
5-Дифур
.pdf
Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде
ψ ( x, y) = C).
y¢y |
|
1 - x2 |
+ 1 = |
0. |
|
|
||||||||
|
1 - y 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y′y |
1 − x2 |
|
= |
− 1, |
|
|
||||||||
|
|
1 − y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dy y |
|
|
1 − x2 |
|
|
= − 1, |
|
|
||||||
dx |
|
|
1 − y 2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
|
dy = − |
|
dx |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 − y 2 |
1 − x2 |
− 1 − y 2 = − arcsin x + C, C = arcsin x −
1 − y 2 .
Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
y′ = |
x + 2 y |
. |
|
||
|
2x − y |
|
|
|
|
1 + 2 |
y |
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
′ |
= |
x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
2 − |
y |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Введем замену |
y |
= |
u Þ y = ux Þ y¢ = u + u¢x. |
|||||||||||||
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u + |
x du = |
1 + 2u |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
2 − u |
|
||||||||
|
x |
du |
= |
1 + u 2 |
, |
|
|
|||||||||
|
dx |
2 − |
|
u |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 − u |
|
du = |
|
|
dx |
, |
|
||||||||
1 + u 2 |
|
|
x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
æ |
2 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
ö |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||
ò ç |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ du |
= ò |
|
|
x |
, |
|||||||||||
1 + u |
2 |
1 + u |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2arctgu − |
1 ln |
|
1 + u 2 |
|
= ln |
|
x |
|
+ ln C, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2arctg |
|
|
− |
1 |
ln |
1 |
+ |
= ln |
|
x |
|
+ ln C. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
2 |
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
y′ = |
x + 2 y − 3 |
. |
|
||
|
4x − y − 3 |
ì |
x= |
x1 + |
k |
, |
í |
y= |
y1 + |
n |
|
î |
|
y′ |
= |
x1 + 2 y1 + k + 2n − 3 |
|
|
|||
1 |
|
4x1 − y1 + 4k − n − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
k+ |
|
2h- |
3= |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
í |
|
4k- h- |
3= |
|
|
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Пусть ì |
|
k= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
í |
|
h= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
î |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y′ |
= |
|
x1 + |
|
2 y1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
4x1 − y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + 2 |
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y′ |
= |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
4 − |
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Введем замену |
|
|
|
y1 |
|
|
= u Þ |
|
y1 = ux1 |
Þ |
|
|
|
|
|
y1¢ |
= u + u¢x1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u + u¢x = 1 + 2u |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
- u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
u¢x |
= |
|
1 - 2u + u |
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 - u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
du |
x |
= |
|
(1 - u)2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
4 - |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
4 - u |
du = |
|
|
|
|
dx1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
(u - 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
æ |
|
|
|
1 - |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
dx |
|
|||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ du = |
|
|
1 |
, |
|||||||||||||||||
u 2 |
- 2u + |
1 |
|
|
(u - 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
2 ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
- 1 ln |
|
u 2 - 2u + 1 |
|
- |
|
|
|
3 |
|
|
= ln |
|
x |
|
+ C, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
- 1 ln |
|
(u - 1) 2 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
= ln |
|
x |
|
+ C, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u - 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
æ |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
- |
|
|
ln |
|
ç |
|
|
1 |
- 1÷ |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= ln |
x |
|
+ C, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
ç |
|
x |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
- |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
1 |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
- |
1 |
ln |
|
( y - x) 2 |
|
|
- |
|
|
|
x - 1 |
= ln |
|
x - 1 |
|
+ C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
(x - 1) 2 |
|
|
|
|
|
y - |
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Найти решение задачи Коши.
y′ − y cos x = 12 sin 2x, y(0) = 0.

y′ + P(x) y = f (x) ,
Пусть y = uv.
Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v , находим
v= |
|
e− |
òP(x)dx |
= |
|
|
e−ò |
cosxdx=e−sinx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u= |
|
12òsine−sin2xxdx= |
|
12òesinxsin2xdx= |
|
|
òesinxsinxcosxdx= |
|
sincosxxdx=t=dt |
|
= òetdt= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
u= |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
dvdu |
== |
edttdt |
=tet− |
òetdt=tet−et+ |
C= |
sinxesinx−esinx+ |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
v= |
et |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = e− sin x (sin xesin x |
|
- esin x |
+ C), |
|||||||||||||||||||||||||
|
y(0) = 0 Þ 0 = 1× (0 × 1 - 1 + C) Þ C = 1. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
y = e− sin x (sin xesin x |
|
- esin x |
+ 1). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Задача 5. Решить задачу Коши. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
y 2 dx + (xy − 1)dy = 0, y |
|x= 1 |
= e. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
dx |
|
+ ( xy − 1) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
+ |
|
x |
− |
|
1 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
y |
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пусть x = |
|
uv. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dx |
= u¢v + uv¢, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
u¢v + uv¢ + uv - |
|
|
1 |
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
æ |
|
|
|
|
v |
ö |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
uç v¢ + |
|
|
|
|
÷ |
+ u¢v |
- |
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
y |
÷ |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v , находим 1) v′ + vy = 0, dydv = − vy ,

dv = - |
|
dy |
, ln v = - ln y Þ v = |
1 |
. |
|||||
|
|
y |
|
|||||||
v |
|
|
|
|
|
y |
||||
2) u¢v - |
1 |
|
= 0, |
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
u¢ |
1 |
|
= |
|
|
1 |
, |
|
|
|
y |
|
y 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
du = |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|||||
dy |
|
|
|
|
|
|
||||
du = |
dy , |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
u = ln y + C,
x = 1y (ln y + C) -общее решение ДУ. y|x= 1 = e Þ C = e - 1;
x = 1y (ln y + e - 1) -частное решение ДУ.
Задача 6. Найти решение задачи Коши.
3(xy′ + y) = y 2 ln x, y(1) = 3.
y¢ + |
y |
= |
y2 ln x |
. |
|
x |
3x |
||||
|
|
|
y = uv, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
u′v + uv′ + uv |
= |
|
u 2 v2 ln x . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3x |
|
1) Пусть |
v¢ + |
|
v |
|
= |
0, |
|
||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dv |
= |
- |
v |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dx |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dv |
= |
- |
dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
v |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|||
ln v = - ln x Þ v = |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2) u |
¢v = |
u 2 v2 ln x |
, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
du |
|
× |
|
1 |
= |
|
u 2 |
|
ln x |
, |
|
||||||
dx |
|
|
x |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
du |
|
= |
|
ln x |
dx, |
|
|
|
|
|
|||||||
u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
- 1 |
|
= - ln x - 1 |
+ C, |
||||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
||||
u = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||
|
|
ln x - 1 - Cx |
|
|
|||||||||||||
y = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
ln x - 1 - Cx |
|
|

y(1) = 3 Þ C = - 2 / 3.
y = |
3 |
. |
3 ln x + 2x − 3 |
Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
( y 2 |
+ |
|
y sec2 |
x)dx + (2xy + tgx)dy = 0. |
||||||||
P(x, y) = |
y 2 |
+ |
y sec2 x, |
|
|
|||||||
Q(x, y) = |
2xy + tgx, |
|
|
|||||||||
∂ P |
= |
2 y + sec 2 x = 2 y + |
1 |
|
||||||||
∂ y |
cos 2 x, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂ Q |
= |
|
2 y + |
|
|
1 |
|
, |
|
|
||
∂ x |
cos 2 |
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂ P |
= |
|
∂ Q |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ y |
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x, y) = ò (2xy + tgx)dy = xy 2 + ytgx + ϕ (x),
∂ U |
= y 2 |
+ y sec 2 x = y 2 + y sec 2 x + ϕ ′(x). |
|
∂ x |
|||
|
|
ϕ ′( x) = 0,
ϕ ( x) = C.
u( x, y) = xy 2 + ytgx = C.
Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку.
y′ = xy, M (0,1).
y′ = k = const Þ k = xy,
y = kx , т.е. гипербола.

Задача 9. Найти линию, проходящую через точку M 0 , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Oy делится на точке пересечения с осью абсцисс в отношении a : b (считая от оси Oy ).
M 0 (1,2), a : b = 2 : 1.
y − y0 = y′(x − x0 ) − уравнение касательной.
( y; x) -координаты произвольной точки, принадлежащие касательной. По условию
BMAB = 12 ,
AOB и BCM подобны.
AB |
|
= |
OB |
, |
|
|
||
BM |
|
BC |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
xB |
= |
2 |
Þ xB = 2x - 2xB Þ x B = |
2 |
x(1). |
|||
x - |
xB |
1 |
3 |
|||||
|
|
|
Точка B( xB ;0) принадлежит касательной, поэтому подставим координаты координаты точки B( xB ;0) в
уравнение касательной.
|
y = |
y¢(x - xB ), xB = |
x - |
y |
(2). |
|||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y¢ |
|
Подставим (1) в (2). |
|
|
|
|||||||||
|
2 x = |
x - |
y |
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
y¢ |
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
= |
1 x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dy |
= 3 dx |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln y = 3ln x + ln C Þ y = x3C. |
||||||||||||
M 0 |
(1,2) Þ 1 = 2 |
3 C Þ |
C = 1 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
||
Отсюда, y |
æ |
x ö |
3 |
|
|
|
||||||
= ç |
|
÷ |
- уравнение искомой линии. |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
2 ø |
|
|
|
|
Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.
y′′′ctg2x + 2 y′′ = 0.
|
ì |
y′′ |
= |
|
|
z(x), |
|
|
|
|||||||
Замена: í |
y¢¢¢ |
= |
|
z¢(x). |
|
|
|
|||||||||
|
î |
|
|
|
|
|||||||||||
z′ctg2x + 2z = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z¢ + 2 |
z |
|
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
||||||
ctg2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Предположим, что z = |
|
uv. |
||||||||||||||
u¢v + uv¢ |
+ 2 |
|
|
uv |
|
|
= |
0, |
||||||||
ctg 2x |
|
|||||||||||||||
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
ö |
|
|||
u¢v + uç v¢ + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
= 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||
|
è |
|
|
|
|
|
ctg2x ø |
|
||||||||
Пусть v′ + |
2 |
|
|
|
v |
|
|
= |
0. |
|||||||
ctg2x |
|
|||||||||||||||
dv |
= - 2 |
|
|
v |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
dx |
|
ctg 2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dv |
= - 2 |
|
|
dx |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
v |
|
ctg 2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ln v = ln cos 2x Þ |
v = cos 2x. |
|||||||||||||||
u¢v = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dudv cos 2x = 0, u = C1 ,
z = C1 cos 2x.
y¢ = |
ò |
C cos 2xdx = |
1 C sin 2x + C . |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
ò |
æ |
1 |
C1 sin 2x + |
C2 |
ö |
1 |
C1 cos 2x + C2 x + C3 . |
ç |
2 |
÷ dx = - |
4 |
|||||
|
|
è |
|
|
ø |
|
Задача 11. Найти решение задачи Коши. y′′ = 72 y3 , y(2) = 1, y′(2) = 6.
|
|
|
ì |
y′ |
= |
z(y), |
Замена: í |
y¢¢ |
= |
z¢(y)× z(y). |
|||
|
|
|
î |
|||
|
z¢ z = 72 y 3 , |
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
¶z |
|
z = 72 y 3 , |
|||
|
¶y |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
ò z¶z = 72ò y 3 ¶y, |
|||||
1 z2 |
= 18 y4 |
+ |
C , |
|||
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
z2 = |
36 y4 + |
2C |
||||
|
|
|
|
|
|
1. |
z2 = ( y¢)2 Þ ( y¢)2 = 36 y4 + 2C1 . 36 = 36 + 2C1 Þ C1 = 0.

y′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
36 y 4 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y′ = |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= 36 y 4 , |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dy |
|
= |
ò dx, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
6 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ò |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x + C2 , |
|
|
|
||||||||
− |
|
6 y |
= |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
y = − |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
6( x + C2 ) |
|
|
|
|||||||||||||||
x = 2, y = 1, 1 = - |
|
1 |
|
Þ C2 |
= - |
13 . |
||||||||||||||
6(2 |
+ C2 ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||||
y = |
- |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6x - 13 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения. y′′′ + 3 y′′ + 2 y′ = 1 − x 2 .
yОН = yОО + yЧН .
λ 3 + 3λ 2 + 2λ = 0 -характеристическое уравнение.
λ 1 = 0, λ 2 = - 1, λ 3 = - 2,
yОО = C1 + C2 + C3 e− x -общее решение однородного уравнения.
yЧН = ( Ax2 + Bx + C)x, |
|
|
|
||||||||||
yЧН |
= Ax3 + Bx2 + Cx, |
|
|
|
|
||||||||
y′ = 3Ax3 + Bx2 + C, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
y′′ = |
6 Ax + |
2B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y′′′ = |
6 A, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 Ax2 + 4Bx + 2C + 18Ax + 6B + 6 A = 1 − x2 , |
|||||||||||||
6 Ax2 + x(18A + 4B) + 6 A + 6B + 2C = 1 − x2 . |
|||||||||||||
6 A = - 1 Þ A = - |
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
18A + 4B = 0 Þ B = |
|
, |
|
|
|
||||||||
13 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 A + 6B + 2C = 1 Þ C = - 3. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
æ |
1 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
ö |
Отсюда yЧН |
= xç - |
|
x |
|
|
+ |
|
x - |
3÷ - частное решение неоднородного уравнения. |
||||
6 |
|
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
||
Общее решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
OН |
= C + C |
e− x |
+ C |
e− 2 x - 1 x3 + 4 x2 - 3x. |
||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения. y′′′ − 4 y′′ + 5 y′ − 2 y = (16 − 12x)e− x .
yОН = yОО + yЧН .
λ 3 − 4λ 2 + 5λ = 0 -характеристическое уравнение.
λ 1 = 2, λ 2,3 = 1,
yОО = C1e2 x + (C2 + C3 x)ex -общее решение однородного уравнения.
yЧН = ( Ax + B) x2 e− x ,
yЧН = ( Ax3 + Bx2 )e− x ,
y′ = (− Ax3 − Bx2 + 3Ax2 + 2Bx)e− x ,
y′′ = ( Ax3 + Bx2 − 6 Ax2 − 4Bx + 6 Ax + 2B)e− x ,
y′′′ = (− Ax3 − Bx2 + 9 Ax2 + 6Bx − 18 Ax − 6B + 2B)e− x ,
− 10 Ax3 + x2 (48 A − 10B) + x(34B − 42 A) + 6 A − 14B = 16 − 12x.
- 42 A + 34B = - 12 Þ A = |
|
7 |
, |
|
|
|
|||||||||||||
16 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
6 A - 14B = 0 Þ B = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда yЧН = |
|
1 |
(7 x3 |
+ 3x2 )e− x - частное решение неоднородного уравнения. |
|||||||||||||||
16 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Общее решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
OН |
= C e2 x |
+ (C |
2 |
+ C |
3 |
x)ex + |
1 |
(7x3 |
+ 3x2 )e− x . |
|||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.
y′′ + y = 2 cos 7x + 3sin 7x.
yОН |
= yОО + yЧН . |
|
λ 2 + |
λ |
= 0 -характеристическое уравнение. |
λ 1 = |
0, λ 2 = − 1, |
|
yОО = |
C1 + C2 e− x -общее решение однородного уравнения. |
|
yЧН |
= |
Acos 7x + B sin 7x, |
y′ = |
− 7 Asin 7x + 7B cos 7 x, |
|
y′′ = |
− 49 A cos 7x − 49B sin 7x, |
− 49 Acos 7x − 49B sin 7x − 7 Asin 7x + 7B cos 7 x = 2 cos 7x + 3sin 7 x, (7B − 49 A) cos 7x + (− 7 A − 49B) sin 7x = 2 cos 7x + 3sin 7x.
ì |
7B- |
49A= 2, |
||||
í |
- 7A- |
49B = 3 |
||||
î |
||||||
ì |
A= |
- |
17 |
, |
|
|
ï |
|
|
||||
350 |
||||||
í |
|
|
. |
|||
ï |
B = |
- |
133 |
|
||
ï |
2450 |
|
||||
î |
|
|
|

Отсюда yЧН = − 35017 cos 7x − 2450133 sin 7x - частное решение неоднородного уравнения.
Общее решение
yOН = C1 + C2 e− x − 35017 cos 7x − 2450133 sin 7x.
Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения. y′′ + y = 2 sin x − 6 cos x + 2e x .
yОН = yОО + yЧН .
λ 2 + λ = 0 -характеристическое уравнение.
λ 1 |
= |
0, λ 2 |
= − 1, |
|
|||||
yОО = |
C1 + C2 e− x -общее решение однородного уравнения. |
||||||||
yЧН |
= |
Acos x + B sin x + Сe x , |
|||||||
y′ = |
− Asin x + |
|
B cos x + Ce x , |
||||||
y′′ = |
− Acos x − |
B sin x + |
Ce x , |
||||||
− |
|
Acos x − B sin x + Ce x |
+ Acos x + B sin x + Ce x = 2 sin x − 6 cos x + 2e x , |
||||||
2Ce x = 2 sin x − 6 cos x + 2e x . |
|||||||||
2C = |
2 Þ |
C = 1. |
|
||||||
Отсюда yЧН = ex - частное решение неоднородного уравнения. |
|||||||||
Общее решение |
|
|
|
||||||
y |
OН |
= C + C |
2 |
e− x + ex . |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Задача 16. Найти решение задачи Коши. |
|||||||||
y′′ + |
4 y = |
4ctg2x, y(π / 4) = 3, y′(π / 4) = 2. |
|||||||
yОН |
= yОО + yЧН . |
|
|||||||
λ 2 |
+ |
4λ |
= |
0 -характеристическое уравнение. |
|||||
λ 1 |
= |
0, λ 2 |
= − 4, |
|
|||||
yОО |
= C1 + C2 e− 4 x -общее решение однородного уравнения. |
ì |
u′ |
y1 + |
|
í |
u¢ |
y1¢ + |
|
î |
|||
ì |
u |
¢ |
×1+ |
ï |
|
||
í |
|
¢ |
|
ï |
u |
× 0+ |
|
î |
|
v′ |
y2 |
= |
0, |
, |
||
¢ |
¢ |
|
|
|
||
= |
f(x) |
|||||
v |
y2 |
|||||
v¢e− |
4x |
= |
|
0, |
||
v¢(- |
4e− |
4x) = 4ctg2x. |