Універсальною називається множина, яка містить всі можливі елементи, що зустрічаються в даній задачі. Універсальна множина U є індивідуальною для кожної задачі і визначається в її умові.
Порожньою називається така множина, яка не містить ніяких елементів. Порожня множина є підмножиною будь-якої множини.
Приклад. Розглянемо деяку групу студентів. Нехай А
— множина юнаків групи, В — множина відмінників. У цій задачі універсальною є множина студентів групи, а множини А і В є її підмножинами: A U, В U, А, В.
Множину всіх підмножин множини X називають
множиною-степенем, або булеаном множини X, і позначають 2X .
Для довільної множини X з n елементів кількість всіх її підмножин: |2Х| = 2|Х| = 2n
Приклад.
А = {а, b, с}.
2A = { , {а}, {b}, {с}, {а, b}, {b, с}, {а, с}, {а, b, с}}, | 2A | = 8.
1.3. Геометрична інтерпретація множин
діаграми Венна
круги Ейлера
Діаграма Венна
|
|
U |
U |
|
|
А |
В |
А |
В |
|
x1 |
x1 |
x2 |
|
x2 |
x3 |
x4 |
||
|
|
С |
Діаграма Венна для |
Діаграма Венна для |
двох множин |
трьох множин |
Круги Ейлера
|
U |
U |
U |
А |
B |
А B |
А |
|
|||
|
|
|
B |
A={1,2,3} |
A={1,2} |
A={1,2} |
B={2,3,4} |
B={1,2,3,4} |
B={3,4} |
1.4. Операції на множинах
об'єднання
перетин
різниця
доповнення
Об'єднання (сума) A В є множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які входять або до А, або до В, або до А і В одночасно.
U
А В
А = {а, b, m}, В = {m, c, p},
А В = {а, b, с, m, p}.
Перетин (добуток) A В є множина, що містить тільки елементи, які належать до А і В одночасно .
U
А В
А = {а, b, m}, В = {m, c, p},
А В = { m}.
Різниця А\В є множина, що складається в точності з усіх елементів А, які не належать до В.
U
А В
А = {а, b, m}, В = {m, c, p}, А\В = {а, b}.
Доповнення (заперечення) Ā
(читається «не А») є множина U\A.
U
А
Ā
Різницю множин можна виразити через операції заперечення та перетину таким чином:
B\A = B Ā.