Тема 1. Множини

Питання для самоконтролю

1. Назвіть відомі вам способи задання множин. В якому випадку не можна застосувати той або інший спосіб?

2. В яких випадках множина задана некоректно?

3. Чи можуть два елементи однієї множини бути однаковими?

4. Яку множину називають упорядкованою?

5. Які множини вважаються рівними?

6. Визначте поняття підмножини і включення множин.

7. Чим відрізняється строге включення від нестрогого? Наведіть приклад.

8. Яка множина називається універсальною?

9. Яка множина називається порожньою?

10. Як позначається множина всіх підмножин деякої множини? Скільки елементів вона містить?

11. В чому відмінність між діаграмами Венна і кругами Ейлера?

12. Дайте визначення операціям на множинах.

13. При виконанні якої операції використовується універсальна множина?

14. Чи можуть деякі з операцій бути виражені одна через іншу? Яким чином?

15. Розташуйте операції алгебри множин відповідно до їх пріоритетів.

16. Назвіть тотожності алгебри множин, запишіть відповідні формули.

17. Яким чином можна графічно зобразити та довести закони і тотожності алгебри множин? Наведіть приклад такого доведення.

18. Яким чином виконуються еквівалентні перетворення формул алгебри множин? Наведіть приклади.

Завдання для роботи в аудиторії

Множина та її елементи.

1. Визначте, які з наведених тверджень правильні:

1. 1  {1, 2, 3};

2. 1  {1};

3. {1}  {1, 2};

4. {1}  {{1}}.

2. Поставте замість зірочки знак  або  щоб отримати правильне твердження:

1. 1 * N;

2. 0 * N;

3. -5 * Z;

4. -1/2 * Z;

5. 3.14 * R;

6.  * R.

Способи задання множини

3. Задайте переліком елементів множину:

1. правильних дробів зі знаменником 7;

2. правильних дробів, знаменник яких не перевищує 4;

3. множину цифр числа 5555;

4. множину букв у слові «математика».

4. Задайте переліком елементів множину:

1. {х | х  N, 3 < х < 12};

2. {х | х — десяткова цифра}.

5. Визначте, елементом яких з наведених множин є 2:

1. {х | х  N, х > 1};

2. {х | х = у², у  Z};

3. {2, {2}}.

6. Задайте множини найбільш зручним способом:

1. множину натуральних чисел, не більших за 7;

2. множину букв вашого імені;

3. множину, єдиним елементом якої є назва вашого міста;

4. множину простих чисел між 10 і 20;

5. множину додатних чисел, що кратні 12.

6. множину натуральних чисел, не більших за 100;

7. множину парних додатних чисел;

8. множину натуральних чисел, що кратні 10:

7. Задайте множини іншим способом:

1. {3, 6, 9, 12, 15};

2. {1, 4, 9, 16, 25};

3. {10, 12, 14, 16}.

Основні поняття теорії множин

8. Визначте, які з наведених тверджень справедливі:

1. |{{}}| = 2;

2. х  {x};

3. {x}  {x};

4. {х}  {x};

5. {x}  {{x}};

6. х  {1, 2, x, a};

7. 3  {1, {2, 3}}};

8. х  {2x, sin x};

9. 2  {{1},{2}}.

Потужність множини

9. Скільки елементів містять такі множини:

1. А = {x};

2. B = {{x}};

3. C = {x, {х}};

4. D = {{х}, х, {{х, {х}}}.

10. Знайти |A|, |B|, чи |A|=|B|, якщо A – множина двозначних чисел, B – тризначні числа, що починаються з цифри 2.

Підмножини

11. Нехай А  . Які дві різні підмножини завжди має множина А?

12. Нехай А - множина букв у слові «координата». Множина букв якого слова є підмножиною множини А:

1. кора;

2. дірка;

3. картина;

4. крокодил;

5. нитки;

6. тин;

7. криниця;

8. сокирка;

9. дорога;

10. дар;

11. кардинал.

13. Нехай А - множина цифр у числі 1958. Чи є множина цифр числа х підмножиною А, якщо:

1. х = 98;

2. х = 9510;

3. х = 519;

4. х = 5858;

5. х = 1958888;

6. х = 91258.

14. Дана множина D = {7, 13, 25, 34, 101, 112}. Які з наведених множин є підмножинами множини D?

1. {1, 7, 13};

2. {0, 1, 12};

3. {25, 112, 34};

4. {а, b, с, n};

5. {7, 13, 25, 34, 101, 112}.

6. .

15. Розмістіть множини в такій послідовності, щоб кожна наступна була підмножиною попередньої:

1. А – множина всіх прямокутників;

В – множина всіх чотирикутників;

С – множина всіх квадратів;

D – множина всіх паралелограмів.

2. А – множина всіх ссавців;

В – множина всіх вовків;

С – множина всіх хребетних;

D – множина всіх хижих ссавців.

16. Запишіть за допомогою символа  співвідношення між множинами:

1. А = {х | х = 2n, n  N};

2. В = {х | х = 50n, n  N};

3. С = {х | х = 10n, n  N};

4. D = {х | х = 5n, n  N}.

17. Визначте, чи виконується А  В , якщо А = {1, {2, {3}}}, В = {1, {2, 3}}.

18. Визначте, чи виконується А  С , якщо А  В, В  С.

Рівність множин

19. Які з наведених множин дорівнюють порожній множині:

1. множина трикутників, сума кутів в яких дорівнює 270 градусів;

2. множина функцій, графіком яких є коло;

3. множина гірських вершин заввишки 8800м;

4. множина гірських вершин на Україні заввишки 8800м.

20. Які з наведених множин дорівнюють порожній множині:

1. А = {х | х  х };

2. В = {х | х  Z, 0.5х - 2 = 0};

3. С = {х | х  Z, |х| < 1};

4. D = {х | 5х⁴ + 3х² + 2 = 0}.

21. Чи рівні множини А і В:

1. А = {1, 2} В = {2, 1};

2. А = {1} В = {{1}};

3. А = {(0;1)} В = {(1;0)};

4. А = {х | х  3, х  Z} В = {х | х < 4, х  Z};

5. А = {х | х  N, х кратне 2 і 3} В = {х | х  N, х кратне 6}.

22. Визначте, які з наведених множин дорівнюють одна одній:

1. А = {х | існує у такий, що х = 2y, у  N};

2. В = {1, 2, 3};

3. С = {0, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...};

4. D = {2x | х  Z}.

23. Визначте, які з наведених множин дорівнюють одна одній:

1. А = {х | х  N, х = 6n - 3, n  N};

2. В = {х | х  N, х = 3n, n  N};

3. С = {х | х  N, х кратне 3 і не кратне 2};

4. D = {х | х  N, х = 6n + 3, n  N}.

24. Доведіть, що:

1. {х | х = 3k - 1, k  Z} = {х | х = 3n + 2, n  Z};

2. {х | х = 4k - 1, k  Z} = {х | х = 4n + 3, n  Z}.

Еквівалентність множин

25. Чи встановлено взаємно однозначну відповідність між множинами А і В:

1. b) c) d)

26. Одинадцять гравців футбольної команди отримали футболки з номерами від 1 до 11. Між якими множинами встановлено взаємно однозначну відповідність?

27. Між першими n натуральними числами і правильними дробами зі знаменником 7 встановлено взаємно однозначну відповідність. Знайдіть n.

28. Чи вірно |A|=|B|, якщо A – множина парних чисел, B – числа, які можна представити у вигляді суми двох непарних чисел.

29. В якому відношенні знаходяться множини, якщо:

А – парні натуральні числа

B - дроби виду 1/n, n  N

C - числа виду 2ⁿ, n  N

D - дроби виду 1/2ⁿ, n  N

Назвіть пари рівнопотужних множин.

Булеан множини

30. Скільки підмножин містить:

1. множина днів тижня;

2. множина місяців року.

31. Побудуйте 2^A для множини А, якщо:

1. А = {1, 2, 3, 4};

2. А = {«день», «ніч»};

3. А = {1, {2, 3}, 4}.

32. Складіть алгоритм, який як вхідні дані одержує дві множини і визначає, чи рівні ці множини, чи є одна з них підмножиною другої.

33. Складіть алгоритм, який як вхідні дані одержує множину і конструює список всіх можливих підмножин даної множини.

Геометрична інтерпретація множин

34. Зобразіть такі множини у вигляді кругів Ейлера:

1. А= {0, 1, 2}, В = {1, 2, 3, 4, 5};

2. А = {а, b, с, d, e}, В = {d, a, e};

3. N — натуральні числа, Z — цілі числа, R — дійсні числа;

4. X — множина птахів, Y — множина звірів, Z — множина ссавців, F — множина кроликів, G — множина живих організмів, які живуть в морях і океанах.

35. Зобразіть за допомогою кругів Ейлера множини А,В,С, і записати відношення між множинами: А= {1, 3}, В – непарні додатні числа, С – множина розв’язків рівняння x²-4x+3=0.

Операції з множинами

36. Для множин А = {1,2,3,4, }, В = {0,3,6} знайдіть: AВ; АВ; А\В; В\А.

37. Для множин А і В знайдіть: AВ; АВ; А\В; В\А;А;В:

U = {a, b, c, d, e, f, g}, А = {a, b, c}, В = {b, d, e, g}

38. Знайдіть множини А і В, якщо

А\В = {1, 5, 7, 8}, В\А = {2, 10}, АВ={3, 6, 9}.

39. Нехай А — деяка множина. Знайдіть значення виразів:

а) A  ; c) A \ ; e) A  ; g)  \ A;

b) A  A; d) A  U; f) A  A; h) A  U.

40. Які висновки можна зробити про множиниАіВ, якщо правильна одна з таких рівностей:

1. А  В = А;

2. А  В = А;

3. А \ В = А;

4. А \ В = В \ А.

41. Нехай А, В і С — множини. За допомогою діаграм Венна покажіть, що:

1. (AВ)  А;

2. (АВ)  (АВС);

3. А  (АВ);

4. (А\В)  А;

5. (АВС)  (АВ).

42. За допомогою діаграм Венна, або , або  доведіть закони де Моргана.

43. Доведіть, використовуючи основні тотожності алгебри множин:

1. ;

2. .

44. Спростіть вирази:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Завдання для домашніх робіт

1. Довести тотожність, використовуючи діаграми Венна.

2. Довести тотожність, використовуючи основні теореми та аксіоми алгебри множин.

3. Спростити вираз.

Варіанти завдань

До 1 та 2 завдання:

1. A  (B \ C) = (A  B)  (A C);

2. (A \ B)  (A  B) = A;

3. (A  B) \ (A  B) = (A \ B)  (B \ A);

4. (A \ B)  (A \B) = (A  B) \ (A  B);

5. (B \A)  (A \B) = (A  B) \ (A  B);

6. (A \ B)  (A \B) = (A  B)  (A B);

7. A \ (A \ B) = A  B;

8. B  (A \ B) = A  B;

9. (A \ B)  C = (A  C) \ B;

10. (A  B) \ C = (A \ C)  (B \ C).

До 3 завдання:

1. ((A  B)  (A  U))  ((A  B)  (B  ));

2. ((A  B)  (B  U))  (A  );

3. (A  B)  (A B);

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .