Funktsionalny_analiz

2) . ρ(x,y)=. ρ(y₁,y₂)==≤=≤. Т.о. отображение будет сжимающим, если ≤α<1, j= (3). Т.о. нужно взять сумму модулей всех коэффициентов системы по столбцам (матрицы). Наибольшая из этих сумм должна быть < 1 (критерий по столбцам) .

3)Rⁿ. ρ(x,y)=. Используя неравенство Коши – Буняковского, получим ρ²(y₁,y₂)= = ≤= * ρ²(x₁,x₂). По условию сжимаемости ≤α<1 (4).

Итак, если выполнено хотя бы одно из условий (2), (3), (4), то исходная система линейных уравнений имеет единственное решение x=(x₁ , … , x_n) такое, что x_i=, i=. Это решение можно находить методом последовательных приближений. В качестве начальной точки x₀ можно брать любую точку из Rⁿ.

№8) Интегральные уравнения.

Рассмотрим уравнение f(x)=(1). Это уравнение называется линейным интегральным уравнением Фредгольма. Здесь k(x,y) и (x) - заданные функции; f(x) – искомая функция; λ – произвольный параметр. Функция k(x,y) называется ядром интегрального уравнения. Пусть k(x,y) и (x) – непрерывные прямоугольники a≤x≤b, a≤y≤b. Т.к. k(x,y) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то k(x,y) ограничена, т.е. |k(x,y)|<M при a≤x≤b, a≤y≤b. Рассмотрим отображение g=Af полного метрического пространства C_[a,b] в себя, задаваемое формулой g(x)=. ρ(g₁,g₂)===|λ|M(b-a) = |λ|M(b-a) ρ(f₁,f₂). Отображение А будем считать сжимающим, если |λ|M(b-a) < 1, т.е. если |λ| < (2). Итак, по принципу сжимающих отображений уравнение Фредгольма (1) имеет единственное решение в пространстве C_[a,b], если выполнено условие (2). Последовательное приближение f₀,f₁,…,f_n к этому решению имеет вид f_n=. В качестве f₀(x) можно взять любую непрерывную на [a,b] функцию. Принцип сжимающих отображений можно применить и к нелинейным уравнениям вида f(x)=.

Рассмотрим теперь интегральное уравнение вида f(x)= (3). Уравнение (3) называется линейным уравнением Вальтерра. Здесь верхний предел в интеграле является переменной величиной х. Формально уравнение (3) можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма, доопределив ядро равенством k(x,y)=0 при y>x. Однако, в случае интегрального уравнения Фредгольма мы ограничиваемся только малыми значениями параметра λ, а к уравнению Вальтерра принцип сжимающего отображения подходит при всех λ.

(Т1) Если А – такое непрерывное отображение полного метрического пространства Х в себя, что Аⁿ при некотором n является сжимающим, т.е. ρ(Аⁿx, Аⁿy)≤αρ(x,y), α<1. Тогда уравнение Ax=x имеет одно и только одно решение. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Обозначим Аⁿ=В, т.е. В – сжимающее отображение. Тогда В имеет единственную неподвижную точку х, т.е. Вх=х. Имеем Ах=А*В^кх=В^кх₀ → х при к→. Т.к. отображение В сжимающее, поэтому х₀Х последовательность Вх₀,В²х₀,…,В^кх₀,… сходится к неподвижной точке отображения В. Т.о. Ах=х и эта неподвижная точка единственна, т.к. любая точка, неподвижная относительно А, будет неподвижной и относительно Aⁿ, а для В неподвижная точка х единственна. (ДОК)

Рассмотрим теперь отображение А f(x)=. Покажем, что некоторая степень отображения А является сжимающим отображением. Пусть f₁ и f₂ – непрерывные функции на сегменте [a,b], т.е. принадлежат C_[a,b]. |Af₁(x) – Af₂(x)|=≤|λ|M(x-a), где М= и т.д. |Aⁿf₁(x) – Aⁿf₂(x)|≤ |λ|ⁿMⁿ . ρ(Аⁿx, Аⁿy)≤ |λ|ⁿMⁿ ρ(x₁,x₂) При любом λⁿ число n можно выбрать таким большим, что |λ|ⁿMⁿ < 1. Действительно, рассмотрим ряд _. = →0 при n→. Если ряд сходится, то общий член стремится к нулю при n→. Т.о. отображение Aⁿ при некотором n является компактным. Значит уравнение Вальтерра имеет единственное решение при любом λ.

№9) Топологические пространства.

Основные понятия теории метрических пространств – предельная точка, точка прикосновения, замыкание множества, непрерывность и т.д. – вводятся, опираясь на понятие окрестности или, что в сущности одно и то же, на понятие открытого множества. Понятие окрестности определяется с помощью метрики, заданной в метрическом пространстве. Однако, можно идти другим путём, а именно, не определяя в данном множестве Х метрику, сразу указать в множестве Х открытое множество. Этот путь приводит к топологическим пространствам, по отношению к которым метрические пространства являются частным случаем.

(О1) Пусть Х – некоторое множество. Топологией в Х называется любая система τ его подмножеств G, удовлетворяющая аксиомам: 1)Само множество Х и пустое множество принадлежат τ; 2) любого (конечного или бесконечного) и конечного числа множеств из τ принадлежат τ. Множество Х с заданной в нём топологией τ, т.е. пара (Х, τ) называется топологическим пространством. Множества принадлежащие системе τ называется открытыми множествами.

Итак, задать топологическое пространство – значит задать некоторое множество Х и указать те его подмножество, которые считаются открытыми.

Ясно, что в одном и том же множестве Х можно задать разные топологии, получая разные топологические пространства. Топологическое пространство, т.е. пару (Х , τ) часто будем обозначать одной буквой, например Т. Элементы множества Х будем называть точками. Множества Х\G дополнительные к открытым называются замкнутыми множествами.

Из аксиомы 1) и 2) => 1)пустое множество и всё Х замкнуты; 2) любого (конечного или бесконечного) и конечного числа замкнутых множеств замкнуты. Эти утверждения следуют из теории множеств.

(О) Окрестностью точки хТ называется всякое открытое множество GТ, содержащее х.

(О) Точка хТ называется точкой прикосновения множества МТ, если каждая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку из М.

(О) Точка х называется предельной точкой множества М, если каждая окрестность точки х содержит бесконечно много точек из М.

(О) Совокупность всех точек прикосновения множества М называется замыканием множества М и обозначается через [М].

(П1) Открытые множества всякого метрического пространства удовлетворяют аксиомам 1) и 2). Значит всякое метрическое пространство является топологическим пространством.

(П2) Пусть Х – произвольное множество. Будем считать открытыми все его подмножества. Аксиомы 1) и 2) выполняются. Получаем топологическое пространство, в котором любое множество одновременно открыто и замкнуто.

(О) Пусть в одном и том же множестве Х заданы две топологии τ₁ и τ₂. Будем говорить, что топология τ+1+ сильнее топологии τ₂, если система множеств τ₁ содержит τ₂. Тогда топология τ₂ слабее топологии τ₁.

(Т1) Пересечение произвольного множества топологий (τ=) в Х является топологией в Х. Эта топология слабее любой из топологий τ_α. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Для доказательства нужно проверить аксиомы 1) и 2). 1)Ясно, что содержит Х и пустое множество. 2)Каждая из τ_α удовлетворяет аксиоме 2): Следовательно удовлетворяет аксиоме 2). (ДОК)

№10) Определяющие системы окрестностей.

Задать в пространстве Т топологию – значит указать в нём систему открытых множеств. Однако тогда удобнее задавать не все, а только некоторую систему открытых множеств, по которой однозначно определяются все остальные открытые множества. Например, в метрическом пространстве сначала вводится понятие открытого шара, а затем открытые множества определяют, как такие множества, в которых каждая точка содержится вместе с некоторой своей шаровой окрестностью. Иначе говоря, в метрическом пространстве открыты только те множества, которые представимы как суммы открытых шаров.

Совокупность В открытых подмножеств называется базой топологического пространства Т, если всякое открытое множество в Т представимо как сумма некоторого числа (конечного или бесконечного) множеств из В. Например, совокупность всех открытых шаров – база в метрическом пространстве. Топологию τ топологического пространства Т можно задать, указав в Т некоторую базу В. Не всякая совокупность множеств может быть базой.

Всякая база в топологическом пространстве Т=(Х, τ) обладает свойствами: 1)любая точка хХ содержится хотя бы в одном множестве GВ (содержится в базе); 2)если точка х содержится в пересечении множеств G₁ и G₂, а G₃(G₁G₂).

(Т1) Чтобы система В τ была базой данной топологии необходимо и достаточно, чтобы для каждого открытого множества G и для каждой точки xG существовало такое множество G_xВ, что хG_xG. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Пусть условия теоремы выполнены. Тогда всякое открытое множество G=, т.е. В – база топологии τ. (Обратно)Пусть В – база топологии τ. Тогда всякое открытое множество G τ представлено в виде суммы множеств из В. Тогда для каждого хG найдётся множество G_x=В такое, что хG_xG.(ДОК)

Важный класс топологических пространств образуют пространства со счётной базой, т.е. такие, в которых существует хотя бы база, состоящая из счётного числа элементов.

Система множеств {M_α} называется покрытием топологического пространства Т, если Т. Покрытие, состоящее из открытых множеств является открытым покрытием (из замкнутых – замкнутым). Если некоторая часть M_β покрытия М_α сама образует покрытие топологического пространства Т, то M_β называется подпокрытием М_α.

(Т2) Если Т – топологическое пространство со счётной базой, то из всякого его открытого покрытия можно выбрать конечное или счётное покрытие. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Путь M_α – открытое покрытие топологического пространства Т. Тогда каждая точка х этого пространства Т содержится в М_α. Пусть {G_n} счётная база в Т. Тогда каждый элемент хТ содержится в G_iM_α. Совокупность множеств G_i конечно или счётно и покрывает всё Т. Для каждого G_i выберем одно из содержащих его множеств M_α, получим конечное или счётное подпокрытие M_β. (ДОК)

№11) Аксиомы определимости.

Произвольное топологическое пространство представляет собой объект слишком общий с точки зрения мат анализа. Поэтому среди топологических пространств выделяют пространства более близкие по своим свойствам к метрическим пространствам. Для этого к аксиомам 1) и 2) топологическим пространств добавляют какие-нибудь дополнительные условия. Таковым является, например, аксиомы отделимости.

(Аксиома Т1) (1-я аксиома отделимости) Для любых 2-х различных точек x и y топологического пространства Т существует окрестность O_x точки х, не содержащее y и существует окрестность O_y точки y, не содержащее точку х. Пространства, удовлетворяющие аксиоме Т1 называются Т1 пространствами. В Т1 пространстве любая точка является замкнутым множеством. Действительно, если х отлично от y, то существует окрестность O_y точки y, не содержащее х. Это означает, что y[x], но тогда [x]=x. Значит в Т1 пространствах любое конечное множество точек замкнуто. Любое метрическое пространство является Т1 пространством.

(Аксиома Т2) (Хаусдорф) (Вторая или Хаусдорфова аксиома отделимости) Любые 2 различные точки xy топологического пространства Т имеют пересекающиеся окрестности O_x и O_y. Пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется Т2 пространством. Очевидно, что всякое Т2 пространство является Т1 пространством, но не наоборот.

Ещё более сильным ограничениям удовлетворяют нормальные пространства. Нормальным пространством называется такое Т1 пространство, в котором любые 2 замкнутых непересекающихся множества имеют непересекающиеся окрестности. К нормальным пространствам относятся все метрические пространства.

№12) Непрерывные отображения топологического пространства.

(О1) Пусть Х и Y – 2 топологических пространства. Отображение f пространства Х в пространство Y называется непрерывным в точке x₀, если для любой окрестности U_y0 точки y₀=f(x₀) найдётся окрестность V_x0 точки х₀ такое, что f(V_x0)U_y0. Отображение f:X→Y называется непрерывным отображением топологического пространства Х в числовую прямую, называется функцией, определённой на Х.

(Т1) Чтобы отображение f топологического пространства Х в топологическое пространство Y было непрерывно необходимо и достаточно, чтобы прообраз Г=f^—1(G) всякого открытого множества GY был открыт. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) (необходимость) Пусть f – непрерывное, множество G открыто в Y. Нужно доказать, что Г=f^—1(G) открыто в Х. Путь точка хГ, а f(x)=y. Тогда yG и G является окрестностью точки y. По определению непрерывности найдётся такая окрестность V_x точки x, что f(V_x)G. Т.к. V_xГ. Иначе говоря, если xГ, то найдётся окрестность V_x точки х такая, что V_xГ. Значит Г – открытое множество. (достаточность) Пусть Г=f^—1(G) открыто, если G открыто. Рассмотрим произвольную точку х из Г и произвольную окрестность U_y точки y=f(x). Т.к. yU_y , то xf^—1(U_y). Это множество открыто и является окрестностью точки х, образ которой содержится в U_y. (ДОК)

(Т2) Пусть Х,Y,Z – топологические пространства и пусть f и – непрерывные отображения X_f→Y_φ. Тогда отображение (f(x)) пространства Х в Z непрерывно.

(О) Ели отображение f топологического пространства Х на топологическое пространство Y взаимно однозначно и взаимно непрерывно, то оно называется гомеоморфизмом, а пространство Х и Y гомеоморфными.

№13) Компактность.

В мат анализе важную роль играет следующий факт известный под названием Лемма Гейне – Бореля: из любого открытого покрытия [a,b] можно выделить конечное покрытие. Будем отправляться от этого свойства сегмента числовой прямой.

(О1) Топологическое пространство Т называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Если топологическое пространство Т является компактным и удовлетворяет аксиоме Т2, то оно называется компактом.

Свойствами компактов обладают наряду с сегментом числовой прямой все замкнутые ограниченные множества, пространство R_n. Однако прямая и плоскость и т.д. служат простейшими примерами некомпактных пространств. Назовём некоторую систему множеств {A_α} пространства Т центрированной, если любое конечное пересечение членов этой системы не пусто.

(Т1) Топологическое пространство компактно т т т, когда каждая центрированная система его замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) (необходимость) Пусть Т – компактно, {F_α} – центрированная система замкнутых подмножеств множества Т. Тогда множества G_α=Т - F_α. Тогда G_α открыто. Т.к. любое конечное пересечение , то никакая часть конечной системы множеств G_i не покрывает всё Т. Т.к. Т – компактное, то вся система {G_α} не образует покрытия Т. Но тогда . (достаточность) Пусть условия теоремы выполнены. G_α – открытое покрытие пространства Т. Положим Т/ G_α= F_α. Получим . Отсюда следует, что система {F_α} не может быть центрированной. Т.к. существует конечное число множеств F₁,F₂,…,F_n таких, что . Но тогда G₁,G₂,…,G_n образует конечное подпокрытие. Значит Т компактно. (ДОК)

(Т2) Замкнутое подмножество компактного пространства компактно. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Пусть F – замкнутое подмножество компактного пространства Т. {F_α} – произвольная центрированная система замкнутых подмножеств множества F. Тогда каждая F_α замкнута и в Т, т.е. множества F_α- центрированная система замкнутых множеств в Т. По (Т1) . Значит F компактно. (ДОК)

(Следствие) Замкнутое множество компакта есть компакт.

(Т3) Непрерывное отображение компактного пространства есть компактное пространство. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Пусть Х – компактное пространство, X Y , f – его отображение на топологическое пространство Y. Возьмём произвольное открытое покрытие пространства Х. Пусть f^—1(V_α)=U_α. Множества U_α открыты, т.к. f непрерывно. Множество U_α образует открытое покрытие пространства Х. Т.к. Х компактно, то из открытого покрытия U_α можно выбрать U₁,U₂,…,U_n. Но тогда соответствующие множества V₁,…,V_n покрывают всё Y. Значит Y компактно. (ДОК)

(Т4) Если Т – компактное пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) (от противного) Допустим, что Т содержит бесконечное подмножество Х, не имеющее ни одной предельной точки. Тогда из Х можно выделить счётное множество Х₁={х₁,х₂,…,х_n,…}. Множество Х ₁ тоже не имеет ни одной предельной точки. Построим множество Х₂={х₂,…,х_n,…}, Х₃={х₃,…,х_n,…},…. X_i образуют центрированную систему замкнутых множеств в Т, причём . Значит Т не компактно. противоречие. (ДОК)

№14) Компактность в метрических пространствах.

Т.к. метрические пространства – частные случаи топологического пространства, то на них распространяется компактность. Для метрических пространств компактность тесно связана с полной ограниченностью. Пусть М – некоторое множество в метрическом пространстве Х. Возьмём ε>0. Множество А называется ε сетью для множества М, если хМ найдётся хотя бы одна точка αА такая, что ρ(x,α)<ε. Множество М называется вполне ограниченным, если для него существует конечная ε сеть для ε>0. Ясно, что всякое вполне ограниченное множество является ограниченным множеством. Обратное не верно. Если М – вполне ограниченное, то его замыкание тоже вполне ограниченное. В пространстве Rⁿ полная ограниченность совпадает с ограниченностью. Действительно, если множество М ограниченно, то оно содержится в некотором кубе. Разобьём этот куб на кубки с ребром длины ε. Вершины этих кубиков образуют конечную ε сеть в исходном кубе, и тем более в любом множестве, лежащем внутри куба.

(Т1)Чтобы метрическое пространство Х было компактным, необходимо и достаточно одновременное выполнение условий: 1) Чтобы Х было вполне ограниченным; 2)Х являлось полным. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) (необходимость полной ограниченности) (от противного) Допустим, что Х не является вполне ограниченным. Тогда для некоторого ε₀>0 в Х не существует конечной ε сети. Возьмём произвольную точку А₁ из этого Х. Найдётся хотя бы одна точка А₂ из этого Х такая, что ρ(А₁,А₂)> ε₀. Т.к. иначе точка А₁ была бы ε₀ сетью для Х. Найдётся точка А₃ из Х такая, что ρ(А₁,А₃)> ε₀ и ρ(А₂,А₃)> ε₀. Т.к. иначе две точки А₁ и А₂ составляют ε₀ сеть. Продолжая этот процесс, получим подпоследовательность точек a₁,a₂,…,a_n такую, что ρ(а_i,a_k)> ε₀ (ik). Эта бесконечная последовательность точек не имеет ни одной предельной точки. По (Т4) и (Т3) из предыдущего параграфа Х не компактно. (необходимость полноты) Пусть Х_n полно, т.е. последовательность X_n не имеет пределы в Х, т.е. оно не имеет в Х ни одной предельной точки. По (Т4) из предыдущего параграфа Х не компактно. (достаточность) Пусть Х вполне ограниченно и полно, {X_n} – произвольная последовательность из Х. Построим в Х 1-сеть. Вокруг каждой точки этой 1-сеть построим замкнутый шар r=1. Т.к. эти шары покрывают всё Х, а шаров конечное число, то по крайней мере один из этих шаров содержит бесконечную подпоследовательность последовательности X¹_n. Обозначим этот шар через B₁. В шаре B₁ выберем – сеть. Вокруг каждой точки этой сети построим шар r=. По крайней мере один из этих наров содержит бесконечную подпоследовательность последовательности X²_n. Этот шар обозначим через B₂. Далее найдётся шар В₃, r=, содержащий подпоследовательность X³_n и т.д. На ряду с каждым шаром B_n построим шар A_n с тем же центром, но радиус его в 2 раза больше. Шары A_n вложены друг в друга. Т.к. Х полно, то и состоят из единственной точки х₀. Эта точка является предельной точкой для последовательности X_n. Т.к. любая окрестность точки содержит некоторый шар B_k, а значит и бесконечную подпоследовательность {} нашей последовательности X_n. (ДОК)

№15) Действительные функции на метрических и топологических пространствах.

Действительной функцией на топологическом (метрическом) пространстве Т называется отображение пространства Т в числовую прямую. Если функция задана на метрическом пространстве, то имеет смысл понятие равномерной непрерывности. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на на метрическом пространстве Х, если >0 δ>0 такое, что если ρ(x₁,x₂)<δ, то |f(x₁),f(x₂)|<ε.

(Т1)Если действительная функция непрерывна на метрическом компакте, то она равномерно непрерывна. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Допустим, что f(x) непрерывна, но не равномерно непрерывна на компакте К. Тогда для некоторого ε>0 и для любого натурального n найдутся в K точки x_n и такие, что ρ(x_n,)<, но |f(x_n),f()|≥ε. Т.к. К – компакт, то из последовательности {x_n} можно выбрать последовательность {}, сходящуюся к некоторой точке хК. Тогда и соответствующая подпоследовательность {} сходится к х. Однако для каждого К должно выполнятся хотя бы одно из неравенств |f(),f(х)|≥ и |f(),f(х)|≥. А это противоречит непрерывности функции f(x) в точке х. (ДОК)

(Т2) Пусть Т – компактное пространство, f – непрерывная в нём функция. Тогда f ограниченна на Т и достигает на Т верхней и нижней граней. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Непрерывная функция есть непрерывное отображения пространства Т в числовую прямую. По (Т3) параграфа 13 образ Т компактен, а компактное подмножество числовой прямой замкнуто и ограничено и потому имеет верхнюю и нижнюю грани и содержит их. (ДОК)

№16) Линейные пространства.

(О1) Непустое множество L элементов x,y,z,… называется линейным или векторным пространством, если оно удовлетворяет аксиомам: