Тема 2. Відношення

Питання для самоконтролю

1. Що називається відношенням? Що таке бінарне, унарне відношення?

2. Назвіть способи задання відношень.

3. Поясніть поняття «граф відношення», «вершина», «дуга».

4. Що називається оберненим відношенням, і як воно позначається?

5. Що називається композицією відношень?

6. Дайте визначення перерізу відношення Rі фактор-множини за відношеннямR.

7. Назвіть теоретико-множинні операції, які застосовні до відношень. Поясніть, яким чином ці операції застосовуються до відношень.

8. Дайте визначення властивостям:

— рефлексивності; — антирефлексивності;

— симетричності; — асиметричності;

— антисиметричності; — транзитивності;

— антитранзитивності.

Для кожної з наведених властивостей поясніть, чим граф і матриця відношень, що мають цю властивість, відрізняються від графа і матриці відношень, що не мають цієї властивості.

9. Чи може відношення мати не одну, а кілька властивостей? Наведіть приклади. Які з відомих вам властивостей можуть одночасно характеризувати відношення, а які є взаємовиключними, тобто не можуть одночасно характеризувати одне відношення?

10. Дайте визначення відношення еквівалентності.

11. Яким чином відбувається розбиття множини на класи еквівалентності? Які елементи називаються еквівалентними?

12. Які властивості характерні для класів еквівалентності?

13. Дайте визначення відношення часткового порядку. Як воно позначається? Наведіть приклад. Що таке діаграма Хассе?

14. Яка множина називається лінійно упорядкованою? Що таке порівнянні і непорівнянні елементи?

15. Чим відрізняється відношення строгого порядку від відношення часткового порядку? Дайте визначення відношення квазипорядку.

16. Дайте визначення відношення толерантності. Наведіть приклад.

17. Яке відношення називається функціональним?

18. Що таке область визначення і область значень відношення?

19. Дайте визначення сюр’єктивного, ін’єктивного і бієктивного відображень. Чим характеризується граф кожного з цих відображень?

20. Який вид відображення можна назвати «багато до одного», який— «один до одного»?

Завдання для роботи в аудиторії

Декартів добуток множин

1. Знайти декартів добуток множин А={1,2,3}, В={3,4} : АВ, ВА.

2. На декартовому добутку з попереднього завдання задане відношення R={<x,y>|x+2=y}. Які ще відношення можна задати на цьому добутку?

Способи задання відношень

3. Записати відношення R={<x,y>|x,yA, x||y} у вигляді списку.

А={1,2,3,4,5}

4. Записати відношення R={<x,y>|x,yA, xy=} у вигляді списку.

А={1,2,3,4}

5. На декартовому добутку XY задане бінарне відношення R_i  XY. Записати відношення у вигляді списку та матриці.

X={0,1,2,3}, Y={1,3,4}

1. R₁={<x,y>|x+y - парне};

2. R₂={<x,y>|x+y<5};

3. R₃={<x,y>|x+y=4};

4. R₄={<x,y>|x>y};

5. R₅={<x,y>|x+2=y}.

6. Побудуйте матрицю і граф для таких відношень, визначених на множині А={1,2,3}:

1. {(1, 1), (1, 2), (1, 3)};

2. {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3)};

3. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (З, З)};

4. {(1, 3), (3, 1)}.

7. Побудуйте граф і список елементів для таких відношень, визначених на множині А={а, b, с} матрицями:

	a	b	c			a	b	c			a	b	c			a	b	c
a	1	0	1		a	0	1	0		a	1	1	1		a	1	1	0
b	0	1	0		b	0	1	0		b	1	0	1		b	1	1	0
c	1	0	1		c	0	1	0		c	1	1	1		c	1	0	1

8. Побудуйте матрицю і список елементів для таких відношень, що задані графічно:

9. Запишіть список елементів для 3-арного відношення R, що задане на множині натуральних чисел таким чином: (а, b, с)  R, якщо 0<а<b<с<5.

10. Запишіть список елементів для 4-арного відношення R, що задане на множині натуральних чисел таким чином: (a, b, c, d)  R, якщо abcd = 6.

11. Визначте алгоритм складання матриці відношення за заданим списком елементів і навпаки.

Операції з відношеннями

12. Нехай А — множина студентів університету, В — множина книг у бібліотеці. Нехай задано відношення R₁, R₂ AB, такі, що (а, b)  R₁, якщо студент а згідно з навчальною програмою повинен під час навчання прочитати книгу b, і (а, b)  R₂, якщо студент а під час навчання вже прочитав книгу b. Дайте словесний опис відношень, що одержуються в результаті виконання операцій:

1. R₁  R₂;

2. R₁  R₂;

3. R₁\ R₂;

4. R₂\ R₁.

13. Нехай дано множини А = {1, 2, 3}, В = {1, 2, 3, 4} і відношення R₁,R₂AB: R₁ ={(1,2), (2,3), (3,4)}, R₂ = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)}. Визначте:

1. R₁  R₂;

2. R₁  R₂;

3. R₁\ R₂;

4. R₂\ R₁.

14. Знайдіть відношення R^-1, якщо відношення R задане таким чином:

1. (а, b)  R, якщо a, b  N, а > b;

2. (а, b)  R, якщо a, b  N, а — дільник b;

3. А — множина країн світу; (а, b)  R, якщо a, b  А і країна а межує з b.

15. Нехай R₁ і R₂ — бінарні відношення на множині А = {a, b, c, d}, де R₁={(a, а), (а, b), (b, d)}, R₂ = {(а, d), (b, c), (b, d), (c, d)}:

1. побудуйте відношення R₁ ° R₂, R₂ ° R₁, ,.

2. побудуйте перерізи відношень R₁, R₂ за елементами a, d і відносно підмножини {а, b};

3. побудуйте фактор-множину за відношенням R₂

Замикання відношень

16. Нехай R — відношення на множині А = {0, 1, 2, 3}, яке складається з упорядкованих пар (0, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 2) та (3, 0). Знайти:

1. рефлексивне замикання відношення R;

2. симетричне замикання відношення R.

17. Нехай на множині Z цілих чисел задано відношення R = {(a, b) | a  b). Знайти його рефлексивне замикання.

18. Як граф, що зображає рефлексивне замикання відношення на скінченній множині, можна побудувати з графа цього відношення?

19. Зобразити граф рефлексивного замикання для кожного з відношень, заданих графами:

20. Як граф, що зображає симетричне замикання відношення на скінченній множині, можна побудувати з графа цього відношення?

21. Знайти графи симетричного замикання відношень, заданих графами задачі 19.

22. Знайти найменше відношення, яке містить відношення R = {(a, b) | a>b) на множині цілих чисел і водночас рефлексивне та симетричне.

23. Знайти граф найменшого відношення, яке водночас рефлексивне та симетричне для кожного з відношень, заданих графами задачі 19.

24. За алгоритмом Уоршалла побудувати транзитивні замикання відношень на множині {1, 2, 3, 4}:

1. {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 1)};

2. {(2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 4), (4, 1), (4, 3)};

3. {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)};

4. {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 2)}.

25. За алгоритмом Уоршалла побудувати транзитивні замикання наведених нижче відношень на множині {a, b, c, d, e}:

1. {(а, с), (b, d), (c, a), (d, b), (e, d)};

2. {(b, с), (b, e), (с, e), (d, а), (e, b), (e, с)};

3. {(a, b), (a, c), (a, e), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b), (d, a), (e, d)};

4. {(а, e), (b, а), (b, d), (с, d), (d, a), (d, с), (e, а), (e, b), (e, с), (e, e)}.

26. Знайти найменше відношення на множині A = {1, 2, 3, 4}, яке містить відношення R = {(1, 2), (1, 4), (3, 3), (4, 1)} і має такі властивості:

1. воно рефлексивне та транзитивне;

2. симетричне та транзитивне;

3. рефлексивне, симетричне та транзитивне.

Властивості відношень

27. Визначте, які властивості мають такі відношення, що задані на деякій множині людей. Нехай (а, b)  R, якщо:

1. а вище на зріст, ніж b;

2. а і b народилися в один день;

3. а є родичем b;

4. а знайомий з b.

28. Визначте, які властивості має кожне з наведених відношень. Відношення задані на множині А = {1, 2, 3, 4}:

1. {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)};

2. {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)};

3. {(2, 4), (4, 2)};

4. {(1, 2), (2, 3), (3, 4)};

5. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)};

6. {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4)}.

29. Визначте, які властивості має кожне з відношень, що зображені такими графами:

30. Нехай R₁ i R₂ — деякі відношення. Заповніть таблицю таким чином. У комірку таблиці помістіть « + », якщо з того, що R₁ i R₂ мають зазначену властивість, виходить, що результат операції теж має ці властивості, «-» — якщо при тому, що R₁ i R₂ мають вказану властивість, результат операції може не мати цієї властивості. Обґрунтуйте вибір кожного «+» і «-».

	R1R2	R1R2		R1\R2	R1°R2	Rn, (nN)	R-1
Рефлексивність
Антирефлексивність
Симетричність
Асиметричність
Антисиметричність
Транзитивність
Антитранзитивність

31. Наведіть приклад відношення, яке:

1. є симетричним і антисиметричним;

2. не є ані симетричним, ані антисиметричним.

32. Нехай R— рефлексивне і транзитивне відношення. Чи правильно, що Rⁿ = R для всіх nN.

33. Знайдіть помилку в доведенні такого твердження (це твердження не правильне).

Твердження: Якщо деяке відношення R симетричне і транзитивне, то воно є також і рефлексивним.

Доведення: Візьмемо пару елементів (а, b), таку, що (а, b)R, тоді і (b, а)R (відношення симетричне). Якщо (а, b)R і (b, а)R, то за властивістю транзитивності (а, а)R, отже відношення рефлексивне.

34. Складіть алгоритм визначення властивостей відношення. Вхідними даними може бути матриця відношення або список елементів відношення.

Відношення еквівалентності

35. Які з наведених відношень на множині людей є відношеннями толерантності, які — відношеннями еквівалентності?

1. а і b однакового віку;

2. а і b мають спільних батьків;

3. а і b знайомі;

4. а і b розмовляють однією мовою.

36. Задайте три відношення еквівалентності на множині студентів вашої академічної групи. Визначте класи еквівалентності для цих відношень еквівалентності.

37. Які з наступних відношень на множині всіх функцій із Z у Z являють собою відношення еквівалентності? Зазначити, чому інші відношення не є відношеннями еквівалентності (Z — множина цілих чисел):

1. {(f, g) | f(1) = g(1)};

2. {(f, g) | f(0) = g(0) або f(l) = g(l)};

3. {(f, g) | f(x) - g(x) = 1 для всіх х  Z};

4. {(f, g) | f(x) - g(x) = С для якогось С  Z і для всіх х  Z };

5. {(f, g) | f(0) = g(l) i f (l)=g(0)}.

38. Які з наведених матриць задають відношення еквівалентності? Для знаходження відповіді дослідіть графи відношень.

	a	b	c	d			a	b	c			a	b	c	d
a	1	0	1	0		a	1	1	1		a	1	1	1	0
b	0	1	0	0		b	0	1	1		b	1	1	1	0
c	1	0	1	0		c	1	1	1		c	1	1	1	0
d	0	1	0	1							d	0	0	0	1

39. Які з наведених відношень, задані графами, є відношеннями еквівалентності?

40. Які з наведених наборів підмножин множини А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} можуть бути розбиттями цієї множини на класи еквівалентності:

1. {1, 2}, {2, 3, 4}, {4, 5, 6};

2. {2, 4, 6}, {1, 3, 5};

3. {1}, {2, 3, 6}, {4, 5};

4. {1, 4, 5}, {2, 6}.

41. Розбити множину А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} на класи еквівалентності за відношеннями:

1. R₁={(x, y) | |x-y| кратне 3};

2. R₂={(x, y) | |x-y| кратне 4};

3. R₃={(x, y) | |x-y| кратне 2}

42. Нехай R₁ i R₂ — відношення еквівалентності. Визначте, чи є такі відношення відношеннями еквівалентності:

4. R₁  R₂;

5. R₁  R₂;

6. R₁

Відношення порядку

43. На множині цілих чисел Z задано відношення R. У яких випадках множина (Z, R) частково впорядкована:

1. aRb тоді й лише тоді, коли а = b;

2. aRb тоді й лише тоді, коли а  b;

3. aRb тоді й лише тоді, коли а  b;

4. aRb тоді й лише тоді, коли а не ділить b?

44. Які з наведених матриць задають відношення часткового порядку? Для знаходження відповіді дослідіть графи відношень.

	a	b	c	d			a	b	c			a	b	c
a	1	0	1	0		a	1	0	1		a	1	0	0
b	0	1	1	0		b	1	1	0		b	0	1	0
c	0	0	1	1		c	0	0	1		c	1	0	1
d	1	1	0	1

45. Які з графів зображають відношення часткового порядку?

46. Нехай R₁ i R₂ — відношення часткового порядку. Визначте, чи є такі відношення відношеннями часткового порядку:

1. R₁  R₂; b) R₁  R₂; c)

47. Нехай R — відношення часткового порядку. Доведіть, що R^-1 — теж відношення часткового порядку.

48. Побудувати діаграму Хассе для відношення «більше чи дорівнює» на множині {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

49. Побудувати діаграму Хассе для відношень R={(a, b) | а ділить b} та S={(a, b) | а кратне b} на множині А:

1. А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};

2. A = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13};

3. А = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64};

4. A = {1, 2, 3, 6, 12, 24, 36, 48}.

50. Побудувати діаграму Хассе для відношення R = {(A, В) | А  В} на булеані 2^А, де A = {а, b, с}.

51. Записати всі впорядковані пари відношення часткового порядку з такою діаграмою Хассе:

52. Для відношення часткового порядку, поданого діаграмою Хассе, виділити довільну підмножину з трьох елементів та знайти всі характеристики цієї підмножини (верхній та нижній конуси, точну верхню та нижню грані, максимальний та мінімальний елементи).

53. Для частково впорядкованої множини (A, R), де A = {3, 5, 9, 15, 24, 45}, R={(a, b) | а ділить b}, знайти всі характеристики підмножини В:

1. В = {5, 9, 15};

2. В = {15, 24};

3. В = {3, 5, 9}.

54. Складіть алгоритм, що визначає за заданою матрицею відношення, чи є відношення частковим або строгим порядком, еквівалентністю або толерантністю.

Функціональні відношення

55. Які з наведених відношень R А², що задані на множині А = {-20,-19, ..., 0, 1, ..., 19, 20}, є функціональними? Для функціональних відношень вкажіть відповідні функції:

1. (а, b)  R, якщо а = b²;

2. (а, b)  R, якщо а² = b;

3. (а, b)  R, якщо а  b;

4. (а, b)  R, якщо ab = 6;

5. (а, b)  R, якщо а = b³;

6. (а, b)  R, якщо b = a³;

7. (а, b)  R, якщо а = b⁴;

8. (а, b)  R, якщо а = 1/b.

56. Які з функцій f, що знайдено при розв’язанні задачі 1, є відображеннями виду f:AA?

57. Нехай задано множини А, В, С і відношення RАВ і SВС. Покажіть на прикладах, що наведені висновки не правильні:

1. якщо R — функціональне відношення, то S ° R — функціональне відношення;

2. якщо R задає відображення АВ, то S ° R — відображення АС;

3. якщо S визначає сюр’єкцію ВС, то S ° R — сюр’єкцію АС;

4. якщо S визначає ін’єкцію ВС, то S ° R — ін’єкцію АС.

58. Нехай задано множини А, В, С і відношення RАВ і SВС. Доведіть, що:

1. якщо R і S — функціональні відношення, то S ° R — функціональне відношення;

2. якщо R і S визначають відображення АВ і ВС відповідно, то S ° R визначає відображення АС;

3. якщо R і S визначають сюр’єкції, то S ° R — також сюр’єкцію;

4. якщо R і S визначають ін’єкції, то S ° R — також ін’єкцію;

5. якщо R і S визначають бієкції, то S ° R — також бієкцію.

59. Доведіть, що якщо f — ін’єктивна функція, то існує функція f^-1.

60. Знайдіть область визначення і область значень таких функцій:

1. функція, яка кожному невід’ємному цілому числу х ставить у відповідність його останню цифру;

2. функція, яка рядку бітів довжиною х ставить у відповідність кількість одиниць у цьому рядку;

3. функція, яка рядку бітів довжиною х ставить у відповідність кількість бітів, що залишилися при розбитті цього рядку на байти;

4. функція, яка для цілого додатного числа х знаходить найбільший квадрат, що не перевищує це число.

61. Нехай А і B — скінченні множини, що містять відповідно n і m елементів: |А|=n, |В|=m. Визначте співвідношення між n і m, якщо:

1. існує ін’єктивне відображення з А в В;

2. існує сюр’єктивне відображення з А в В;

3. існує бієктивне відображення з А в В.

Завдання для домашніх робіт

1. Побудувати матриці і графи для відношень R₁,R₂, визначених на множиніА.

2. Побудуйте відношення R₁R₂;R₁R₂;R₁\ R₂;R₂\ R₁;R₁°R₂,R₂°R₁,.

3. Знайдіть відношення R^-1.

4. Побудуйте перерізи відношень R₁,R₂за елементамиa₁,a₂і відносно підмножини {a₁,a₂}.

5. Побудуйте фактор-множину за відношенням R₂.

6. Визначте, які властивості має кожне з відношень. Зробіть висновок про тип кожного відношення.

7. Для відношення еквівалентності розбити множину на класи еквівалентності.

8. Для відношення порядку побудувати діаграму Хассе, знайти максимальний та мінімальний елементи.

9. Знайти область визначення та область значень відображення. Зробити висновок про тип відображення.

Варіанти завдань

№	множина А	R1	R2	f(x)
	{3,6,9,12,18,36}	x дільникy	|x+y|кратне2	x2+3x+5
	{2,3,6,12,18,36}	x дільникy	|x-y|кратне3	x2-x-1
	{2,3,6,9,18,36}	x дільникy	|x-y|кратне 9	3x4+8x3-18x2+7
	{2,3,6,9,12,36}	x дільникy	|x-y|кратне6	(x2+3)/(x+1)
	{3,6,9,12,18,30}	x дільникy	|x-y|дільник9	(x3+3x)/(x2+1)
	{3,6,9,12,18,24}	x кратнеy	|x-y|дільник6	x3+3x
	{2,4,8,10,12,60}	x кратнеy	|x-y|кратне4	|sin x|
	{2,4,6,10,12,60}	x кратнеy	|x-y|кратне6	cos x+2
	{4,8,12,16,42,64}	x кратнеy	|x-y|дільник4	x+2+1/x
	{2,4,6,12,16,24}	x кратнеy	|x+y|кратне4	(x+4)1/2