Информатика

ние

(7.50)

где и = u ( r , t) - температура в точке r в момент t. Уравнение (7.50) является трехмерным аналогом уравнения (7.49).

Далее будет продолжено лишь рассмотрение задачи о теплопроводности в стержне. Начальные и краевые условия. Уравнения (7.49), (7.50) описывают процесс изменения

температуры тела (перенос тепла) во времени и в пространстве. Ясно, что для отслеживания такого процесса надо знать распределение температуры в теле в некоторый начальный момент времени:

(7.51)

где f(x) - заданная функция. Кроме того, в тех местах, где возможен теплообмен с окружающей средой, надо знать условия этого теплообмена. Для стержня с теплоизолированной боковой поверхностью такими местами являются концы. Пусть длина стержня l; если один конец имеет координату x = 0, а. другой - x = l, то простейший вариант краевых условий - постоянная (но не обязательно одинаковая) температура на каждом конце стержня:

Нижеследующее утверждение физически очевидно, но его строгое математическое доказа-

тельство весьма непросто: дифференциальное уравнение (7.49) при начальном условии (7.51) и краевых условиях (7.52) имеет единственное решение.

Аналитические методы решения задачи одномерной теплопроводности существуют, но требуют значительной математической подготовки, к тому же решение обычно получается в виде ряда Фурье, и по его виду протекание процесса неочевидно. В двух- и трехмерном случаях аналитическое решение чаще всего получить не удается (по крайней мере, в практически полезном виде). Как и всюду в этой главе, ниже мы используем простейшие численные методы его решения. Вначале, однако, приведем графические результаты решений простейших задач (заимствованные из книги И.Г.Арамановича и В.И.Левина «Уравнения математической физики», Москва, 1969), способствующие пониманию рассматриваемой проблемы.

Пример 1. В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) оба торцевых сечения теплоизолированы, а начальная температура распределена по следующему закону:

Графики температуры построены в некоторые последовательные моменты времени, рис.

7.32.При любом t > 0 график симметричен относительно точки l , u0 .

2 2

Теплоизоляция концов стержня находит свое выражение в том, что кривые распределения температуры имеют горизонтальные касательные при x = 0 и х = l. Из физических соображений ясно, что при t → ∞ u →uo/2.

Рис. 7.32. Графическая иллюстрация решения задачи из примера 1

631

Пример 2. В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) оба торцевых сечения теплоизолированы, а начальная температура распределена по следующему закону:

Здесь u0 - максимальное значение температуры.

Постоянная температура на торцах стержня - простейшее краевое условие. Возможна, однако, и ситуация, когда через торцы происходит теплообмен с окружающей средой. Этот теплообмен, как было установлено Ньютоном, удовлетворяет правилу: поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды: ∆Q = h (u - u~ ) где и - температура конца стержня, u~ - температура окружающей среды, h - коэффициент теплообмена. По определению h > 0, т.е. ∆Q > 0 соответствует уходу тепла из стержня, ∆Q < 0 - приходу из окружающей среды.

Рис. 7.33. Графическая иллюстрация решения задачи из примера 2

Поскольку поток тепла во внешнюю среду пропорционален градиенту изменения температуры на торце стержня, закон сохранения энергии принимает вид

(7.53)

(знак «минус» во второй формуле связан с соотношением направления потока и оси х), k - коэффициент теплопроводности.

Ниже приведен пример эволюции температуры в стержне, у которого один из концов теплоизолирован, а на другом - поддерживается постоянная температура.

Пример 3. В стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) левый конец тепло-

ная температура постоянна по стержню: u t =0 = u0 , рис. 7.34.

632

или другой одношаговый метод, то для работы со следующим временным слоем используются значения искомой функции из предыдущего слоя, для более сложных - из нескольких предыдущих слоев.

Далее будем индексы, соответствующие временной сетке, писать надстрочно (вверху), а пространственной - подстрочно (внизу). Таким образом, для одномерного уравнения запись u ij

означает значение функции и(х, t) в j-м временном слое и в i-м узле пространственной сетки. Вернемся к одномерному уравнению теплопроводности (7.49) и сформулируем простейшую возможную схему его интегрирования - явную схему первого порядка - по времени, используя метод Эйлера, по пространству, используя простейшие аппроксимации (7.56). Шаг по времени обозначим

∆t, по координате - ∆x. Величина u ik +1 = u (tk+1, xi) находится из разностного уравнения

(7.57)

(k = 0, 1,...; i = 1, 2, ..., n - 1) для внутренних узлов пространственной сетки; в силу начального ус-

ловия (7.51)

где функция f(x) задана и определяет значение температуры при t = 0. Что касается значений u 0k и иkn (на концах стержня), то они зависят от типа краевого условия; для случая, когда концы стержня поддерживаются при постоянной температуре, имеем и0k = u~0 , иkn = u~l , где u~0 , u~l - заданные

числа.

Теперь остановимся на вопросе об устойчивости и эффективности обсуждаемого метода. Устойчивость понимается в том же смысле, что и для обыкновенных дифференциальных уравнений, но шансов получить неустойчивый метод здесь гораздо больше. Существуют разностные схемы абсолютно неустойчивые, абсолютно устойчивые и условно устойчивые. Первые при любых, сколь угодно малых, шагах так «раскачивают» начальную погрешность, что приводят к результатам, не имеющим ничего общего с реальностью. Вторые ни при каких шагах не «раскачиваются», хотя, конечно, чем меньше шаг, тем меньше разница между приближенным и точным решениями. Третьи устойчивы при одних комбинациях значений ∆x и ∆t и неустойчивы при других. Исследование, которого мы проводить не будем, показывает, что разностная схема (7.57) устойчива при

и неустойчива в противном случае.

Эффективность схемы можно представить лишь при сопоставления с другой схемой того же назначения. Прежде всего, под эффективностью понимают возможность относительно быстро получить решение с достаточной точностью. Иногда оказывается не менее важным объем оперативной памяти под массивы, хранение которых неизбежно в данном методе. Схема (7.57) с точки зрения быстродействия малоэффективна, с точки зрения объема памяти - вполне удовлетвори-

тельна, так как, получив значения иik +1 на некотором временном слое, не обязательно сохранять в

ОЗУ значения на предыдущем слое (их можно вывести на диск или на печать).

Получим более эффективный и устойчивый метод. Он аналогичен переходу от метода Эйлера к одному из вариантов метода Рунге - Кутта второго порядка (называемому иногда модифицированным методом Эйлера). Усредним пространственный член уравнения (7.49) по времени:

(7.58)

Это, безусловно, лучшая чем в (7.57) аппроксимация производной ∂∂ut . Исследование пока-

зывает, что схема (7.58) (называемая в литературе схемой Кранка-Николсона) абсолютно устойчива и более эффективна.

Расплатой за эффективность является то, что (7.58) - неявная схема, т.е. не формула для не-

634

посредственного расчета, как (7.57), а система линейных алгебраических уравнений для величин u1k +1 , u k2+1 , …, u kn−+11 которую еще предстоит решать (поскольку неизвестные на (k + 1)-м временном

слое величины u ik +1 входят и в левую, и в правую часть (7.58)). Поскольку неявные схемы, как

правило, устойчивей, к ним прибегают часто.

Заметим, что (7.58) есть система специального вида - с трехдиагональной матрицей. В самом деле, если выписать первое, последнее и некоторое промежуточное ;'-е уравнения, перенося неизвестные в левые части, получим

(7.59)

Конечно, к таким системам можно применять стандартные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, но для них существует и специализированный высокоэффективный метод, называемый «методом прогонки». За деталями отсылаем к учебникам по численным методам.

Пример. Рассмотрим динамику изменения температуры в стержне длиной 4 м с теплоизолированными концами, температура на которых поддерживается постоянной и равна 3°С с начальным условием f(x) = -0,5x2 + 2x + 3. Коэффициент а в уравнении (7.49) примем равным 0,78 (выбор этот достаточно произволен).

Для демонстрации работы явной схемы (7.57) произведем расчеты по этой формуле на первом шаге. Ограничимся пятью узлами на пространственной сетке. В начальный момент (t = 0)

имеем u (00) = 3,0000, u1(0) = 4,5000, и(20) = 5,0000, и3(0) = 4,5000, и(40) = 3,0000.

Из краевых условий получаем и(01) = и(41) = 3,0000. Подставляя в формулу (7.57) соответствующие значения, получаем

аналогично получаем u 3(1) =3,8916.

Таблица 7.7

Результаты моделирования процесса теплопроводности, полученные по неявной схеме (7.59)

635

12.Для чего производится обезразмеривание величин, характеризующих движение? Возможен ли з рассматриваемой задаче другой способ обезразмеривания?

13.Сделайте сравнительный анализ характеристик движения тела, брошенного под углом к горизонту, с учетом и без учета сопротивления воздуха. Как они будут изменяться с увеличением начальной скорости?

14.Разработайте программы решения задач:

а) при построении модели полета тела, брошенного под углом к горизонту, поверхность Земли считалась плоской, учтите в математической модели кривизну Земли, проведите соответствующее моделирование.

б) произведите моделирование полета тела, брошенного под углом к горизонту на Луне, проведите сравнение с результатами моделирования для Земли при аналогичных начальных условиях;

в) задача о подводной охоте: на расстоянии т под углом а подводный охотник видит неподвижную акулу, на сколько метров выше ее надо целиться, чтобы гарпун попал в цель? как будет выглядеть постановка и решение этой задачи, если акула движется? произведите соответствующее моделирование.

15. В чем могут заключаться усовершенствования приведенной выше модели взлета раке-

ты?

16.Насколько в действительности хороша аппроксимация, принятая для зависимости силы сопротивления от скорости, при очень больших скоростях?

17.Найдите в специальной литературе данные о характере зависимости силы сопротивления от скорости движения при скоростях порядка скорости звука и больших и внесите усовершенствования в модель.

18.Запишите математическую модель для движения двухступенчатой ракеты.

19.Проведите исследование на тему: с каким минимальным запасом топлива некоторая ракета может вывести на орбиту спутник? Все необходимые параметры задайте правдоподобными самостоятельно.

20.Какой может быть траектория космического аппарата, запускаемого с Земли, относительно нее, если пренебречь влиянием других небесных тел? Чем определяется эта траектория?

21.Как будут выглядеть уравнения движения в системе Земля - Луна - малое небесное тело, если пренебречь влиянием Солнца-и других планет?

22.Составьте программу моделирования движения малого космического тела. Получите с помощью этой программы круговую орбиту. Экспериментально подберите безразмерные начальные условия для получения всех видов орбит: эллиптических, параболических, гиперболических. Для эллиптических орбит вычислите длину большой полуоси, эксцентриситет, период обращения.

23.Проверьте в ходе моделирования второй закон Кеплера для эллиптических орбит.

24.Проверьте в ходе моделирования третий закон Кеплера для эллиптических орбит.

25.Уточните модель, учитывая действие на спутник, движущийся вокруг Земли, помимо силы притяжения Земли, слабой постоянной силы W, обусловленной «солнечным ветром».

26.Есть ли качественные различия в задачах о взаимном движении двух небесных тел и двух заряженных частиц, и чем они обусловлены?

27.Произведите моделирование движения тела массы т, несущего заряд q, под действием

электростатических сил, создаваемых произвольно расположенной группой тел с зарядами Q1, Q2,..., Qn (все они - в одной плоскости).

28.Как выглядит первая нелинейная поправка при переходе от полного уравнения свободных колебаний к уравнению малых колебаний?

29.Какое периодическое движение называют гармоническим?

30.Как выглядит в общем случае формула гармонического разложения периодической функции (разложения в ряд Фурье)?

31.Какие качественные изменения вносит учет трения при анализе движения маятника?

32.С какой частотой происходят вынужденные колебания при наличии гармонической вынуждающей силы?

33.В чем состоит особенность параметрического возбуждение колебательного движения?

34.Изучите в ходе компьютерного моделирования зависимость периода колебаний математического маятника от их амплитуды. Изобразите эту зависимость графически в диапазоне ампли-

637

туд 0 < θ < π. Выполните спектральное разложение колебаний для амплитуд θ0 = 34π , 0,9π, выде-

лив 3-5 гармоник.

35.Изучите с помощью компьютерного моделирования колебания пружинного маятника, движущегося под влиянием упругой силы F = -ах-bх3, где х - смещение из положения равновесия.

Слагаемое (-ах) связано с законом Гука и доминирует при малых х (область упругих деформаций), слагаемое (-bх3) - нелинейный член силы упругости, доминирующий при больших x. Изучение может включать те же элементы, которые описаны для математического маятника.

36.«Постоянной времени» τ0 колебательной системы с затуханием называется промежуток времени, за который начальная амплитуда уменьшится в е раз. Для линейной системы она равна

τ0 = 1k Определите с помощью компьютерного моделирования постоянную времени для зату-

хающих нелинейных колебаний, ее зависимость от начальной амплитуды.

37.Относительно каких процессов атмосферу можно рассматривать как сплошную газовую среду и относительно каких - нельзя?

38.Какие примеры сплошных сред и соответствующих процессов вам известны?

39.Как в общем случае связаны потенциал и напряженность электростатического поля?

40.Что такое эквипотенциальная поверхность? силовая линия?

41.Какие изменения и дополнения следует внести в приведенную выше программу, чтобы она позволила строить трехмерные эквипотенциальные поверхности? их сечения произвольными плоскостями?

42.Реализуйте программу построения силовых линий электростатического поля, создаваемого системой точечных зарядов.

43.Разработайте компьютерную модель, позволяющую строить изолинии поля, создаваемого совокупностью заряженных пластин и точечных зарядов. Создайте с ее помощью изображение

а) поля в плоском конденсаторе; б) поля, создаваемого пластинами, стоящими под углом друг к другу.

44.В чем заключается процесс теплопроводности, и какие физические механизмы его поддерживают на молекулярном уровне?

45.Как выглядит уравнение теплопроводности в двумерном случае?

46.В чем заключаются начальные и краевые условия в задаче теплопроводности?

47.Как выглядит конечно-разностная аппроксимация первой производной по времени? по пространству? В чем различие этих аппроксимаций для внутренних и граничных узлов сетки?

48.В чем заключаются устойчивость и эффективность численного метода решения краевых

задач?

49.В чем состоит принципиальная разница между явной и неявной схемами конечноразностного решения дифференциальных уравнений?

50.Получите результаты, приведенные выше в примерах моделирования процесса теплопроводности, постройте соответствующие графики. Как еще можно представить результаты расчетов?

51.Выясните, как в рассмотренных примерах моделирования процесса теплопроводности будут изменяться результаты расчетов при уменьшении (увеличении) параметра a.

52.Какими величинами можно обезразмерить переменные в рассмотренных выше примерах моделирования процесса теплопроводности? Проведите обезразмеривание в одном из них для явной и неявной схем.

53.Проведите моделирование теплопроводности, когда начальные условия заданы функци-

ей

где х* - некоторая точка стержня.

§ 4. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОЛОГИИ

638

4.1. ЭКОЛОГИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

Экология - одно из слов, появившихся сравнительно недавно у всех на устах и на страницах газет и журналов. Еще в 60-х годах нашего столетия почти никто, кроме узких специалистов, его не знал, да и большинство из тех, кто знал, использовал в таком смысле, который вряд ли способен заинтересовать широкую общественность. А между тем, термину более 120 лет.

В1869 г. немецкий естествоиспытатель Эрнст Геккель предложил составной термин «экология» («эко» - дом, жилище, местопребывание и «логос» - наука, знание) как название раздела биологии, ставшего самостоятельным. Классическая экология - наука о взаимодействии организмов и окружающей среды. Сегодня, говоря об экологии, чаще всего имеют в виду не классическую, а, так называемую, социальную экологию, оформившуюся как научное направление и направление общественно-политической деятельности на 100 лет позднее, и занимающуюся проблемами охраны окружающей среды, взаимодействием с ней человеческого сообщества.

Вданной главе мы ограничимся некоторыми классическими моделями «старой» экологии, что обусловлено следующими причинами. Во-первых, они достаточно просты и изучены, постановка их вполне очевидна и в познавательном плане интересна и полезна. Во-вторых, модели распространения загрязнений окружающей среды требуют использования весьма сложного математического аппарата, да и сами еще не вполне устоялись. Проблемы охраны окружающей среды чрезвычайно важны, но их обсуждение выходит за пределы нашего курса. Однако, для того, чтобы дать представление о задачах, стоящих перед современными исследователями в этой области, в следующем параграфе приведено описание одной из глобальных моделей, пытающихся выяснить пути взаимодействия экосистемы планеты с индустриальной и экономической системами современного общества.

Остановимся на некоторых понятиях, которые будут встречаться в этой главе. Под особью понимается отдельный индивидуум, отдельный организм. Популяция -это совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию. И, наконец, сообщество - это совокупность совместно сосуществующих популяций.

Вклассической экологии рассматриваются взаимодействия нескольких типов:

•взаимодействие организма и окружающей среды;

•взаимодействие особей внутри популяции;

•взаимодействие между особями разных видов (между популяциями). Математические модели в экологии используются практически с момента возникновения этой науки. И, хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ. Кажется удивительным, что люди, занимающиеся живой природой, воссоздают ее в искусственной математической форме, но есть веские причины, которые стимулируют эти занятия. Вот некоторые цели создания математических моделей в классической экологии.

1.Модели помогают выделить суть или объединить и выразить с помощью нескольких параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.

2.Модели выступают в качестве «общего языка», с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление, и относительные свойства таких явлений становятся более понятными.

3.Модель может служить образцом «идеального объекта» или идеализированного поведения, при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы.

4.Модели действительно могут пролить свет на реальный мир, несовершенными имитациями которого они являются.

При построении моделей в математической экологии используется опыт математического моделирования механических и физических систем, однако с учетом специфических особенностей биологических систем:

•сложности внутреннего строения каждой особи;

•зависимости условий жизнедеятельности организмов от многих факторов внешней среды;

•незамкнутости экологических систем;

639

• огромного диапазона внешних характеристик, при которых сохраняется жизнеспособность систем.

Привлечение компьютеров существенно раздвинуло границы моделирования экологических процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных математических моделей, не допускающих аналитического исследования, с другой - возникли принципиально новые направления, и прежде всего - имитационное моделирование.

4.2. МОДЕЛИ ВНУТРИВИДОВОЙ КОНКУРЕНЦИИ

Рассмотрим простейшую из указанных моделей для вида с дискретными периодами размножения, в которой численность популяции в момент времени t равна N, и изменяется во времени пропорционально величине основной чистой скорости воспроизводства R. Такими видами являются, например, большая часть растений, некоторые виды насекомых, у которых разные поколения четко разнесены во времени. Коэффициент R характеризует количество особей, которое воспроизводится в расчете на одну существующую, а также выживание уже существующих. Данная модель может быть выражена уравнением

(7.60)

решение которого имеет вид

(7.61)

где N0- начальная численность популяции. Эта модель, однако, описывает популяцию, в которой отсутствует конкуренция и в которой R является константой; если R>1, то численность популяции будет бесконечно увеличиваться. В реальности в какой-то момент начинают работать механизмы сдерживания роста популяции. В литературе приводится немало интересных примеров быстрого роста численности популяций, если бы для их размножения существовали идеальные условия. Особенно это относится к насекомым, растениям и микроорганизмам, которые могли бы покрыть земной шар толстым слоем, если им создать благоприятные условия для размножения. Но в действительности такого роста популяций, когда их численность увеличивается в геометрической прогрессии, на сколько-нибудь длительных промежутках времени не наблюдается.

Следовательно, в первую очередь необходимо изменить уравнение (7.60) таким образом, чтобы чистая скорость воспроизводства зависела от внутривидовой конкуренции.

Конкуренцию можно определить как использование некоего ресурса (пищи, воды, света, пространства) каким-либо организмом, который тем самым уменьшает доступность этого ресурса для других организмов. Если конкурирующие организмы принадлежат к одному виду, то взаимоотношения между ними называют внутривидовой конкуренцией, если же они относятся к разным видам, то их взаимоотношения называют межвидовой конкуренцией.

Рис. 7.37. К вопросу об ограничении скорости роста популяции

На рис. 7.37 показана простейшая возможная зависимость скорости воспроизводства от численности популяции. Точка А отражает ситуацию, в которой численность популяции близка к нулю, конкуренция при этом практически отсутствует, и фактическую скорость воспроизводства вполне можно описывать параметром R в его первоначальном виде. Следовательно, при низкой плотности популяции уравнение (7.60) вполне справедливо. В преобразованном виде оно выглядит так:

640