- •Сверху вниз: упругое тело, левая отсеченная часть, правая отсеченная часть Рис.1. Метод сечений.
- •Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии
- •Эпюры внутренних усилий при кручении
- •Дифференциальные зависимости между внутренними усилиями при изгибе
- •Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений
- •Тензор деформации
- •Потенциальная энергия упругой деформации
- •Механические состояния деформируемых тел
- •Диаграммы упруго-пластического деформирования конструкционных материалов
- •Постановка задач теории надежности
- •Расчетные нагрузки, коэффициенты запаса
- •Расчеты по допускаемым нагрузкам и по допускаемым напряжениям
- •Напряжения при растяжении (сжатии) призматических стержней. Расчет на прочность
- •Понятие о концентрации напряжений, принцип сен-венана
- •Определение деформаций и перемещений
- •Напряженное состояние при растяжении (сжатии)
- •Применение к статически определимым системам.
- •Расчет статически неопределимых систем по способу допускаемых нагрузок.
- •Подбор сечений с учетом собственного веса (при растяжении и сжатии).
- •Деформации при действии собственного веса.
- •Вычисление моментов инерции и моментов сопротивления для простейших сечений.
- •Общий способ вычисления моментов инерции сложных сечений.
- •Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.
- •Рациональные формы поперечных сечений при изгибе
- •Понятие о составных балках
- •Б) а) несвязанная конструкция, б) связанная сварная конструкция Рис.1. Расчетные схемы составных балок:
- •Дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня
- •Расчет валов
- •Понятие о сдвиге. Расчет заклепок на перерезывание.
- •А) расчетная схема, б) действующие усилия Рис.2. Соединение с накладками:
- •90 120 С двумя накладками.
- •А) расчетная схема б) линейное и нелинейное сопротивления Рис.1. Модели изгиба балки:
- •Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.
- •Внецентренное сжатие или растяжение.
- •Примем следующий порядок расчета.
- •3. Строится эпюра крутящего момента Мz.
- •Подбор сечений балок равного сопротивления.
- •Определение деформаций балок переменного сечения.
- •Общие понятия.
- •Расчет бесконечно длинной балки на упругом основании, загруженной одной силой р.
- •Постановка задачи.
- •Вычисление потенциальной энергии.
- •Расчетная модель к теореме Кастильяно.
- •Примеры приложения теоремы Кастильяно.
- •Теорема Максвелла—Мора.
- •Метод Верещагина.
- •А) расчетная схема б)грузовая эпюра в)фиктивное состояние г) эпюра моментов от единичного момента Рис.4. Иллюстрация метода Верещагина:
- •Общие понятия и метод расчета.
- •Способ сравнения деформаций.
- •А) исходная модель, б) фиктивная модель нагружения, в) грузовая эпюра моментов, г) эпюра моментов от реакции в, д) единичная эпюра моментов Рис.2. Решение методом Мора и Верещагина
- •Выбор лишней неизвестной и основной системы.
- •Общий план решения статически неопределимой задачи.
- •Определение деформаций статически неопределимых балок.
- •Связи, накладываемые на систему. Степень статической неопределимости.
- •А) плоская, б) плоскопространственная. В) пространственная Рис.2. Расчетные схемы рамных конструкций:
- •А)внешняя связь, б) две внешние связи в) шесть внешних связей в общем случае Рис.3. Схемы эквивалентных связей
- •А) три внешних связи, б) пять внешних связей Рис.4. Плоская рама
- •А) кинематически неизменяемая, б) неопределимая внутренним образом, в)со снятием дополнительных связей Рис.5. Классификационные признаки рам:
- •А) статически неопределимая — семь, б) — три, в) — четыре, г) — три, е) — двенадцать, ж) — семь, д) — три, и) — тринадцать раз статически неопределима Рис.6. Примеры рамных конструкций:
- •А) , б) и Рис.5. Интерпретация коэффициентов уравнений метода сил:
- •Напряжения в сферических толстостенных сосудах.
- •Диск равного сопротивления.
- •Формула Эйлера для определения критической силы.
- •Влияние способа закрепления концов стержня.
- •Проверка сжатых стержней на устойчивость.
- •Основные характеристики цикла и предел усталости
- •А) растяжение, б) изгиб, в) контактные напряжения Рис.1. Очаги концентрации местных напряжений:
- •Влияние состояния поверхности и размеров детали на усталостную прочность
- •Коэффициент запаса усталостной прочности и его определение
- •Постановка задачи. Явление Резонанса.
- •Влияние резонанса на величину напряжений.
- •Вычисление напряжений при колебаниях.
- •Учет массы упругой системы при колебаниях.
- •Основные положения
- •Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе.
- •А) двухопорная балка, б) консольная Рис.2. Модели удара:
Учет массы упругой системы при колебаниях.
Если колеблющаяся система, несущая груз Q, обладает довольно значительной распределенной массой (число степеней свободы, следовательно, велико), то упрощенные расчеты, будут иметь уже значительную погрешность. В этом случае дифференциальные уравнения движения составляются с учетом массы системы. При решении подобного рода задач удобнее исходить не из условий равновесия, а из закона сохранения энергии.
Полагая, что количество энергии, сообщенное системе при выведении ее из положения равновесия и представляющее собой сумму кинетической и потенциальной энергии груза и упругой системы, при свободных колебаниях остается постоянным, получаем уравнение
(4) |
Это уравнение показывает, что при колебаниях происходит непрерывный процесс преобразования энергии из одного вида в другой, не сопровождающийся какими-либо потерями энергии. Когда упругая система достигает одного из крайних положений, в котором скорость колебательного движения равна нулю, а следовательно, равна нулю и кинетическая энергия (T=0), потенциальная энергия груза и системы достигает наибольшего значения ; наоборот, в положении равновесия и .
Заметим, что принцип, положенный в основу этого уравнения, применим лишь для систем с одной степенью свободы, так как закон сохранения энергии не учитывает обмена энергии, происходящего в системах с несколькими степенями свободы. Таким образом, решение задачи о колебаниях системы с большим числом степеней свободы здесь сводится к простейшей задаче и мы сможем приближенно найти лишь одну (первую) частоту свободных колебаний.
Рассмотрим теперь некоторые примеры использования исходного уравнения.
В качестве первого примера исследуем колебания груза Q, подвешенного к нижнему концу призматического стержня длиной l, площадью поперечного сечения F и удельным весом (Рис. 4). Выведенный из положения равновесия и затем предоставленный самому себе груз начнет совершать продольные колебания около положения равновесия. Составим выражения для U и Т колеблющейся системы: груз — стержень.
Рис.4. Расчетная схема колебаний подвешенного груза
Потенциальная энергия системы по сравнению с положением равновесия изменится на , где — потенциальная энергия системы в начальный момент (в положении равновесия), a — в момент t.
Потенциальную энергию груза Q в начальный момент обозначим через ; потенциальная энергия стержня в тот же момент равна , где — статическая деформация стержня от груза Q.
Таким образом,
В момент t, когда груз переместится на расстояние х и стержень получит такую же дополнительную деформацию х, потенциальная энергия груза уменьшится на Qx, а сила упругого сопротивления стержня и статическая деформация его увеличатся в отношении . Поэтому
(5) |
Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии груза и стержня . Кинетическая энергия груза . При вычислении кинетической энергии стержня учтем, что в некоторый момент t скорость груза и нижнего конца стержня равна х', а верхнего — нулю. Скорости промежуточных сечений будут иметь значения, заключающиеся между этими двумя.
Предположим, что при колебаниях перемещения всех сечений стержня по отношению к закрепленному концу меняются по тому же закону, что и при статическом растяжении, т. е. пропорционально расстоянию от закрепленного сечения. Таким образом, если нижнее сечение стержня переместилось на величину х, то сечение, отстоящее от места защемления на , переместится на величину , скорость этого сечения будет равна . Живая сила элемента стержня длиной , отстоящего на от закрепленного конца, будет равна:
Кинетическая энергия всего стержня будет равна сумме величин , т.е.
Таким образом, живая сила стержня равна живой силе груза, имеющего массу , т. е. равную трети массы стержня, и двигающегося с той же скоростью х', что и груз Q. Полная же кинетическая энергия системы груз — стержень будет:
Подставляя Т и выражение U (4) в уравнение (5), дифференцируем последнее по t и находим:
или
Здесь — статическая деформация от груза . Полученное дифференциальное уравнение движения с учетом массы колеблющегося стержня отличается от полученного ранее уравнения только величиной множителя при х и полностью совпадает с ним, если пренебречь массой стержня. Поэтому поправка на массу стержня, которую нужно ввести в предыдущие расчеты, состоит в том, что при определении частоты свободных колебаний стержня статическая деформация его вычисляется не от груза Q, но от груза Q, сложенного с одной третью веса стержня. Таким образом, учет массы колеблющегося стержня уменьшает частоту свободных колебаний и увеличивает их период. Величину называют приведенной массой стержня.
Лекция № 49. Расчет динамического коэффициента при ударной нагрузке.