Архив1 / doc200 / VM_3

Лабораторная работа №3

Минимизация функции многих переменных методом градиента с дроблением шага.

Выполнил студент группы ПВ-22

Воробьев Роман

Вариант № 3

f(x,y)=x² + y² + xy – 3x -6y

1) Найти точное решение задачи, используя необходимые и достаточные условия локального минимума.

2) Выполнить один шаг метода градиента с дроблением шага, начиная с произвольного выбранного начального приближения.

3) Записать ответ: (x; y) — приближенные координаты точки локального минимума; f_min = f(x; y) — приближенное минимальное значение; — точность результата; m — количество выполненных итераций.

4) Выполнить задание Л.Р. №2 методом градиента с дроблением шага.

1. Составить программу вычисления координат точки локального минимума и минимального значения функции двух переменных.

Программа должна использовать логическую функцию, описанную в модуле, с побочным эффектом для нахождения локального минимума функции двух переменных.

Входными данными для этой логической функции являются: минимизируемая функция; ее градиент; начальное приближение к точке локального минимума; точность; ограничение n на число итераций; параметры .

Спецификация подпрограммы met_grad:

1. Заголовок: bool met_grad (double (*f)(double,double), double(**grad)(double,double), point *m0, double E, int n, double a, double b, double g,double *result)

2. Назначение: Функция возвращает значение «истина», если приближенное решение минимизируемой функции f(x) с ее градиентом grad, параметрами a, b, g, и начальным приближением к точке локального минимума m0(х₀,у₀) получено за число итераций, не превышающее n, с точностью E. Значение координат точки локального минимума записывается в m0(x,y), а значение функции f(x) в этой точке в result. Иначе, функция возвращает значение «ложь».

3. Входные параметры: f, grad, m0, E, n, a, b, g;

4. Выходные параметры: result;

#ifndef GRAD_H_INCLUDED

#define GRAD_H_INCLUDED

typedef struct point

{

double x,y;

};

/*==Метод градинта 1-способ==*/

bool met_grad (double (*f)(double,double), double(**grad)(double,double), point *m0, double E, int n, double a, double b, double g,double *result)

{

int i=0,step=0;

point gra,m1;

double F0,F1,d,T1,T2;

gra.x=grad[0]((*m0).x,(*m0).y);

gra.y=grad[1]((*m0).x,(*m0).y);

F0=f((*m0).x,(*m0).y);

do

{

d=a*pow(g,i);

T1=f((*m0).x-d*gra.x,(*m0).y-d*gra.y);

T2=(-d*b*(pow(gra.x,2)+pow(gra.y,2)));

//printf("i=%i step=%i\nT=%lf <= T2=%lf\n m0.x=%lf m0.y=%lf\n m1.x=%lf m1.y=%lf alp=%lf\n",i,step,T1,T2,(*m0).x,(*m0).y,(*m0).x-a*gra.x,(*m0).y-a*gra.y,a);

if ((T1-F0)<=(T2))

{ a=d;

m1.x=(*m0).x-a*gra.x;

m1.y=(*m0).y-a*gra.y;

F1=f(m1.x,m1.y);

gra.x=grad[0](m1.x,m1.y);

gra.y=grad[1](m1.x,m1.y);

//printf("\F1-F0=%lf (gra.x^2+gra.y^2)^0.5=%lf\n",F1-F0,(sqrt(pow(gra.x,2)+pow(gra.y,2))));

if (((F1-F0)<E)&&(sqrt(pow(gra.x,2)+pow(gra.y,2))<E))

break;

else

{

F0=F1;

(*m0).x=m1.x;

(*m0).y=m1.y;

a=d;

i=0;

step++;

}

}

else

i++;

}

while ((i<n)&&(step<n));

(*m0).x=m1.x;

(*m0).y=m1.y;

*result=f((*m0).x,(*m0).y);

return (step<n)&&(i<n);

}

/*==Ввод данных==*/

bool input_data(point *m0, double *e, int *n,double *alpha,double *beta,double *gamma)

{

printf("Enter initial данные:начальное M approach (х0, у0), accuracy е, a quantity of iterations n\n");

printf("x0=");

scanf("%lf",&(*m0).x);

printf("y0=");

scanf("%lf",&(*m0).y);

printf("E=");

scanf("%lf",e);

printf("n=");

scanf("%i",n);

printf("alpha=");

scanf("%lf",alpha);

printf("beta=");

scanf("%lf",beta);

printf("gamma=");

scanf("%lf",gamma);

if (*alpha<=0 || *beta <0 || *beta >1 || *gamma <0 || *gamma >1)

{

printf("Inadmissible values!!!\n");

return false;

}

else return true;

}

/*==Метод градинта 2-способ==*/

bool min_grad(double (*f)(double,double),double(**grad)(double,double),point *m0, double e,int n, double alpha0, double beta, double gamma, double *rezult)

{

double t,k,d;

int i=0,j=0;

double f1,f2;

bool F=false;

double alpha=alpha0;

point gra,m1;

gra.x=grad[0]((*m0).x,(*m0).y);

gra.y=grad[1]((*m0).x,(*m0).y);

do

{

j=0;

do

{

d=alpha*pow(gamma,j);

m1.x=(*m0).x-d*gra.x;

m1.y=(*m0).y-d*gra.y;

f1=f(m1.x,m1.y)-f((*m0).x,(*m0).y);

t=pow(gra.x,2)+pow(gra.y,2);

f2=-beta*d*t;

j++;

}

while ((f1>f2)&&(j<=n));

if ((f1<=f2)&&(j<=n))

{

alpha=alpha*pow(gamma,(j-1));

d=alpha*pow(gamma,(j-1));

m1.x=(*m0).x-d*gra.x;

m1.y=(*m0).y-d*gra.y;

t=sqrt(pow(m1.x,2)+pow(m1.y,2));

k=fabs(f(m1.x,m1.y)-f((*m0).x,(*m0).y));

}

else

{

printf("Think over the initial data\n");

return false;

}

if(k<e||t<e)

F=true;

(*m0).x=m1.x;

(*m0).y=m1.y;

gra.x=grad[0](m1.x,m1.y);

gra.y=grad[1](m1.x,m1.y);

++i;

}

while(!F&&i<=n);

if (F)

{

*rezult=f((*m0).x,(*m0).y);

return true;

}

else

{

printf("Think over the initial data\n");

return false;

}

}

#endif // GRAD_H_INCLUDED

Текст основной программы:

// Bbl4MaT3.cpp: главный файл проекта.

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

#include <math.h>

#include "GRAD.h"

using namespace System;

using namespace std;

/*======================1=========*/

double funct (double x, double y) // 0 3 = -9

{

return (x*x+y*y+x*y-3*x-6*y);

}

double dx (double x,double y)

{

return 2*x+y-3;

}

double dy (double x,double y)

{

return 2*y+x-6;

}

int main(array<System::String ^> ^args)

{

double (*grad[2])(double,double)={dx,dy};

double a,b,g,E,result,x0,y0;

point m0;

int n;

if (input_data(&m0,&E,&n,&a,&b,&g))

{

x0=m0.x; y0=m0.y;

if (min_grad(funct,grad,&m0,E,n,a,b,g,&result))

printf("x=%lf, y=%lf result=%lf\n",m0.x,m0.y,result);

else printf("step>max\n");

m0.x=x0; m0.y=y0;

if (met_grad(funct,grad,&m0,E,n,a,b,g,&result))

printf("\n\nx=%lf, y=%lf result=%lf\n",m0.x,m0.y,result);

else printf("step>max\n");

}

system("pause");

return 0; }