипотезы используется специально подобранная случайная величина К с известным законом распределения, называемая статистическим критерием. Множество ее возможных значений разбивается на два непересекающихся подмножества: одно из них (критическая область) содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется, второе (область принятия гипотезы) – значения К, при которых она принимается. Значения К, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками k_р. Критическая область может быть правосторонней (если она задается неравенством ), левосторонней () или двусторонней (). Для ее нахождения нужно задать вероятность ошибки первого рода α, называемую уровнем значимости; тогда, например, правосторонняя критическая область задается условием.

Порядок проверки статистической гипотезы таков:

задается уровень значимости α, выбирается статистический критерийК и вычисляется (обычно по таблицам для закона распределения К) значение k_кр; определяется вид критической области;

по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия К_набл;

если К_набл попадает в критическую область, нулевая гипотеза отвергается; при попадании К_набл в область принятия гипотезы нулевая гипотеза принимается.

8.1 Способы проверки некоторых статистических гипотез

Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Пусть имеются две выборки объемов п₁ и п₂, извлеченные из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y. Требуется по исправленным выборочным дисперсиямипроверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий рассматриваемых генеральных совокупностей:

H_o: D (X) = D (Y).

Критерием служит случайная величина отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, которая при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободыk₁ = n₁ – 1 и k₂ = n₂ – 1. Критическая область зависит от вида конку-рирующей гипотезы:

если H₁: D (X) >D (Y), то критическая область правосторонняя:

Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора. Еслинулевая гипотеза принимается, в противном случае – отвергается.

2) При конкурирующей гипотезе H₁: D (X) ≠ D (Y) критическая область двусторонняя: При этом достаточно найтиТогда, еслинет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, еслинулевую гипотезу отвергают.