4. Функция распределения случайной величины и ее свойства

Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения.

Пусть – случайная величина, определенная на множестве элементарных событий,, а– произвольное действительное число. В общем случае функциядолжна быть такова, чтобы для любыхсобытие, состоящее в том, что случайная величинапопадает в интервал, принадлежала полю событий и, таким образом, для любого такого события была определена вероятность.

Тогда вероятность того, что примет значение, меньшее, чем, равна значению функции распределения вероятностей данной случайной величины, соответствующее значению аргумента, т.е. функция распределения вероятностей данной случайной величиныпредставляет собой вероятность события, где– задаваемые непрерывно изменяющиеся значения, т.е..

Рассмотрим функцию распределения случайной дискретной величины, принимающей значения.

Если , то, так как в этом случае событиеявляется невозможным.

Если , то событиенаступит тогда и только тогда, когда наступит событие, поэтому.

Если , то событиеравно сумме событий,и.

Аналогично, если , то.

Таким образом, функция распределения случайной дискретной величины равна , где, и суммирование производится по тем, для которых.

Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания, то каждому значениюэтих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности.

Таблица

В точках функция распределения имеет скачки, равные вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение.

Свойства функции распределения

Функция распределения принимает значения из промежутка :.

Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности:.

Функция распределения – неубывающая функция, т.е. при.

.

Если , то.

Если , то.

5. Плотность распределения вероятностей

Определение и свойства функции распределения сохраняются и для непрерывной случайной величины, для которой функцию распределения можно считать одним из видов задания закона распределения. Но для непрерывной случайной величины вероятность каждого отдельного ее значения равна 0. Это следует из свойства 4 функции распределения: р(Х = а) = F(a) — F(a) = 0. Поэтому для такой случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности ее попадания в некоторый интервал.

Вторым способом задания закона распределения непрерывной случайной величины является так называемая плотность распределения (плотность вероятности, дифферен-циальная функция).

Функция f(x), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле:

f (x) = F′(x), то есть является производной функции распределения.

График плотности распределения представляет собой кривую, расположенную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.

Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточе-ны на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала [a, b] f(x) ≡ 0.