Тема 6. Математична логіка

Питання для самоконтролю

1. Який вид речень моделює формальна логіка? Наведіть приклади речень, які не розглядаються у формальній логіці.

2. Дайте визначення поняттю «висловлення».

3. Що мають на увазі під істиннісним значенням висловлення?

4. Які висловлення називаються атомами?

5. Що у логіці висловлень називають логічними зв’язками, наведіть їх.

6. Дайте визначення правильно побудованої формули.

7. Наведіть приклади формул логіки висловлень, що містять будь-які логічні зв’язки, і відповідних до них речень природної мови.

8. Сформулюйте алгоритм запису складного речення природної мови у вигляді формули логіки висловлень.

9. Дайте визначення логічного наслідку одного (кількох) висловлень.

10. В чому полягає відмінність дедуктивних висновків від недедуктивних? Яким чином будується дедуктивний висновок?

11. Сформулюйте теорему дедукції та її наслідок.

12. Що являє обчислення висловлень?

13. Що є теоремами обчислення висловлень?

14. Дайте визначення незалежній системі аксіом.

15. Назвіть правила висновку, які найбільш часто застосовуються під час побудови обчислення висловлень.

16. В чому полягає метод доведення від супротивного? Дайте порівняльну характеристику двом схемам доведення від супротивного.

17. Дайте визначення поняттю предикат. Назвіть способи визначення предикатів.

18. Що називається порядком предиката?

19. Що розуміють під предметною областю? Дайте визначення понять предметна змінна і предметна константа. Наведіть приклади.

20. Що розуміють під квантором загальності?

21. Дайте визначення поняттю квантор існування.

22. Які змінні називаються зв’язаними, а які — вільними?

23. До яких наслідків призводить застосування квантора за однією із змінних n-місного предиката?

24. Дайте визначення випередженої нормальної форми.

25. Сформулюйте алгоритм перетворення виразів довільної форми у ВНФ.

26. Назвіть правила висновку, які можна використовувати для проведення дедуктивних умовиводів з висловленнями логіки предикатів.

27. До яких наслідків може призвести перенесення квантора на початок формули? Наведіть приклади коректного і некоректного перенесення кванторів на початок формули.

28. Поясніть суть заміни зв’язаної змінної.

29. Сформулюйте комутативні властивості кванторів.

30. Запишіть формули закону де Моргана для кванторів.

31. Сформулюйте призначення обчислення предикатів. Запишіть формули аксіом обчислення предикатів. Поясніть обмеження аксіом обчислення предикатів.

32. Назвіть правила висновку обчислення предикатів.

33. Сформулюйте правило перейменування вільних змінних.

34. В чому полягає сутність правила перейменування зв’язаних змінних?

35. Що розуміють під багатозначною логікою? Які існують різновиди багатозначних логік?

Завдання для роботи в аудиторії

Основні поняття

1. З наведених нижче речень випишіть окремо висловлення, окремо — предикати:

1. х > 0;

2. про нього щось говорять;

3. 2 + 3 = 6;

4. х брат у;

5. протилежні боки А і В паралелограма рівні;

6. кожне явище х має свою причину у.

Логіка висловлень, закони

2. Чи є такі формули загальнозначущими, суперечливими або несуперечливими:

1. ¬(¬А)  А;

2. (А  В)  (В  А);

3. (А  (В  А))  А;

4. (A  ¬ В) (¬AВ).

3. Розставити різними способами дужки у таких формулах:

1. ¬A  ¬В  С;

2. А  В  С D.

4. Виключити якомога більше число дужок у формулі:

1. (¬ ((A)  (C)))  (В);

2. (((А)  (В))  (C)  ((А)  ((В)(С)));

3. ((В) ~ (¬ (C)))  (((А)  (А))  ((В)  (D)));

4. ¬((¬((А)  (В))) ¬ (C)  ((¬ ((С)  (D)))  E));

5. (¬ ((В) ~ (С))) ((¬(E))(¬ (А)));

6. ((¬ ((А)  (В)))  (¬ ((C)  (D)))  ¬ (F)).

5. Побудуйте складні висловлення з використанням тільки зазначених операцій:

1. еквівалентність;

2. імплікація і кон’юнкція;

3. заперечення, кон’юнкція і диз’юнкція.

6. Доведіть, що заперечення висловлення «Ає достатня та необхідна умова дляВ» еквівалентне висловленню «¬Ає достатня і необхідна умова для ¬В».

7. Побудуйте висловлення, еквівалентне A В, використовуючи тільки операції заперечення і кон’юнкції.

8. Побудуйте складне висловлення, еквівалентне АВ, використовуючи тільки операції диз’юнкції і заперечення.

9. Побудуйте два складних висловлення, еквівалентних АВ, використовуючи тільки:

1. операції диз’юнкції і заперечення;

2. заперечення і кон’юнкції.

10. Використовуючи тотожності, спростіть формули логіки висловлень:

1. ¬(A  В  C) (А  (В  ¬С))  ¬В;

2. (A  В)  ¬С  A ¬C  B А.

Логічний висновок

11. НехайА— «дверний замок зламаний»,В— «вхідні двері відкриті». Випишіть відповідний логічний висновок за правиломModusPonens.

12. Перевірте правильність таких висновків:

a) c)

b) d)

13. Які висновки будуть правомірними при такому посиланні: «Якщо студент не знає логіку висловлень, то не зможе розв’язати задану логічну задачу»?

1. Студент розв’язав задану логічну задачу. Отже, студент знає логіку висловлень.

2. Студент не знає логіку висловлень. Отже, він не розв’яже задану задачу.

3. Студент знає логіку висловлень. Отже, він розв’яже задану задачу.

4. Студент не розв’яже задану логічну задачу. Отже, він не знає логіку висловлень.

14. Якщо конгрес відмовляється прийняти нові закони, то страйк не буде закінчено, якщо він не триває більше року і президент фірми не йде у відставку. Чи закінчиться страйк, якщо конгрес відмовляється діяти і страйк тільки почався? Побудуйте логічний висновок і одержіть відповідь.

Логіка предикатів, основні поняття

15. В наведених одномісних предикатах зробіть можливі підстановки змінноїхтак, щоб одержати істинні висловлення. Які з них припускають одну, а які — багато підстановок?

1. х — найвища горна вершина у світі;

2. х — представник діалектичної логіки;

3. х + 7 = 15;

4. х— логічна зв’язка;

5. х — видатний античний логік.

16. Змінні функції «х>у» приймають значення на множині {1,2,3};В₁,В₂— предикати, що задаються цією функцією відповідно при алфавітному і зворотному йому порядках. Встановіть:

1. область визначення предикатів В₁ і В₂

2. значення істинності В₁ (2, 3) і В₂ (2, 3).

17. Скільки різних предикатів визначає висловлення «х+у=z», якщоМ_х,М_уіМ_z— множини значень зміннихх, у, z:

1. М_х = М_у = М_z = {1, 2};

2. М_х = {1}, М_у = {1, 2}, М_z= {2, 3}?

18. Визначте, чи еквівалентні такі предикати:

1. х² = 1 і х = 1;

2. x² = x і x = 1.

Квантори

19. Запишіть такі висловлення, використовуючи знаки кванторів:

1. існує число х таке, що х + 1 = 5;

2. яким би не було число у, у + 0 = у;

3. будь-яке число або додатне, або від’ємне, або дорівнює нулю.

20. Вкажіть вільні та зв’язані входження кожної із змінних у таких формулах:

1. x Р(х, у)  у Q(y);

2. x (Р(х)  Р(у));

3. x (Р(х)  Q(y))  у R(х, у);

4. х [(Р(х)  Q(y))  у R(х, у)].

21. Нехайхіу— будь-які люди,Q(x,у) означає «хбатькоу». Наведені висловлення сформулюйте природною мовою, визначивши їх значення істинності:

1. x у Q(x, у);

2. y х Q(x, у);

3. x y Q(x, у);

4. х y Q(x, у);

5. у x Q(x, у);

6. х у Q(x, у).

22. НехайN(x) — «х— натуральне число»,С(х) — «х— ціле число»,Р(х) — «х— просте число»,Е(х) — «х— парне число»,О(х)— «х— непарне число»,D(x,у)— «уділиться нах». Сформулюйте природною мовою наведені висловлення, встановивши їх значення істинності:

1. Р(z);

2. E(2)  Р(2);

3. x (D(2, x)  Е(х));

4. х (E(х)  D(х, 6));

5. x [Р(х)  у (E(у)  D(x, у))];

6. x (N(x)  С(х));

7. х (N(х)  С(x));

8. x (C(x)  N(x));

9. x y [O(x)  (Р(у)  D(х, у))];

10. x [С(х)  (E(х)  ¬E(x))];

11. х у [(С(х)  С(у))  D(x, у)];

12. x  у [(Е(х)О(х))  ¬D(x, у)].

23. ПредикатР(х,y) задано в предметній областіD= {а,b}матрицею:

x	а	а	b	b
y	а	b	а	b
Р(х, у)	0	1	1	1

Яка з нижченаведених формул визначає цей предикат?

1. x Р(х, а);

2. у x Р(х, у);

3. y Р(а, у);

4. y x P(x, у);

5. y x ¬P(x, у).

Логіка предикатів, закони

24. Опустіть знаки заперечення безпосередньо на предикати та змінні:

1. ¬(х (¬y (B(y)  z С(z))  ¬A(х)));

2. ¬(у ¬(x (A(y, z)  B(x))  С(z)));

3. ¬(х) (¬(у ((А(х)  В)  С(х, у))));

4. ¬(u ¬(v (P(u)  Q(v)  А(z)))).

25. Встановіть, чи еквівалентні задані предикати:

1. х (A(х)  ¬B(y)) i ¬(z (A(z)  В(у)));

2. x ((A(x)  В(х))  (А(х)  ¬В(x))) i ¬(y А(у)).

26. Винести за дужки квантори:

1. v С(v, y)  (х А(х)  В);

2. x y А(х, у)  х у В(х, у);

3. x A(x, у)  (x B(x)  y C(y));

4. x y A(x, у)  x z (B(x, z)  у А(х, у)).

27. Довести загальнозначущість таких формул:

1. x P(x)  y Р(y);

2. x P(x)  (y ¬Р(y));

28. Довести, що формулаx P(x)у ¬Р(у) суперечлива.

29. Довести, що формулаР(а) ¬(х Р(х)) несуперечлива.

Випереджені нормальні форми

30. Звести до ВНФ такі вирази:

1. y (F₁(y)  ¬(х Р(х, у)));

2. ¬(x у А(х, у)  у z (С(z)  В(х, у)));

3. x у В(х, у) ~ х А(х);

4. ¬(y х (A(х)  В(у)));

5. x F₁(x)  ¬(x (F₂(y)  y P(x, y))).

Доведення теорем у логіці предикатів

31. Визначте, чи є формулах(Р(х)Q(x)) логічним наслідком формулх Р(х) іх Q(x).

32. Застосовуючи дедуктивні правила логіки предикатів, наведіть висновки з таких засновків:

1. Якщо хтось з тих людей — автор цих пліток, то він глупий і безпринципний. Але ніхто з тих людей не глупий і не позбавлений принципів.

2. Якщо всі ці люди не хоробрі або на них не можна покластися, то вони не належать до нашої компанії. Але вони належать до нашої компанії.

3. Якщо хтось з підозрілих здійснив всі ці нерозкриті крадіжки, то він був ретельно підготовлений і мав співучасника. Якщо б всі крадіжки були підготовлені ретельно, то, якщо б був співучасник, вкрадено було б набагато більше. Але останнє не має місця.

4. Якщо один з нас піде завтра на перше заняття, то він повинен буде підвестися рано, а якщо ми підемо сьогодні ввечері у кіно, то він ляже пізно спати. Якщо будь-який з нас ляже пізно спати, а підведеться рано, то буде-задовольнятися п’ятьма годинами сну. Але ми не можемо задовольнятися п’ятьма годинами сну.

5. В бюджеті виникне дефіцит, якщо і тільки якщо не підвищать деякі мита. Державні витрати на всі соціальні нестатки скоротяться, якщо і тільки якщо у бюджеті буде дефіцит. Деякі мита підвищать.

6. Якщо всі ціни одночасно підвищуються, то підвищується і заробітна плата. Всі ціни високі або застосовується регулювання цін. Якщо застосовується регулювання цін, то немає інфляції. Спостерігається інфляція.

33. Доведіть нелогічність таких міркувань:

1. Всі студенти нашої групи — члени клуба «Динамо». А деякі члени клуба «Динамо» займаються спортом. Отже, деякі студенти нашої групи займаються спортом.

2. Деякі студенти нашої групи — вболівальники «Динамо». А деякі вболівальники «Динамо» займаються спортом. Отже, деякі студенти нашої групи займаються спортом.

3. Кожний першокурсник знайомий кимось з студентів другого курсу. А деякі другокурсники — спортсмени. Отже, кожний першокурсник знайомий з кимось із спортсменів.

34. Показати, що формулаGне є логічним наслідком множини формулК:

1. G = х ¬R(х),

К={хR(х)  xQ(x), ¬Q(a)};

2. G = хR(х, х),

К={xy(R(x, у)  R(у, х)), xyz(R(x, у)R(у, z)R(х, z))};

3. G = х(Р(х)  ¬R(х)),

К={x[P(x)у(Q(у)S(x,у))], x[R(x)y(Q(y)¬S(x,у))], хР(х)}.

Завдання для домашніх робіт

1. Які правила виведення використано у наступних твердженнях?

1. Якщо падатиме дощ, то басейн буде зачинено. Падає дощ. Отже, басейн зачинено.

2. Якщо падатиме сніг, то університет буде зачинено. Університет не зачинено. Отже, сніг не падає.

3. Якщо я піду плавати, то довго буду на сонці. Якщо я довго буду на сонці, то засмагну. Отже, якщо я піду плавати, то засмагну.

4. Кенгуру живуть в Австралії, мають сильні нижні кінцівки, роблять довгі стрибки, і вони сумчасті. Отже, кенгуру — сумчасті.

5. На вулиці спека більше 40 градусів або небезпечне забруднення повітря. Сьогодні менше 40 градусів; отже, забруднення повітря небезпечне.

2. Дано такі гіпотези: «Логіка складна чи небагато студентів люблять логіку» та «Якщо математика складна, то логіка не складна». Визначити, чи можна з цих гіпотез отримати висновок.

1. Математика не легка, якщо багато студентів люблять логіку.

2. Небагато студентів люблять логіку, якщо математика не складна.

3. Математика не легка чи логіка складна.

4. Логіка не складна чи математика не легка.

5. Якщо небагато студентів люблять логіку, то чи математика не легка, чи логіка не складна.

3. Довести, що в наведених нижче прикладах висновки можна вивести з наведених гіпотез.

1. Гіпотези: «Усі леви — жорстокі істоти», «Деякі леви не п’ють кави». Висновок: «Деякі жорстокі істоти не п’ють кави».

2. Гіпотези: «Усі колібрі мають яскраве пір’я», «Жодний великий птах не їсть меду та не має яскравого пір’я».

Висновок: «Колібрі — маленькі птахи».

3. Гіпотези: «Кожний атлет сильний», «Кожний, хто сильний і розумний, досягне успіху», «Петро — атлет», «Петро — розумний».

Висновок: «Петро досягне успіху».

4. Для кожного з логічних виведень, наведених нижче, визначити коректність висновку та зробити потрібні пояснення.

1. Усі студенти цієї групи розуміють логіку. Дмитро — студент цієї групи. Отже, Дмитро розуміє логіку.

2. Кожний студент, який вивчає комп’ютерні науки та є студентом старшого курсу, прослухав курс дискретної математики. Наталка прослухала курс дискретної математики. Отже, Наталка — студентка старшого курсу та вивчає комп’ютерні науки.

3. Кожний папуга схожий на фрукт. Моя пташка не папуга. Отже, моя пташка не схожа на фрукт.

4. Роман любить дивитися бойовики. Роман любить фільм «Третій зайвий». Отже, фільм «Третій зайвий» — бойовик.

5. Кожний студент університету має жити в гуртожитку. Михайло не живе в гуртожитку. Отже, Михайло не студент університету.

6. Якщо геометрична фігура — квадрат, то її діагоналі взаємно перпендикулярні та в точці перетину діляться навпіл. Ця фігура не квадрат. Отже, її діагоналі не перпендикулярні та не діляться навпіл.

7. Якщо число має дільник 6, то воно має дільниками числа 2 та 3. Якщо число має дільниками числа 2 та 3, то воно має дільник 6. Отже, число має дільник 6 тоді й лише тоді, коли воно має дільниками числа 2 та 3.

8. Якщо Петро поїде до Харкова, то Іван поїде до Києва. Петро поїде чи до Харкова, чи до Львова. Якщо Петро поїде до Львова, то Ольга залишиться у Полтаві. Ольга не залишилась у Полтаві. Отже, Іван поїхав до Києва.