4.4 Свойства дисперсии

1. .

2. .

3 ,C=const.

4. , C=const.

5. D(X+Y)=D (X)+D(Y), если с.в. X,Y независимы.

В частности, D(X+C)=D(X), C=const;

Докажем равенство 1.

=.

Использованы свойства м.о. и тот факт, что M [X] = const.

Доказательство 5. По свойству 1 имеем D(X+Y)=M[(X+Y)²]– (M[X]+ M[Y])²=

=

По свойству 4 м.о. .

=.

4.5 Другие числовые характеристики

Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины X^k

.

Заметим n₁=M[X].

Центральным моментом k-го порядка называется .

Заметим, что .

Медиана – это такое число Ме(Х), что F(Ме(Х))=0,5.

Мода – точка максимума плотности распределения. Если у с.в. одна мода, то распределение называется унимодальным.

Квантилью порядка a (0<a<1) называется такое число x_a, что F(x_a)= a. Заметим, что квантиль порядка 0,5 совпадает с медианой.

Коэффициентом асимметрии называется число .

Коэффициентом эксцесса называется число .

4.6 Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Случайная величина Х называется нормально распределенной (имеющей распределение Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид

.

Нормальное распределение будем обозначать N(a,s). Тогда XÎN(a,s) означает, что с.в. X имеет нормальное распределение с параметрами a,s. Плотность зависит от двух параметров a и s > 0, смысл которых выясним в дальнейшем.

Функция распределения равна

.

Докажем, что плотность распределения удовлетворяет свойству 4 нормировки плотности распределения (лекция 3).

График плотности нормального распределения см. на рисунке 4.1.

Рисунок 4.5

Если параметры a = 0, σ = 1, то такая нормально распределенная случайная величина называется стандартной нормальной случайной величиной.

В природе часто встречаются нормально распределенные с.в. Так, «естест-венные» размеры человека (рост, вес и т.д.), деревьев (высота, диаметр ствола) распределены нормально. Причина этого явления раскрывается в теореме Ляпунова, о которой речь пойдет в дальнейшем.

Лекция 5

5.1 Числовые характеристики некоторых распределений

Биномиальное распределение. Это распределение рассматривалось в примере 3.2 (лекция 3). Пусть Х – распределена по биномиальному закону с параметрами n, p (n – число испытаний, p –вероятность успеха), q=1–p. Рассмотрим с.в. Х_i c законом распределения 0®q, 1®p (i = 1,2, …, n). Математическое ожидание . Случайная величина, причем с.в.независимы и распределены одинаково. Следовательно,

.

Вычислим дисперсию .

.

Итак,

.

Распределение Пуассона. Пуассоновскийзакон распределение имеет вид ,x_i = i = 0, 1, … .

.

==

=.

Итак,

. .

Равномерное распределение.

.

.

Итак,

. .

Показательное распределение.

=.

.

Итак,

. .

Нормальное распределение.

.

Аналогично можно вычислить дисперсию .

Итак,

. .

5.2 Вероятность попадания с.в. в числовой промежуток

Пусть Х – ДСВ. Тогда .

Рассмотрим НСВ Х. Так как для любого числа с, то для НСВ вероятности ===.

Для вычисления вероятности можно применить две формулы:

,

.

Если интеграл “берущийся”, то никаких проблем не возникает. Для нормального распределения вопрос вычисления вероятности стоит особо, так как интеграл получается не “берущийся” и на практике часто приходится вычислять эту вероятность.

Предварительно рассмотрим функцию Лапласа, вычислению которой приводится задача вычисления вероятности для нормального распределения.

Функцией Лапласа называется функция

.

Свойства функции Лапласа.

1) при z>0 функция Лапласа определяет вероятность попадания стандартной нормальной случайной величины в интервал (0, z).

2) .

3) – функция нечетная.

4) для значенийz ³ 5.

Иногда в литературе встречаются другой вид функции Лапласа:

.

Функция Лапласа табулирована (см. [ ]).

=

Таким образом, если с.в. Х распределена нормально с параметрами M[X]=a и , то верна формула

.

Лекция 6

6.1 Двумерная и многомерная случайная величина

Пусть (W,U, P) – некоторое вероятностное пространство, Х, Y – две случайные величины, определенные в этом пространстве. Пара (Х, Y ) называется двумерной случайной величиной (или двумерным случайным вектором).

Закон распределения двумерной случайной величины может быть задан при помощи двумерной функции распределения.

Функцией распределения двумерной с.в. называется двумерная действительная функция .

Событие означает сокращенную запись события.

Аналогично доказательствам свойств одномерных функций распределений можно доказать следующие свойства двумерных функций распределений.

Обозначим одномерные функции распределения с.в.Х, Y соответственно.

Свойства двумерных функций распределений.

1) ;

2) ;

3) ;

4) F(x, y) не убывает по каждой переменной;

5) F(x, y) непрерывна слева по каждой переменной;

6) .

Дискретные двумерные случайные величины.

Пусть Х, Y – две дискретные случайные величины, имеющие следующие законы распределения соответственно:

p_i·= P(X = x_i) (x₁<x₂< …), p_{· j} = P(Y= y_j) (y₁<y₂< …), .

Двумерная с.в. (Х, Y ) называется дискретной двумерной случайной величиной (или дискретно распределенной двумерной случайной величиной).

Закон распределения двумерной дискретной с.в. может быть задан в виде функции , где.

Если с.в. Х принимает конечное множество значений x₁, x₂, …, x_n , а Y – конечное множество значений y₁, y₂, …,y_m , то закон распределения задают обычно в виде таблицы 6.1. В этой таблице

, .

Заметим, что первая и последняя строки таблицы 6.1 задают закон распределения с.в. Y, а первый и последний столбцы – закон распределения с.в. Х.

Таблица 6.1

	y1	y2	×××	ym	å
x1	p11	p12	×××	p1m
x2	P21	p22	×××	p1m
×××	×××	×××	×××	×××	×××
xn	pn1	pn1	×××	Pnm
å			×××		1