Funktsionalny_analiz

(Т1) Аддитивный оператор y=Ax, определённый на линейном вещественном пространстве L_x, непрерывный в одной точке x₀∈L_x, непрерывен на всё L_x. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Пусть х – произвольная точка из L_x. Пусть последовательность {x_n} сходится к х, т.е. x_n→x. Тогда x_n-x+x₀→x₀. Т.к. оператор А непрерывен в точке x₀, то (x_n-x+x₀)=Ах₀. Т.к. А аддитивен, то А(x_n-x+x₀)= Аx_n-Аx+Аx₀, то А(х₀)=(x_n-x+x₀)=x_n-Аx+Аx₀ = х_n - Аx+Аx₀; х_n=Ах. (ДОК)

В множестве линейных непрерывных операторов можно ввести алгебраические операции. Сложение операторов А и В определяется по формуле: (А+В)х = Ах + Вх. Умножение на число: (αА)х = α(Ах). Т.о. множество линейных операторов является линейным пространством. Нулём этого пространства является нулевой оператор. В линейном пространстве операторов определяется предел последовательности операторов {A_n}, полагая, что A_n→A, если х∈L_x будет х_n=Ах. Определим произведение операторов А и В формулой: (АВ)х = А(Вх). Видим, что это тоже линейный оператор, непрерывный на L_x. По индукции определяется произведение любого числа операторов. Пишут АА=А², ААА=А²А=А³, … . Кроме того, (АВ)С=А(ВС); (А+В)С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ. Существует единичный оператор Ix=x, причём AI=IA=A. Т.о.. множество линейных непрерывных операторов образует кольцо с единицей; кольцо не коммутативное, т.к. АВВА.

№24) Линейные операторы в линейный нормированных пространствах.

Пусть L_x и L_y – линейные нормированные пространства. Т.к. линейные нормированные пространства – частный случай линейных топологических пространств, то определение линейного оператора, заданного на L_x со значениями в L_y переносится без изменений из предыдущего параграфа.

Т.к. сходимость в L_x и в L_y есть сходимость по норме, то непрерывность оператора А означает, что ||Ax_n – Ax||→0, если ||x_n – x||→0, где первая норма – норма пространства L_y, а вторая – норма пространства L_x.

(О) Оператор А называется ограниченным, если существует такая постоянная М >0, что ||Ax||≤M||x||, x∈L_x, где ||x|| берётся в смысле метрики пространства L_x, а норма ||Ax|| - в смысле метрики пространства L_y. Согласно этому определению ограниченный оператор преобразует ограниченное множество {x}L_x в ограниченное множество {Ax}L_y.

(Т1) Аддитивный и однородный оператор А непрерывен т т т, когда он ограничен. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) (необходимость) Пусть оператор А является непрерывным. Допустим, что он неограничен. Тогда найдётся такая последовательность {x_n}, что ||Ax_n||> n||x_n||. Построим элементы t_n=. Тогда ||t_n||=||||=*||x_n||= → 0. Т.о. t_n → 0. Т.к. А непрерывен, то должно быть At_n → 0. Однако считаем ||At_n||=||||=*||Ax_n|| > * A||x_n|| = 1. Откуда следует, что At_n 0. противоречие. необходимость доказана. (достаточность) Пусть А ограничен, т.е. ||Ax||≤M||x||. Пусть x_n→x, т.е. ||x_n-x||→0. Тогда рассмотрим ||Ax_n-Ax||=||A(x_n-x)||≤M||x_n-x||→0. Значит Ax_n→Ax, т.е. оператор А непрерывен (ДОК).

Пусть А – линейный ограниченный оператор. Наименьшее из постоянных чисел М, удовлетворяющее условию ||Ax||≤M||x|| называется нормой оператора А и обозначается через ||A||. Итак, по определению число ||A|| обладает 2-мя свойствами: 1) ||Ax||≤||A||*||x||, x∈L_x; 2)ε>0 найдётся элемент x_ε такой, что ||Ax_ε||> (||A||-ε)||x_ε||.

(Т2) Для любого ограниченного оператора А, действующего из нормированного пространства в нормированное, ||A||=sup_||x||≤1||Ax||= sup_x0 . (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) равенство sup_||x||≤1||Ax||= sup_x0 справедливо в силу однородности оператора А. Значит осталось показать ||A||=sup_||x||≤1||Ax|| (1). Пусть ||x||≤1. Тогда ||Ax||≤||A||*||x||≤||A||. Отсюда sup_||x||≤1||Ax||≤||A|| (2). С другой стороны >0 существует элемент x_ε такой, что ||Ax_ε||> (||A||-ε)||x_ε||. Положим =t_ε. Тогда ||Аt_ε||=||A||=*||Ax_ε|| > * (A - ε)*||x_ε|| = ||A|| - ε. Т.к. ||t_ε||=1, то sup_||x||≤1||Ax||≥||Аt_ε||> ||A|| - ε. Отсюда sup_||x||≤1||Ax||≥||A||(3). Из (2) и (3) следует (1). (ДОК)

Пусть в линейном нормированном пространстве L_x задано линейное многообразие L. Это многообразие можно рассматривать как самостоятельное линейное пространство. Пусть на L определён линейный оператор А со значениями в линейном нормированном пространстве L_y. Оператор А называется ограниченным на L, если существует постоянная M>0 такая, что ||Ax||≤M||x||, x∈L. Наименьшая из таких постоянных М называется нормой оператора А на L и обозначается ||A||_L. В соответствии с этим норму на всём пространстве L_x иногда будем обозначать ||A||_Lx.

(Т3) Линейный оператор А₀, заданный на линейном многообразии L, всюду плотном, в линейном нормированном пространстве L_x со значениями в полном линейном нормированном пространстве L_y, может быть продолжен на всё L_x без увеличения нормы. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Пусть х∈L_х, но хL. Т.к. L всюду плотно в L_x, то найдётся последовательность {x_n}, x_n∈L, сходящаяся к x. Т.е. ||x_n – x||→0 при n→. Т.к. х_n сходится, то она фундаментальна, т.е. ||x_n-x_m||→0 при n,m→. Тогда ||A₀x_n – A₀x_m||=||A₀(x_n-x_m)||≤||A₀||_L*||x_n-x_m||→0 при n,m→. Значит последовательность {A₀x_n} фундаментальна, а т.к. L_y полно, то {A₀x_n} сходится к некоторому пределу Ax∈L_y. Возьмём последовательность {t_n}L, сходящуюся тоже к х. Тогда ||x_n – t_n||→0 при n→. Откуда ||At_n-Ax_n||→0 при n→. Значит At сходится к Ах. Этим показано, что оператор А определён на L_x однозначно. Если х∈L, то берём x_n=x,n и тогда Ax=₀x_n=₀x=A₀x. Оператор А аддитивен. Действительно берём А(х₁+х₂) = ₀x¹_n + A₀x²_n) = ₀x¹_n + ₀x²_n = Ах₁ + Ах₂. Оператор А ограничен. Действительно, из неравенства ||A₀x_n||≤||A₀||_L ||x_n||, переходя к пределу, получим ||Ax||≤||A₀||_L ||x||. Отсюда ||A||_Lx≤||A₀||_L. Т.к. при продолжении оператора норма уменьшится не может, то ||A||_Lx≤||A₀||_L. (ДОК)

Итак, на L_x можно определить оператор А такой, что Ах=А₀х, х∈L и ||A||_L=||A₀||_L. Этот процесс распространения оператора называется продолжением оператора по непрерывности.

№25) Пространство линейных ограниченных операторов.

Всевозможные линейные операторы, определённые на одном и том же линейном пространстве L_x со значениями в линейном пространстве L_y образуют линейное пространство (L_x→L_y). Если L_x и L_y – нормированные пространства, то в пространстве (L_x→L_y) тоже можно ввести норму. Действительно, для линейного ограниченного оператора А, отображающего L_x в L_y норма определена в предыдущем параграфе. Эта норма удовлетворяет всем аксиомам нормы. Действительно, 1) ||A||=sup_||x||≤1||A_x||≥0. Если ||A||=0, т.е.sup_||x||≤1||A_x||=0. Отсюда ||Ax||=0 x, ||x||≤1. В силу однородности ||Ax||=0. x. Отсюда Ax=0, х. Значит А=0. 2)||λA||= sup_||x||≤1||λA_x||=|λ| sup_||x||≤1||A_x||=|λ|*||A||. 3) ||A₁+A₂||= sup_||x||≤1||A_1x+A_2x|| ≤ sup_||x||≤1||A_1x||+ sup_||x||≤1||A_2x|| = ||A₁||+||A₂||. Итак, пространство линейных ограниченных операторов является линейным пространством.

(Т1) Если L_y полно, то пространство линейных ограниченных операторов тоже является полным.

В частном случае, когда L_y=R, т.е. когда рассматриваем пространство линейных функционалов, то пространство (L_x→L_y) называется сопряжённым пространством с L_x и обозначается через L_x*.

(СЛЕДСТВИЕ) Пространство L_x* является полным пространством.

Сходимость последовательности {A_n} линейных ограниченных операторов в смысле сходимости по норме в пространстве этих операторов называют равномерной сходимостью. Часто используется ещё и другая сходимость. Последовательность {A_n} линейных ограниченных операторов называется точечно сходящейся или сходящейся в себе, если для каждого фиксированного х последовательность {A_nx} сходится к Ах. Из равномерной сходимости следует точечная сходимость. Обратное не верно.

(Т2) (Теорема Банаха – Штейнхауса) Если {A_n} линейных непрерывных операторов ограничена в каждой точке Банахового пространства Х, т.е. {||A_nx||}≤M, n, то последовательность норм {||A_nx||} этих операторов тоже ограничена.

(СЛЕДСТВИЕ) Если последовательность линейных ограниченных операторов сходится в себе в каждой точке Банахового пространства Х, то последовательность норм этих операторов ограничена. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Последовательность таких операторов, сходящихся в каждой точке Банахового пространства, ограничена в каждой точке. Утверждение следствия вытекает из теоремы Банаха – Штейнхауса. Возвращаемся к оператору Ах=_nx. Из неравенства ||A_nx|| ≤ ||A_n|| ||x||, вытекающего из следствия в пределе получаем ||A_nx||≤M*||x||. Значит А тоже ограничен. (ДОК)

Т.о. предел любой точечно сходящейся последовательности линейных ограниченных операторов существует и является тоже линейным ограниченным оператором. Значит пространство операторов является полным и в смысле точечной сходимости.

№26) Обратные операторы.

Пусть оператор А действует их Х в Y. D_A – область определения, E_A – множество значений оператора.

(О1) Оператор А называется обратимым, если y∈E_A уравнение Ах=y, имеет единственное решение.

Если А обратим, то каждому y∈E_A соответствует единственное x∈ D_A. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к А, обозначается через А^—1, пишут х=А^—1y.

(Т1) Оператор А^—1, обратный к линейному оператору А, тоже линеен.(ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Пусть y₁ и y₂ ∈ Е_А, причём y₁=Ax₁, y₂=Ax₂. Тогда y₁+y₂=Ax₁+Ax₂=A(x₁+x₂). Значит x₁+x₂=A(y₁+y₂)= А^—1y₁ + А^—1y₂. Т.о. оператор А^—1 аддитивен. Далее, если y∈E_A и y=Ax, то λy=λAx=Aλx. Отсюда следует λx= А^—1(λy)=λА^—1y. Т.е. А^—1 однороден. (ДОК)

(Т2) Чтобы линейный оператор А имел ограниченный обратный необходимо и достаточно, чтобы существовало число m>0 такое, что ||Ax|| ≥ m||x||, x∈D_A. (1). При этом max{m}=. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) (необходимость) Пусть условие (1) выполнено. Возьмём некоторый y∈E_A и положим, x= А^—1y. Подставим в (1). Получим ||y||≥m|| А^—1y||. Отсюда || А^—1y||≤||y||. Отсюда || А^—1||= sup_||y||≤1|| А^—1y|| ≤ sup_||y||≤1||y|| = . Т.о. А^—1 ограниченный оператор и его норма || А^—1||=. (достаточность) Пусть существует ограниченный оператор А^—1 и постоянная M>0 такая, что || А^—1y||≤M||y||, y∈E_A. Возьмём х∈D_A. Положим y=Ax. Тогда x= А^—1y. Значит ||x||≤M||Ax||. Отсюда ||Ax|| ≥ ||x||, x∈ D_A. Сопоставив с (1), видим, что m=, т.е. =min{M}=|| А^—1||. (ДОК)

(Т3) Теорема Банаха об обратном операторе) Пусть А – линейный ограниченный оператор, отображающий взаимно однозначно Банахово пространство В₁ на Банахово пространство В₂. Тогда обратный оператор А^—1 ограничен.

№27) Непрерывные линейные функционалы.

Если значениями оператора являются вещественные числа, то оператор называется функционалом. Т.к. R является Банаховым пространством, то для линейных функционалов сохранятся все определения и теоремы для линейных операторов. Если линейный функционал непрерывен в одной точке x∈Е, то он непрерывен в Е всюду. Функционал f, определённый на Е, называется непрерывным, если ε>0 и x₀∈Е существует окрестность U точки x₀ такая, что |f(x)-f(x₀)|≤ε, если x∈U. Итак, проверять непрерывность линейного функционала достаточно в одной точке, например в точке 0. Если Е – нормированное пространство, то непрерывность линейного функционала можно сформулировать в терминах последовательностей: если x_n→x, то f(x_n)→f(x).

(Т1) Чтобы линейный функционал был непрерывен на Е необходимо и достаточно, чтобы в Е существовала такая окрестность нуля, на которой f ограничен. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) (необходимость) Пусть линейный функционал f непрерывен в точке х=0. Тогда ε>0 существует такая окрестность U, на которой |f(x)-f(0)|=f(x)<ε. (достаточность) Пусть U – такая окрестность нуля, что |f(x)|≤M, x∈U. Возьмём ε>0. Тогда на окрестности нуля =U₀. Имеем |f(y)-f(0)|=f()=|f(x)|≤M=ε, y∈U₀. Отсюда следует, что f непрерывен в точке х=0. (ДОК).

Линейный функционал, ограниченный на всяком ограниченном множестве, называется ограниченным линейным функционалом. Из ограниченности линейного функционала не следует, что он непрерывен.