1.4. Идентификация объекта методом наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов (МНК) - метод оценки параметров модели на основании экспериментальных данных.
В основе метода лежат следующие рассуждения: при замене точного (неизвестного) параметра модели приблизительным значением необходимо минимизировать разницу между экспериментальными данными и теоретическими (вычисленными при помощи предложенной модели). Это позволяет рассчитать параметры модели с помощью МНК с минимальной погрешностью.
Мерой разницы в методе наименьших квадратов служит сумма квадратов отклонений действительных (экспериментальных) значений от теоретических. Выбираются такие значения параметров модели, при которых сумма квадратов разностей будет наименьшей – отсюда название метода.
где
– теоретическое значение измеряемой
величины,
– экспериментальное.
Расчет в Mathcad:
Рис. 1.4.1. Сравнение исходной функции и полученной в результате метода наименьших квадратов
Нахождение среднего квадратичного отклонения:
1.5. Идентификация объекта управления в программе Matlab
Импортируем данные:
Рис.1.5.1. Импорт данных в System Identification Tool
Укажем в настройках отсутствие запаздывания и величину коэффициента усиления:
Рис.1.5.2.
Полученная оценка параметров
и
Рис.1.5.3. Достоверность оценки
Рис.1.5.4 Сравнение исходной функции и полученной в результате идентификации в программе Matlab
Нахождение среднего квадратичного отклонения:
Таблица 1.5.1
|
τ |
h(τ) |
hmat(τ) |
(h(τ)-hmat(τ))^2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0,375 |
0,734863 |
0,735139 |
7,5762E-08 |
|
|
0,75 |
2,664493 |
2,665438 |
8,93036E-07 |
|
|
1,125 |
5,429391 |
5,431207 |
3,29593E-06 |
|
|
1,5 |
8,749775 |
8,752527 |
7,5778E-06 |
|
|
1,875 |
12,4098 |
12,41347 |
1,34518E-05 |
|
|
2,25 |
16,24474 |
16,24924 |
2,0283E-05 |
|
|
2,625 |
20,13057 |
20,1358 |
2,73324E-05 |
|
|
3 |
23,97553 |
23,98136 |
3,39302E-05 |
|
|
3,375 |
27,71333 |
27,71962 |
3,95685E-05 |
|
|
3,75 |
31,2976 |
31,30423 |
4,39302E-05 |
|
|
4,125 |
34,69754 |
34,70438 |
4,6877E-05 |
|
|
4,5 |
37,89428 |
37,90124 |
4,84161E-05 |
|
|
4,875 |
40,87814 |
40,88512 |
4,86596E-05 |
|
|
5,25 |
43,64629 |
43,6532 |
4,77856E-05 |
|
|
5,625 |
46,201 |
46,20778 |
4,60047E-05 |
|
|
6 |
48,54822 |
48,55482 |
4,35345E-05 |
|
|
6,375 |
50,69648 |
50,70285 |
4,05818E-05 |
|
|
6,75 |
52,65602 |
52,66213 |
3,73315E-05 |
|
|
7,125 |
54,43811 |
54,44394 |
3,39404E-05 |
|
|
7,5 |
56,05457 |
56,0601 |
3,05357E-05 |
|
|
7,875 |
57,51738 |
57,5226 |
2,72157E-05 |
|
|
8,25 |
58,83838 |
58,84329 |
2,40523E-05 |
|
|
8,625 |
60,02909 |
60,03369 |
2,10945E-05 |
|
|
9 |
61,10056 |
61,10485 |
1,83722E-05 |
|
|
9,375 |
62,06326 |
62,06725 |
1,59003E-05 |
|
|
9,75 |
62,92705 |
62,93075 |
1,36816E-05 |
|
|
10,125 |
63,70111 |
63,70453 |
1,17101E-05 |
|
|
10,5 |
64,39397 |
64,39713 |
9,97393E-06 |
|
|
10,875 |
65,01351 |
65,01641 |
8,45708E-06 |
|
|
11,25 |
65,56695 |
65,56962 |
7,14122E-06 |
|
|
11,625 |
66,06092 |
66,06338 |
6,00697E-06 |
|
|
12 |
66,50146 |
66,5037 |
5,03492E-06 |
|
|
12,375 |
66,89405 |
66,8961 |
4,20623E-06 |
|
|
12,75 |
67,24368 |
67,24555 |
3,50313E-06 |
|
|
13,125 |
67,55485 |
67,55655 |
2,9092E-06 |
|
|
13,5 |
67,83163 |
67,83318 |
2,40951E-06 |
|
|
13,875 |
68,07769 |
68,0791 |
1,99066E-06 |
|
|
14,25 |
68,29633 |
68,29761 |
1,64078E-06 |
|
|
14,625 |
68,49052 |
68,49168 |
1,34943E-06 |
|
|
15 |
68,66291 |
68,66397 |
1,10753E-06 |
|
|
|
|
|
Σ= |
0,000802 |
