1.3.1. Сложение случайных и систематических погрешностей

В реальных опытах присутствуют как систематические, так и случайные ошибки. Пусть они характеризуются стандартными погрешностями _сист и _случ . Суммарная погрешность находится по формуле

(30)

Поясним эту формулу. Систематическая и случайная ошибки могут, в зависимости от случая, складываться или вычитаться друг из друга. Как уже говорилось, точность опытов принято характеризовать не максимальной (и не минимальной), а среднеквадратичной погрешностью. Поэтому правильно рассчитанная погрешность должна быть меньше суммы _случ + _сист и больше их разности _случ - _сист . Легко видеть, что _полн , определенная формулой (30), удовлетворяет этому условию. В самом деле, все величины  положительные. Поэтому

Знак равенства возникает только в том случае, когда одна из погрешностей равна нулю. Аналогично имеем

Формула (30) показывает, что при наличии как случайной, так и систематической погрешности полная ошибка опыта больше, чем каждая из них в отдельности, что также является вполне естественным.

Обратим внимание на ещё одну важную особенность формулы (30). Пусть одна из ошибок, например _случ , в 2 раза меньше другой. Тогда

Как мы уже говорили, погрешности редко удается оценить с точностью лучше 20%. Но в нашем примере с точностью 20% _полн = _сист . Таким образом, меньшая погрешность почти ничего не добавляет к большей, даже если она составляет половину от нее.

Этот вывод очень важен. В том случае, если случайная ошибка опытов вдвое меньше систематической, нет смысла производить многократные измерения, так как полная погрешность опыта при этом практически не уменьшается. Измерения достаточно произвести 2  3 раза, чтобы убедиться, что случайная ошибка действительно мала.

1.3.2. Обработка результатов при косвенных измерениях

Если исследуемая величина равна сумме или разности двух измеренных величин,

А =В  С, (31)

то наилучшее значение величины А равно сумме (или разности) наилучших значений слагаемых: А_наил = В_наил + С_наил , или, как рекомендовано выше,

(32)

Здесь и в дальнейшем угловые скобки (или черта сверху) означают усреднение: вместо того, чтобы писать А_ср, будем пользоваться обозначением А (или ), и т. д.

Среднеквадратичная погрешность _А, если величины В и С независимы, находится по формуле

(33)

т. е. погрешности, как всегда, складываются квадратично. (Иначе говоря, складываются не погрешности, а дисперсии результатов измерений.) При обсуждении формулы (33) следует использовать те же аргументы, которые были приведены в связи с формулой (30).

В том случае, если искомая величина равна произведению или частному двух других,

А = ВС или А = В/С, (34)

то

(35)

Относительная среднеквадратичная погрешность произведения и частного независимых величин находится по формуле

(36)

Приведем расчетные формулы для случая, когда

А = В^C^E^...... (37)

Наилучшее значение А связано с наилучшими значениями В, С, Е и т. д. той же формулой (24), что и каждое конкретное значение. Относительная среднеквадратичная погрешность величины А при независимых В, С, Е... находится по формуле

(38)

Наконец, приведем для справок общую расчетную формулу. Пусть

А = f (В, С, Е, ...), (39)

где f - произвольная функция величин В, С, Е и т. д. Тогда

А_наил= f (В_наил , С_наил , Е_наил , ...) (40)

Формула (40) справедлива как в том случае, когда В_наил , С_наил , и т.д. непосредственно измерены, так и в том случае, если они найдены по измеренным значениям других величин. В первом случае значения В_наил , С_наил , и т.д., как уже указывалось, равны В, С и т. д. Погрешность А находится по формуле

(41)

Частные производные следует вычислять при наилучших значениях аргументов. Все приведенные в этом параграфе формулы являются частными случаями (40) и (41).

Рассмотрим некоторые следствия, которые могут быть получены из анализа формул, приведенных в этом разделе. Прежде всего, заметим, что следует избегать измерений, при которых искомая величина находится как разность двух больших чисел. Так, толщину стенки трубы не следует определять, вычитая ее внутренний диаметр из внешнего диаметра и конечно деля результат пополам. Относительная погрешность измерения, которая обычно представляет главный интерес, при этом сильно увеличивается, так как измеряемая величина  в нашем случае толщина стенки  мала, а ошибка в ее определении находится путем сложения погрешностей измерения обоих диаметров и поэтому возрастает.

Следует также помнить, что погрешность измерения, которая составляет, например, 0.5% от величины внешнего диаметра, может составить 5% и более от толщины стенки.

При измерениях, которые затем обрабатываются по формуле (34) (например, при определении плотности тела по его массе и объему), следует определять все измеряемые величины с приблизительно одинаковой относительной точностью. Так, если объем тела измерен с погрешностью 1%, то при взвешивании с погрешностью 0.5% его плотность определяется с точностью 1.1%, а при взвешивании с погрешностью 0.01% - с точностью 1%, т. е. с той же, практически, точностью. Тратить силы и время на измерение массы тела с точностью 0.01% в этом случае, очевидно, не имеет смысла.

При измерениях, которые обрабатываются по формуле (41), следует обращать главное внимание на точность измерения величины, входящей в расчетную формулу с наибольшим показателем степени.

Прежде чем приступать к измерениям, всегда нужно подумать о последующих расчетах и выписать формулы, по которым будут рассчитываться погрешности. Эти формулы позволят понять, какие измерения следует производить особенно тщательно, а на какие не нужно тратить больших усилий.