Графическое решение системы уравнений.
Системы уравнений с двумя неизвестными могут быть приближенно решены графически. Их решением являются координаты точки пересечения линий, соответствующих уравнениям системы. При этом точность решения будет определяться величиной шага дискретизации (чем шаг меньше, тем точность выше). Рассмотрим примеры графического решения системы двух уравнений.
Пример.
Пусть необходимо
найти решение системы
в диапазоне
с шагом=0,2.
Решение.
В рабочую таблицу
ввести значения аргумента и двух функций
(SIN
и COS
из категории Математические). Далее
необходимо построить диаграмму кривых
синуса и косинуса. Как видно из диаграммы
система имеет одно решение (есть точка
пересечения), и оно на заданном интервале
единственное. Таким образом, решением
системы в заданном диапазоне являются
координаты точки пересечения кривых.
Для их нахождения необходимо навести
указатель мыши на точку пересечения и
щелкнуть левой кнопкой мыши. Появляется
надпись с указанием искомых координат.
.
Таким образом, приближенное решение
системы х=0,8, у=0,697.
Аппроксимация экспериментальных данных
Аппроксимацией называется процесс подбора эмпирической формулы (х) для установления из опыта функциональной зависимости y=f(x). Эмпирические формулы служат для аналитического представления опытных данных. Обычно задача аппроксимации разделяется на две части. Сначала устанавливают вид зависимости y=f(x), т.е. решают, является ли она линейной, квадратической, логарифмической и т.п. Обычно определение параметров при известном виде зависимости осуществляется по методу наименьших квадратов. При этом функция (х) считается наилучшим приближением к f(x), если для нее сумма квадратов отклонений теоретических значений (х) найденных по эмпирической формуле, от соответствующих опытных значений минимальна, т.е.
В Excel аппроксимация экспериментальных данных осуществляется путем построения их графика с последующим подбором подходящей аппроксимирующей функции (линии тренда). Возможны следующие варианты функций:
Линейная: y=ax+b. Обычно применяется в простейших случаях, когда экспериментальные данные убывают или возрастают с постоянной скоростью.
Полиномиальная: y=а0+ a1 x + a2 x2 +… an xn, (п), аi– константы. Используется для описания экспериментальных данных, попеременно возрастающих и убывающих. Степень полинома определяется количеством экстремумов кривой. Так, например, полином второй степени может описать только один максимум или минимум, полином третьей степени – не более двух экстремумов.
Логарифмическая:
,
где а иb
константы, ln
– функция натурального логарифма.
Функция применяется для описания
экспериментальных данных, которые
вначале быстро растут или убывают, а
затем стабилизируются.Степенная: y = bxa, где а и b – константы. Аппроксимация степенной функции используется для экспериментальных данных с постоянно увеличивающейся (убывающей) скоростью роста. Данные не должны иметь нулевых или отрицательных значений.
Экспоненциальная: y = bеaх, где а и b константы, е – основание натурального логарифма. Применятся для описания экспериментальных данных, которые быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируется. Часто ее использование вытекает из теоретических соображений.
Степень близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функции оценивается коэффициентом детерминации (R2). Чем больше коэффициент детерминации (стремится к единице), тем лучше.
Для осуществления аппроксимации на диаграмме экспериментальных данных необходимо щелчком правой кнопки мыши вызвать контекстное меню и выбрать пункт Добавить линию тренда. В появившемся диалоговом окне Линия тренда, на вкладке Тип выбрать вид аппроксимирующей функции, на вкладке Параметры задаются дополнительные параметры, влияющие на отображение аппроксимирующей кривой, в частности можно установить флажки в поля Показывать уравнения на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации.
Пример: Произвести аппроксимацию экспериментальных данных
|
хi |
0,65 |
1,07 |
1,7 |
2,26 |
2,78 |
|
yi |
1,5 |
1,8 |
2,3 |
2,8 |
3,8 |
По исходным данным построить точечную диаграмму и добавить линию тренда (в данном случае выбран линейный тип).
Ответ. Полученное уравнение y=1,0274x+0,7017 описывает исходные данные достаточно хорошо, т.к. коэффициент детерминации =0,9551.