Тема 5. Комбінаторика
Питання для самоконтролю
Що таке вибірка?
Наведіть приклади, в яких формується вибірка без повторень та з повтореннями.
Сформулюйте правила суми та добутку.
Сформулюйте правило включення-виключення.
Яку вибірку називають перестановкою?
Як розраховується кількість перестановок без повторень?
Як розраховується кількість перестановок з повтореннями?
Яку вибірку називають розміщенням?
Як розраховується кількість розміщень без повторень?
Як розраховується кількість розміщень з повтореннями?
Яку вибірку називають сполученням?
Як розраховується кількість сполучень без повторень?
Як розраховується кількість сполучень з повтореннями?
Перерахуйте властивості сполучень.
Завдання для роботи в аудиторії
Розв’язок за допомогою дерева. Правило суми. Правило добутку
За пересилання бандеролі слід сплатити 18 грн. Скількома способами можна набрати потрібну суму марками вартістю у 4, 6, 10 грн., якщо два способи, які відрізняються порядком марок, вважаються різними? Однаковими?
Абітурієнт складає чотири іспити. Він вважає, що для зарахування у ВУЗ йому достатньо набрати 17 балів (кожен іспит 1-5 балів). Скількома способами він може скласти іспити, набравши не менше 17 балів і не отримавши балів, нижче 3? Набрати рівно 17 балів?
В кошику 12 яблук і 10 апельсинів. Брат вибирає яблуко або апельсин, після чого сестра вибирає із фруктів, що залишилися, і яблуко, і апельсин. Скільки можливостей таких виборів? При якому виборі брата сестра має більше можливостей?
Скількома способами можна з чисел 1..31 вибрати три числа так, щоб їх сума була непарним числом?
Є 5 видів конвертів без марок і 4 види марок. Скількома способами можна вибрати конверт і марку для листа?
Скількома способами можна вибрати голосну і приголосну у слові «паркет»?
Із 3 екземплярів підручників вищої математики, 7 програмування і 6 фізики треба вибрати комплект, який містить по одному підручнику з кожного предмета. Скількома способами це можна зробити?
Задача Леонардо Ейлера. Четверо панів на вході до ресторану віддали швейцару свої капелюхи, а на виході одержали їх назад. Скільки існує варіантів, при котрих кожен з них одержить чужий капелюх?
Правило включення-виключення
Скільки чисел серед першої сотні натуральних чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5, ні на 7?
Студенти групи вивчають три іноземних мови, причому кожен хоча б одну: 6 – англійську, 7 – французьку, 6 – німецьку, 4 – англійську і німецьку, 3 – німецьку і французьку, 2 – французьку і англійську, 1 – всі три мови. Скільки студентів у групі? Скільки з них вивчає лише англійську? Скільки осіб вивчає лише одну мову?
Перестановки без повторень
Скількома способами можуть розміститися в турнірній таблиці 10 футбольних команд, якщо всі набрали різну кількість очок?
Скількома способами можна переставити літери слова «пряма»? «ромб»? «площина»?
Скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3? Цифри не повторюються.
Скільки чотризначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3? Цифри не повторюються.
Перестановки з повтореннями
Скількома способами можна переставити літери слова «квадрат»? «трикутник»? «паралелограм»?
Скільки слів можна одержати, переставляючи букви слів: «парабола», «метаморфоза»?
Розміщення без повторень
Скількома способами можна скласти триколірний смугастий прапор, якщо є тканини п’яти різних кольорів? Якщо одна смуга повинна бути червоною?
Є 8 токарів. Скількома способами можна доручити 3 з них виготовлення трьох різних деталей (за одним видом на кожного)?
В профактив факультету обрано 9 студентів. З них треба вибрати голову, його заступника та секретаря. Скількома способами це можна зробити?
Скількома способами можна опустити 5 листів у 11 поштових скриньок, якщо в кожну з них кидається не більше одного листа?
Скільки чотирибуквених слів можна одержати, переставляючи букви слів: «паркет», «метал»?
Скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5? Цифри не повторюються.
Скільки тризначних непарних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5? Цифри не повторюються.
Розміщення з повтореннями
Скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5? Цифри можуть повторюватися.
Скільки тризначних непарних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5? Цифри можуть повторюватися.
Скільки існує чотиризначних автомобільних номерів, складених з цифр 2, 3, 5, 7? Що не містять цифру 8? Що не містять цифр 0 і 8?
Сполучення без повторень
Скількома способами можна скласти три пари з n шахістів?
Скількома способами можна поселити 9 студентів у три кімнати гуртожитку, поселяючи по троє в кожну?
Скількома способами у грі «Спортлото» можна вгадати 5 номерів з 36? Вгадати 3 або 4 номери?
Будівельна фірма формує бригаду з 5 робочих. В організації 20 робітників, в тому числі 5 малярів, 4 теслі і 2 штукатури. Скількома способами можна укомплектувати бригаду, щоб в неї ввійшли по одному робітнику кожної спеціальності?
Скількома способами можна відібрати пару однакових карт із колоди 36 карт?
Скількома способами з 28 кісток доміно можна утворити пари, які за правилами доміно можна докласти одна до одної?
Із колоди у 52 карти витягли 10 карт. У скількох випадках серед цих карт виявиться рівно один туз? Рівно два тузи? Не менше двох тузів? Хоча б один туз?
Сполучення з повтореннями
Скількома способами можна відібрати чотири фрукти із яблук, лимонів, апельсинів?
Завдання для домашніх робіт
1. Скільки різних слів можна скласти з літер вашого прізвища? Імені? Прізвища та імені?
2. Скільки різних 4-буквенних слів можна скласти з літер слів «паркет», «стадіон», «ковзани», «листопад»?
3. Скількома способами можна вибрати голосну і дві приголосних у словах «паркет», «зима», «стадіон», «ковзани», «листопад»?
4. Скільки чисел серед перших сорока натуральних чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 10?