6.4 Представление о законе больших чисел

Рассмотрим последовательность с.в. {X_n} c м.о. . Обозначим– среднее арифметическое с.в.,– среднее арифметическое м.о. Закон больших чисел – это теорема, которая при выполнении некоторых условий утверждает о том, что

"e > 0. (6.2)

Смысл этого равенства заключается в том, что при достаточно большом n значения с.в. Y_n близки числу m_n .

Теорема Чебышева (закон больших чисел). Если с.в. последовательности {X_n} независимы и их дисперсии ограничены одним числом, то верно равенство (6.2).

Следствие (закон больших чисел). Если случайные величины последовательности {X_n} независимы имеют одинаковые м.о. а и одинаковые дисперсии, то имеет место равенство

"e > 0. (6.3)

Так как , то равенство (6.3) частный случай равенства (6.2).

В практике измерения некоторой неизвестной величины часто пользуются следующим способом. Эта величина измеряется несколько раз (n раз), а затем за истинное значение измеряемой величины берется среднее арифметическое измеренных значений. Правомерность такого способа основывается на законе больших чисел.

Рассмотрим опыт в схеме Бернулли (см. п.2.6 и п. 5.1) с вероятностью успеха p, вероятностью неудачи q =1– p. Успеху сопоставим 1, а неудаче – 0. Тогда результатом опыта является случайная величина Х c законом распределения 0®q, 1®p. ,(см. п.5.1). Обозначимk случайную величину, равную числу успехов в n независимых повторениях опыта. Величина называетсяотносительной частотой успеха.

Теорема Бернулли (закон больших чисел). В схеме Бернулли для относительной частоты выполняется равенство

"e > 0. (6.4)

Равенство (6.4) является частным случаем равенства (6.2). Действительно, случайную величину k можно рассматривать как сумму с.в. , распределенных так же как иХ. Тогда средняя арифметическая этих с.в. , а м.о. каждой слагаемой с.в. равноp.

Смысл теоремы состоит в том, что при больших n относительная частота события примерно равна вероятности появления этого события в одном опыте. В частности, теорема Бернулли подтверждает тот факт, что при многократном подбрасывании монеты герб появляется примерно в половине случаев.

6.5 Представление о центральной предельной теореме

Рассмотрим последовательность с.в. (n = 1,2,…). Под центральной предельной теоремой понимается теорема, устанавливающая условия, при которых сумма случайных величин Y_n при n®¥ стремится к случайной величине, распределенной по нормальному закону.

Ниже приведем нестрогую формулировку центральной предельной теоремы Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Пусть последовательность с.в. {X_n} (n=1,2,…) удовлетворяет следующим условиям:

1. " n независимы;

2. " i X_i имеет конечные математическое ожидание и дисперсию;

3. выполняется условие Ляпунова.

Тогда функция распределения с.в. приn®¥ стремится к функции нормального распределения с м.о. и дисперсией.

Точное условие Ляпунова приводить не будем (его можно посмотреть в [Кремер]). Его содержательный смысл состоит в том, что вклад каждого слагаемого X_i в сумму Y_n при больших n ничтожно мал. Эта теорема объясняет тот факт, что в природе часто встречаются нормально распределенные с.в. Так, естественные размеры (рост человека, высота дерева) имеют нормальное распределение. Например, на высоту дерева влияют множество независимых факторов, каждый из которых существенно не влияет на общее действие всех факторов.