Электротехника. Методичка. / ЭЛЕКТРОТЕХНИКА Ч. 1 (PDF) (1)
.pdfIm[I |
|
e j t ] Im[ |
Um |
e j t ] Im[ |
Um |
e j 90o |
e j t ] |
||
m |
|
|
|
||||||
|
|
R |
|
|
xL |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Im[ |
Um |
e j90o e j t ]. |
(4.14) |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
xC |
|
где E |
|
E e j e – комплексная амплитуда ЭДС; |
|||||||
|
m |
|
m |
|
|
|
|||
I |
m |
I |
m |
e j I – комплексная амплитуда тока; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
U |
m |
U |
m |
e j U – комплексная амплитуда напряжения; |
|||||
e j t – вектор вращения. |
|||||||||
|
|
Соотношения |
(4.13) |
и (4.14) можно упростить, учитывая |
|||||
j e j90o , |
j e j90o |
и j |
1 j , используя свойства комплексных |
функций и сократив подобные члены. В результате получим законы Кирхгофа в комплексной форме для амплитудных значений для схем рис. 4.7:
Em RIm jxL Im |
jxC Im |
URm ULm UCm ; |
(4.15) |
|||||||||||||||||||||||||||||
I |
|
|
Um |
|
|
Um |
|
Um |
I |
|
|
I |
|
|
I |
|
. |
(4.16) |
||||||||||||||
m |
|
|
R |
jxL |
jxC |
Rm |
Lm |
Cm |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Законы Кирхгофа в комплексной форме для действующих |
||||||||||||||||||||||||||||||||
значений токов I |
|
Im |
e j I и напряжений U |
U |
m |
|
e j U имеют вид: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
E RI jxL I jxC I UR |
|
UL UC ; |
|
(4.17) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
I |
U |
|
U |
|
|
U |
|
I |
|
|
I |
|
I |
|
. |
|
|
(4.18) |
|||||||||||||
|
|
|
jxC |
R |
L |
C |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
jxL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Законы Кирхгофа в комплексной форме:
1.Алгебраическая сумма комплексных значений токов в проводниках, соединенных в узел, равна нулю:
(I j ) 0.
2.Алгебраическая сумма всех комплексных источников ЭДС в любом замкнутом контуре цепи равна алгебраической
51
сумме комплексных падений напряжений на всех остальных элементах того же контура:
( Ej ) ( U i ).
Для иллюстрации взаимосвязи между токами и напряжениями в конкретной схеме строят векторные диаграммы: для напряжений – топографические, построенные с соблюдением порядка расположения элементов в цепи, для токов – лучевые, построенные для выбранных узлов схемы, причем вектора выходят из начала координат или какой-то другой выбранной точки. Векторные диаграммы изображают законы Кирхгофа в комплексной форме, представленные суммой векторов на комплексной плоскости.
На рис. 4.9 показаны векторные диаграммы (топографическая для напряжений и лучевая диаграмма для токов), построенные по уравнениям (4.17) и (4.18) для схем рис. 4.7. При построении диаграмы выбираются удобные для анализа масштабы напряжений и токов, при этом длина векторов напряжений и токов будет пропорциональна их действующим значениям, а угол поворота векторов относительно вещественной оси равен их начальной фазе. Положительные значения углов отсчитываются против направления вращения часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке.
а |
б |
Рис. 4.9. Векторные диаграммы токов и напряжений
52
Уравнения (4.17) и (4.18) позволяют определить токи в ветвях и напряжения на элементах цепи. Так, для схемы рис. 4.7, а:
I |
E |
|
E |
|
E |
|
|
E |
, |
(4.19) |
R jxL jxC |
R j(xL xC ) |
R |
|
. |
||||||
|
|
|
jX |
|
|
|||||
|
|
|
Z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где X – суммарное реактивное сопротивление ветви;
.
Z R jX Ze j – комплексное сопротивление ветви;
Z и – модуль и аргумент комплексного сопротивления. Для схемы рис 4.7, б из (4.18):
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
x x |
. |
|
I U |
|
|
|
|
|
|
U |
|
j |
L C |
|
U (g jb) U Y , (4.20) |
|
|
|
|
|
||||||||
R |
|
jxL |
|
jxC |
R |
|
xL xC |
|
где g и b – активная и реактивная проводимости параллельных ветвей;
.
Y g jb Ye j – суммарная комплексная проводимость цепи;
Y и – модуль и аргумент комплексной проводимости. Сопротивления Z, R и X, а также проводимости Y, g и b обра-
зуют треугольники сопротивлений и проводимостей (рис. 4.10).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
Z R2 X 2 |
Y |
|
Y g2 b2 Z |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
X |
|
|
b |
||||
|
|
arctg(X R) |
|
|
arctg(b / g) |
||||
|
|
|
|
||||||
R |
g |
||||||||
|
|
а |
|
|
б |
Рис. 4.10. Треугольники сопротивлений и проводимостей
4.1.6. Частотные характеристики электрических цепей
Под входной характеристикой цепи при гармоническом воздействии понимают зависимость его входного комплексного сопро-
|
|
тивления Z ВХ () или проводимости Y ВХ () от частоты. |
|
|
|
Комплексной передаточной функцией по напряжению K ( j) |
|
называется зависимость |
отношения комплексного действующего |
53
значения выходного напряжения к комплексному действующему значению входного напряжения от частоты. Функция K ( j) пред-
ставляется двумя зависимостями: АЧХ (амплитудная частотная характеристика) – зависимость модуля от частоты и ФЧХ – зависимость его фазы от частоты. Во многих случаях частотные характеристики цепи могут меняться в широких пределах, поэтому удобнее их представлять в логарифмическом масштабе (логарифмическая частотная характеристика или ЛАЧХ). Оценивается ЛАЧХ в децибелах (дБ). Для пассивных цепей данная частотная характеристика называется ослаблением цепи. При расчете частотных характеристик линейных цепей реактивные сопротивления катушки индуктивности и конденсатора записываются как функции частоты: xL L и xC 1 (С). Предполагается, что сопротивления рези-
стивных элементов R от частоты не зависят.
Рассмотрим расчет частотных характеристик на примере схемы с последовательным соединением элементов R и C (рис. 4.11).
Рис. 4.11. Схема RC-цепи
Входное комплексное сопротивление цепи:
Z BX ( j ) U1 ( j) |
R |
j Z |
|
( )e j BX ( ) , |
(4.21) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 ( j) |
|
C |
BX |
|
|
|
|
|
|
|
|
где ZBX () R2 (1(C))2 и BX () arctg(1(RC)).
На рис. 4.12 изображены графики входных характеристик Z BX () и BX ( ), рассчитанных по формулам (4.21).
Комплексная передаточная функция по напряжению имеет вид:
54
K ( j ) |
U2 |
( j) |
|
R |
K ( )e j ( ) . |
(4.22) |
|
U ( j) |
R j (C) |
||||||
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
АЧХ и ФЧХ определятся соотношениями:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
K ( ) |
|
|
|
|
|
|
и ( ) arctg |
|
. |
(4.23) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
( RC) |
|
|
|
|
|
|
а |
б |
Рис. 4.12. Частотные характеристики последовательной RC-цепи
Для качественной оценки частотной характеристики введем параметр – постоянную времени τ = RC. Тогда формулы частотных характеристик будут иметь следующий вид:
K () |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
() |
|
1 |
|
|
и ( ) arctg |
|
. |
(4.24) |
|
|||
|
|
|
ЛАЧХ определяется выражением:
L( ) 20 lg K(). |
(4.25) |
На рис. 4.13 представлены графики частотных характеристик АЧХ, ЛАЧХ и ФЧХ, рассчитанных по формулам (4.22)–(4.24).
55
а |
б |
в |
Рис. 4.13. Частотные передаточные характеристики
4.2. Домашнее задание
1. Исходные данные к расчетам и опытам приведены в табл. 4.1. Для заданных преподавателем вариантов и схем рассчитать:
1.1.Токи для частот, приведенных в табл. 4.2. Значения занести в табл. 4.2 и 4.4 соответственно.
1.2.Падения напряжения на элементах для этих частот. Значения занести в табл. 4.2 и 4.4 соответственно.
1.3.Сдвиг фаз φ(ω) между током и входным напряжением для
каждого значения частоты сигнала и параметров схемы L1 и С1. Занести значения в табл. 4.2, 4.4 соответственно.
Таблица 4.1
Данные для расчетов
Номер |
Um1, |
f, |
R, |
L1, |
L2, |
С1, |
С2, |
RК, |
варианта |
В |
Гц |
Ом |
мГн |
мГн |
мкФ |
мкФ |
Ом |
1 |
5 |
1300 |
420 |
6 |
25 |
0,47 |
3,3 |
12 |
2 |
6 |
1500 |
270 |
10 |
6 |
0,41 |
3,3 |
12 |
3 |
7 |
1150 |
150 |
15 |
25 |
0,47 |
0,41 |
12 |
4 |
5 |
1200 |
390 |
25 |
15 |
3,3 |
0,47 |
12 |
5 |
6 |
1100 |
540 |
10 |
15 |
0,41 |
0,47 |
12 |
6 |
7 |
2000 |
300 |
15 |
6 |
0,47 |
3,77 |
12 |
7 |
5 |
1250 |
660 |
15 |
10 |
3,3 |
0,41 |
12 |
8 |
6 |
1800 |
420 |
6 |
15 |
0,47 |
3,3 |
12 |
9 |
7 |
1700 |
270 |
15 |
10 |
3,3 |
0,41 |
12 |
0 |
5 |
1400 |
390 |
15 |
6 |
0,47 |
3,77 |
12 |
56
4) Модуль комплексного входного сопротивления ZВХ(ω), модуль комплексного коэффициента передачи К(ω) и логарифмический коэффициент передачи 20lgK(ω) для параметров схемы L1 и С1. Занести значения в табл. 4.2 и 4.4 соответственно.
2.Построить АЧХ, ЛАЧХ, ФЧХ для схем заданных вариантов.
3.Повторить вычисления для измененных параметров реактивных элементов L2 и С2.
4.Рассчитать постоянные времени для рассматриваемых схем.
5.Заполнить табл. 4.2 для схем на рис. 4.14, а и 4.14, б. Заполнить табл. 4.4 для схем на рис. 4.14, в и 4.14, г.
а |
б |
в |
г |
д |
е |
Рис. 4.14. Схемы для исследования
57
ж |
з |
Рис. 4.14. Окончание
4.3.Лабораторное оборудование
Влабораторной работе используются следующие блоки: 1. Генератор звуковых частот ЗГ1-06.
2. Комбинированный блок измерителя активной и реактивной
мощностей, фазометр ИМФ1-01.
3.Блок амперметра-вольтметра АВ1-07.
4.Стенд с объектами исследования С3-ЭМ-01.
5.Цифровой осциллограф ОЦЛ2-01.
Для соединения элементов стенда используются короткие проводники, а для соединения с приборами комплекса – длинные.
4.4. Порядок выполнения работы
Для схем, представленных на рис. 4.14, выполнить следующие измерения:
1. Для частот f = 20; 100; 200; 500; 1000; 2000; 5000; 10000;
20000 Гц определить действующие значения комплексов тока I
и |
напряжений |
U2 , комплексы входного сопротивления |
||
. |
Z |
|
( f )e j BX ( ) |
и передаточной функции K( f ) K( f )e j ( ) , а |
Z BX |
BX |
|||
|
|
|
|
также ЛАЧХ 20lgK(f). Результаты измерений занести в табл. 4.2.
2. Построить графики входной характеристики модуля и аргумента входного сопротивления Z BX ( f ) и BX ( f ) , а также АЧХ K ( f ) , ФЧХ ( f ) и ЛАЧХ 20lg K( f ) комплексной передаточной
функции K ( f ) .
58
3.Построить векторные диаграммы токов и напряжений цепи для частоты, указанной преподавателем.
4.Повторить измерения для других значений реактивных элементов.
5.Определить экспериментально параметры катушки индуктивности и конденсатора. Собрать схему по рис. 4.15 для опытного
определения параметров катушки индуктивности LK и активного сопротивления RK , а также емкости конденсатора C. Установить ча-
стоту и напряжение на выходе генератора звуковых частот в соответствии с номером варианта (см. табл. 4.1). Измерителем мощности и фазы измерить значение тока I его фазу для катушки индуктивности и конденсатора.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблицы 4.2 |
||
|
Результаты измерений |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f , кГц |
|
0,02 |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
1 |
2 |
5 |
10 |
20 |
UR(f), В |
Расчет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опыт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UL(f), В |
Расчет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опыт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(f), мА |
Расчет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опыт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ(f), град. |
Расчет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опыт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZВХ(f), Ом |
Расчет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опыт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K(f) |
Расчет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опыт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20lgK(f), дБ |
Расчет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опыт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По данным проведенного эксперимента рассчитать значения индуктивности и активного сопротивления катушки, а также емкости конденсатора. Полученные результаты сравнить с исходными данными табл. 4.1. Рассчитать абсолютную и относительную по-
59
грешность значений параметров реактивных элементов. Результаты измерений и расчетов занести в табл. 4.3.
Рис. 4.15. Схема экспериментальной установки для определения параметров катушки индуктивности и конденсатора
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.3 |
|||
|
Результаты измерений |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Элемент цепи |
F, |
U1, |
I, |
φ, |
Z, |
Определяемый |
|||
Гц |
В |
мА |
Град |
Ом |
параметр |
||||
|
|||||||||
Катушка индук- |
|
|
|
|
|
LK = |
|
RK = |
|
тивности |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Конденсатор |
|
|
|
|
|
|
C = |
6. Провести исследование гармонических процессов в RL- и RC-цепях.
6.1. Собрать схему в соответствии с рис. 4.16. В нее включить катушку индуктивности L1 (катушка содержит внутреннее активное
сопротивление RK ) и резистор R. Параметры схемы L1 и R указаны в
табл. 4.1. Собранная схема соответствует рис. 4.14, а.
Если в заданном преподавателем варианте указаны параметры, не соответствующие параметрам элемента, имеющегося в явном виде на макете, данный элемент следует собирать путем последовательного или параллельного соединения двух элементов, имеющихся в макете.
6.2. Устанавливая частоту генератора, указанную в табл. 4.2, измерить напряжение U2 на резисторе R, ток I и фазу тока φ. Результаты измерений занести в табл. 4.2 (амплитуду напряжения на входе всегда поддерживать неизменной).
60