Лабораторные работы по курсу

«Численные методы»

Часть 1.

Разделы.

1. Элементы теории погрешности.

Лаб. 1.

2. Численные методы линейно алгебры.

Лаб. 2. Прямые методы решения СЛАУ.

Лаб. 3. Итерационные методы решения СЛАУ.

Лаб. 4. Прямые методы решения проблемы собственных значений.

Лаб. 5. Итерационные методы решения проблемы собственных значений.

3. Решение нелинейных уравнений.

Лаб. 6. Методы решения нелинейных уравнений и задач на поиск экстремума.

4. Теория приближений

Лаб. 7. Интерполирование. Среднеквадратичное приближение.

5. Численное интегрирование

Лаб. 8. Формулы Ньютона-Котеса и Гаусса.

Лабораторная работа №1

Тема: «Элементы теории погрешности».

Задание.

1. Заданы два математических выражения и их приближенное значение.

Определить, какое из выражений вычислено точнее.

2. Задано число с погрешностью.

Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:

а) в узком смысле;

б) в широком смысле.

3. Задано число, все цифры которого верны в узком смысле.

Определить относительную и абсолютную погрешности представления этого числа.

4. Задано математическое выражение и значение входящих в него параметров (с погрешностью).

Требуется:

а) вычислить и оценить погрешности результата, результат округлить, оставив верные знаки в узком смысле;

б) используя принцип равного влияния, решить обратную задачу, определив необходимую точность задания параметров выражения, чтобы общий результат был получен с точностью не менее 1%.

Лабораторная работа №2.

Тема: «Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений»

Задание.

1. Решить заданную систему линейных алгебраических уравнений методом LU разложения с выбором главного элемента по столбцу.

2. Для полученного решения определить невязку и выполнить итерационное уточнение.

3. Выполнить оценку числа обусловленности, используя данные итерационного уточнения.

Указание.

1. Для организации вычислений можно использовать пакеты MathCad или Exel. Выполнение LU разложения осуществлять поэтапно, приводя промежуточные результаты после каждого из них.

2. Алгоритм вычислений должен быть организован максимально экономично.

Лабораторная работа №3.

Тема: «Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений»

Задание.

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений итерационными методами с точностью :

• методом простой итерации;

• методом ПВР, варьируя параметр в диапазоне (0, 2) с шагом 0.1;

• градиентным методом наискорейшего спуска.

2. Для каждого метода получить число итераций, необходимое для достижения требуемой точности, выдавая (на печать) на каждом шаге оценку погрешности и невязку текущего приближенного решения.

3. Провести анализ эффективности рассматриваемых методов.

Указание.

1. Для организации вычислений можно использовать пакет MathCad. Допустимой матричной операцией является умножение матрицы на вектор.

2. В методе ПВР оптимальное значение параметра определять по невязке решения после выполнения 20 итераций.

Лабораторная работа №4.

Тема: «Прямые методы решения проблемы собственных значений»

Задание.

1. Для заданной матрицы найти собственные значения и собственные вектора:

• методом Крылова;

• методом Данилевского (с выбором главного элемента).

2. Провести анализ эффективности рассматриваемых методов.

Указание.

Для организации вычислений можно использовать пакеты MathCad или Exсel. Допустимой матричной операцией является умножение матрицы на вектор.

Лабораторная работа №5.

Тема: «Итерационные методы решения проблемы собственных значений»

Задание.

1. Для заданной матрицы найти собственные значения и собственные вектора итерационным методом вращений с точностью .

2. Для заданной матрицы найти главное собственное значение и соответствующий собственный вектор методом итераций с точностью .

Указание.

Для организации вычислений можно использовать пакеты MathCad или Exсel. Допустимой матричной операцией является умножение матрицы на вектор.

Лабораторная работа №6.

Тема: «Решение нелинейных уравнений».

Задание.

Найти корни системы нелинейных уравнений

с точностью .

1. Приближенно определить корни геометрически.

2. Уточнить корни методом:

- простой итерации;

- Ньютона;

- градиентного спуска, сведя к нахождению минимума функции

3) Провести анализ скорости сходимости и точности решения рассмотренными методами.

Лабораторная работа №7.

Тема: «Интерполирование. Среднеквадратичное приближение».

Задача - приблизить заданную функцию на отрезке .

1) Построить таблицу , .

По полученной таблице произвести интерполяцию с помощью

• формулы Ньютона;

• кубических сплайнов дефекта 1.

Провести оценку погрешности в узлах .

Сравнить оценку погрешности с реальной погрешностью.

2) Выполнить среднеквадратичное приближение заданной функции на заданном отрезке c помощью полинома третьего порядка

• дискретный вариант (по таблице и п.1);

• непрерывный (интегральный) вариант.

Провести оценку погрешности.

3) Методом обратного интерполирования, используя интерполяционную формулу Ньютона, найти корень уравнения

.

Указание.

1) При построении параметров кубического сплайна воспользоваться алгоритмом прогонки.

2) Для вычисления определенных интегралов в п.2 можно воспользоваться системой MathCad.

Лабораторная работа №8.

Тема: «Численное интегрирование».

1) Вычислить заданный определенный интеграл, используя обобщенные квадратурные формулы и метод Рунге, с точностью с помощью обобщенных формул

• трапеций;

• Симпсона;

• Гаусса (двухточечной).

2) Провести оценку эффективности рассмотренных формул по точности и вычислительным затратам.