№15.2
.docxБилет №15 Сеточные методы на примере решения уравнения теплопроводности
1. Введение
Эта работа знакомит с численными методами решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере одномерного линейного уравнения теплопроводности. Рассматривается следующая краевая задача:
2. Теоретическая справка
2.1. Дифференциальная краевая задача
Как уже было отмечено, в работе рассматривается задача:
2.2. Сеточная область
Для рассмотренной задачи
p = 0,
1, ..., P, m = 0,
1, …, M,
p = 0,
1, ..., P, m = 0,
1, …, M,
где 
—
компонента сеточной функции, относящаяся
к узлу 
—
шаг по времени, 
h —
шаг по координате, 
2.3. Пример разностной задачи (разностной схемы)
Для рассмотренной дифференциальной задачи одна из возможных разностных схем имеет следующий вид:
p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;
m = 0,
1, …, M;
(11.1a)
p = 1,
2, …, P;
p = 1,
2, …, P.
2.4. Шаблон разностной схемы
Рассмотренная
разностная схема при заданных m и p связывает
значения решения в четырех точках сетки,
которые образуют конфигурацию,
называемую шаблоном схемы.
2.5. Спектральный признак устойчивости
Для широкого класса эволюционных (зависящих от времени) задач исследование устойчивости можно осуществить с помощью спектрального признака, который в случае разностной задачи с постоянными коэффициентами, состоит в следующем.
Заменяем
правую часть разностного уравнения в
(11.1a)
нулем, краевую задачу — задачей Коши,
функцию 
—
гармоникой 
и
ищем решение в виде
(для
задач с одной пространственной
переменной), —
произвольное число, 
Для
устойчивости разностной схемы необходимо,
чтобы спектр 
лежал
в круге 
где c не
зависит от .
Подставляя 
в
рассмотренное разностное уравнение,
получим:
или
Разностная
схема устойчива, если выполнено
неравенство 
т. е.
когда , h выбраны
так, что 
2.6. Шеститочечная параметрическая схема
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;
m = 0,
1, …, M;
p = 1,
2, …, P;
p = 1,
2, …, P.
где 
—
параметр схемы.
= 0 — явная четырехточечная схема;
= 1 — неявная четырехточечная схема;
= 1/2 — схема Кранка–Николсона.
Метод решения полученной системы линейных уравнений с матрицей трехдиагональной структуры — прогонка.
Порядок аппроксимации:
= 1/2: 
= 0; 1: 
= 1/6: 
Введем обозначения
Схема
устойчива при любых К,
если 1/2;
при 
схема
устойчива, если
2.7. Схема Франкела–Дюфорта
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;
m = 0,
1, …, M;
p = 1,
2, …, P;
p = 1,
2, …, P.
Значения функции на втором слое по времени рассчитываются по явной центральной четырехточечной схеме. Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на двух предыдущих нижних слоях: p и p – 1.
Порядок
аппроксимации: 
Cхема
устойчива при любых 
2.8. Схема Ричардсона
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 1, 2, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;
m = 0,
1, …, M;
p = 1,
2, …, P;
p = 1,
2, …, P.
Значения сеточной функции на втором слое по времени рассчитываются по явной центральной четырехточечной схеме. Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на двух предыдущих нижних слоях p и p – 1.
Порядок
аппроксимации: 
Cхема неустойчива при любых K.
2.9. Явная центральная четырехточечная схема
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;
m = 0,
1, …, M;
p = 1,
2, …, P;
p = 1,
2, …, P.
Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p.
Порядок
аппроксимации: 
Cхема
устойчива при 
2.10. Схема Алена–Чена
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 0, 1, …, P – 1; m = 1, 2, …, M – 1;
m = 0,
1, …, M;
p = 1,
2, …, P;
p = 1,
2, …, P.
Значения
сеточной функции на верхнем временном
слое находятся по ее значениям на нижнем
слое, поскольку разностное уравнение
разрешается относительно 
Порядок
аппроксимации: 
Схема устойчива при любых K.
2.11. Нецентральная явная схема
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 0, 1, …, P – 1; m = 2, 3, …, M;
m = 0,
1, …, M;
p = 1,
2, …, P;
p = 1,
2, …, P.
Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p (значения сеточной функции в точках {m = 1; p = 1, 2, …, P} рассчитываются по шеститочечной параметрической схеме при = 1).
Порядок
аппроксимации:
О(
).
Схема неустойчива при любых K.
2.12. Схема Саульева
Сеточный шаблон:
Разностная схема:
p = 0, 1, …, P – 2; m = 1, 2, …, M – 1;
начальные и граничные условия в такой схеме реализуют следующим образом:
m = 0,
1, …, M;
p = 1,
2, …, P;
p = 1,
2, …, P.
Алгоритм численного решения задачи — «бегущий счет»: слева направо — первый этап, справа налево — второй.
Порядок
аппроксимации: 
Схема устойчива при любых K.